基于Lyapunov-MARC 算法的礦用乳化液配比方法分析

范抑伶

（唐山學院智能與信息工程學院， 河北 唐山 063000）

0 引言

乳化液作為綜采面液壓設備的壓力源，其配比濃度會直接影響液壓支架的工作性能和使用效果[1]。乳化液濃度過高則會提高生產(chǎn)成本，反之，則會大幅度降低液壓元件的潤滑性、防銹性和穩(wěn)定性，從而影響設備壽命和安全生產(chǎn)。因此設計一個準確、穩(wěn)定、快速、高效的乳化液自動配比系統(tǒng)是非常重要的。目前，國外對于礦用乳化液的配比技術多采用離散式的控制方法，如雷波公司所采用的分布式多泵疊加乳化液配比控制方法。而國內(nèi)針對乳化液配比控制技術主要有以下幾類方法，文獻[2]提出了一種雙缸定比的乳化液自動配比系統(tǒng)，該方法通過利用雙作用油缸活塞和活塞桿面積的固定比值關系，實現(xiàn)乳化油和水定量定比供給，但是，該方法沒有反饋環(huán)節(jié)，機械機構(gòu)復雜，且不能夠連續(xù)調(diào)整乳化液的配比濃度；文獻[3]提出了一種以井下壓風為動力的自動配液裝置，這種配比系統(tǒng)操作繁瑣，受到井下水壓、風壓變化的影響，濃度無法在線調(diào)節(jié)，由此配比的精度無法保證；另外，還有相關研究人員利用模糊控制理論以及PID 控制等方法來實現(xiàn)礦用乳化液的自動配比[4-7]。

針對現(xiàn)有礦用乳化液配比方法存在的各類問題，根據(jù)已有的乳化液自動配液的理論，結(jié)合井下礦用乳化液配液特點，進行電動機與柱塞泵的建模。針對在實際工程應用中，柱塞泵動態(tài)響應滯緩導致流量精度不準的問題，提出利用Lyapunov-MARC 自適應控制方法對乳化液配比進行控制的方法。

1 油路柱塞泵流量模型分析

乳化油密度受溫度影響，將溫度對油路的影響考慮在內(nèi)，為此經(jīng)過大量的實驗數(shù)據(jù)采集并進行整理分析后，可得到如表1 所示的乳化油濃度/溫度數(shù)據(jù)表。

井下工作面作業(yè)溫度一般在零上幾度到二十幾度，乳化油油箱中液體溫度和環(huán)境溫度幾乎一致，而水的密度隨溫度的變化微乎其微，因此在設計過程不考慮其密度變化。通過梯度下降算法對乳化液濃度進行線性擬合，實時乳化液濃度（浮化液濃度為浮化液中溶質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)，全文相同）與實時溫度線性擬合結(jié)果可由公式（1）表示。

式中：x為溫度；h（x）為擬合所得的溫度- 乳化液濃度函數(shù)；擬合所得相關系數(shù)為0.902，擬合效果良好，由此利用如公式（1）所示的乳化油密度與溫度的函數(shù)關系式，在反饋控制結(jié)構(gòu)中加入乳化油隨溫度變化密度自動調(diào)節(jié)的模塊。

給出所選擇的軸向柱塞泵技術參數(shù)如表2 所示，將技術參數(shù)導入公式（2）所示的理想柱塞泵輸出流量模型。

表2 柱塞泵技術參數(shù)

式中：A為單個柱塞泵截面面積；ω 為缸體轉(zhuǎn)動角速度；R為柱塞分布圓半徑；γ 為柱塞傾角；φi為第i個柱塞泵轉(zhuǎn)角；α 為兩個柱塞之間的夾角，其中柱塞泵個數(shù)為z的α 計算如公式（3）所示。

通過化簡系統(tǒng)，油路系統(tǒng)輸入的頻率與最終流量呈線性關系，乳化油流量與頻率的比值約為0.13655，對油路輸出的流量進行積分得到輸出油量體積。設計此環(huán)節(jié)用于模擬延時時間τ，最后進行泰勒展開。通過計算得出柱塞泵理想?yún)⒖寄Ｐ偷膫鬟f函數(shù)如公式（4）所示：

實際被控柱塞泵模型的二階傳遞函數(shù)如公式（5）所示：

式中：ku為變量。由上可得具體乳化液配液控制系統(tǒng)仿真模型如圖1 所示。

圖1 乳化液配液控制系統(tǒng)仿真模型

2 Lyapunov-MRAC 控制器的設計

針對井下環(huán)境作用使柱塞泵角速度和流量控制系統(tǒng)的動態(tài)響應滯緩的問題，提出基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論的可調(diào)增益MRAC 方法控制的乳化液配比方法，求出參數(shù)調(diào)節(jié)的自適應規(guī)律，以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定運行[8-9]。圖2 為Lyapunov-MRAC 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，設自適應增益γ0/s，參考模型和對象模型的傳遞函數(shù)分別如公式（6）與公式（7）所示：

式中：ku為未知增益，kr、a0、b1與b0均已知，具體大小如公式（4）與公式（5）所示。根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，計算可調(diào)增益的調(diào)節(jié)式，使被控對象實際輸出無限趨近理想模型的輸出，即輸出誤差趨近于零。由圖2 可知系統(tǒng)輸出誤差計算如公式（8）所示：

聯(lián)立公式（6）、公式（7）與公式（8）可得公式（10）。

式中k計算如公式（11）所示：

對于如公式（12）所示的狀態(tài)方程：

其中狀態(tài)向量x可由公式（13）表示：

而Λ、B與c分別可由公式（14）、公式（15）以及公式（16）表示：

若齊次系統(tǒng)=Λx穩(wěn)定，則存在正定矩陣P和Q滿足如公式（17）所示的Lyapunov 方程：

綜上可知所設計控制系統(tǒng)Lyapunov 方程可由公式（18）表示：

對式（18）求導可得公式（19）：

為使公式（19）小于零，由此取增益調(diào)整律為：

由于控制器執(zhí)行周期較短，k_u 變化相對較為緩慢，因此其可視為一常數(shù)，由此增益自適應律可用公式（21）表示。

由公式（21）可知，增益自適應律受限于狀態(tài)變量x，由此聯(lián)立公式（12）與公式（21）可得可調(diào)增益自適應律如式（22）所示：

最后結(jié)合圖2可得系統(tǒng)控制律可如公式（23）所示：

3 系統(tǒng)仿真驗證

為驗證所設計系統(tǒng)的有效性，首先以方波信號作為輸入信號，設置整體仿真時間為10 s，進行如下三組仿真實驗。

1）給定流量控制系統(tǒng)幅值r=3 L 方波信號，自適應增益γ0=0.1；

2）保持增益不變，將幅值提高至6 L；

3）將增益改變?yōu)?.3，幅值為3 L。

給出三組系統(tǒng)仿真相應地輸出、控制增益及偏差分別如圖3—圖5 所示。

圖3 r=3 L，γ0=0.1 時系統(tǒng)輸出情況

由圖3—圖5 可知，在0~1 s 內(nèi)實際的輸出流量與期望值誤差較大，但是在1 s 后，系統(tǒng)通過對自適應律的調(diào)節(jié)，被控模型能夠很好地跟蹤參考模型，輸出誤差e趨近于零，系統(tǒng)達到穩(wěn)定。對比圖3 與圖4 可知，增大輸入信號幅值，初始絕對誤差峰值由1.2 L 升至1.5 L，穩(wěn)定時間由0.8 s 縮短至0.6 s，說明控制系統(tǒng)初期的精度降低，但是提高了系統(tǒng)響應速度。對比圖4 和圖5 可知，增大自適應增益初始值，可以同時提高自適應精度和系統(tǒng)響應速度。由三組仿真均可以看出系統(tǒng)具有良好的跟蹤能力。

圖4 r=6 L，γ0=0.1 時系統(tǒng)輸出情況

圖5 r=3 L，γ0=0.3 時系統(tǒng)輸出情況

4 系統(tǒng)整體實驗驗證

由前節(jié)可知，Lyapunov-MRAC 算法可以很好地實現(xiàn)對油路柱塞泵理想模型的跟蹤，為驗證基于Lyapunov-MRAC 算法的礦用乳化油配液方法的有效性以及優(yōu)越性，將Lyapunov-MRAC 算法應用于基于PLC 的礦井配液系統(tǒng)中，并且同時與傳統(tǒng)PID 乳化液配液方法進行對比。實驗中，乳化液配液系統(tǒng)采用西門子S7-1200 作為控制器，設置傳統(tǒng)PID 比例、積分以及微分參數(shù)分別為1.5、0.5 以及239，具體控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6 所示，給出具體實驗結(jié)果如圖7 所示。

圖6 乳化液配比智能控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖7 乳化液配液系統(tǒng)濃度輸出曲線

根據(jù)圖7 可知配液系統(tǒng)利用傳統(tǒng)的PID 控制算法，系統(tǒng)大約在4 s 時才達到穩(wěn)態(tài)，在達到穩(wěn)定之前十分不平滑，整定效果欠佳。PID 控制適合線性系統(tǒng)，在實際井下配液過程中往往具有非線性、時變不確定，這種常規(guī)的PID 控制器不能達到理想的控制效果，對運行工況的適應能力較差。Lyapunov-MRAC 控制結(jié)果大約在1 s 處就實現(xiàn)了穩(wěn)定，并且一直穩(wěn)定在濃度設定值。因此對柱塞泵流量進行Lyapunov-MRAC 算法控制，能夠使乳化液配液系統(tǒng)中乳化液的濃度快速、準確的響應。

礦用乳化液配液濃度檢測值與標準值的最大誤差滿足煤礦生產(chǎn)要求。提出的算法適用于實際工程應用，提高了乳化液配液的效率，保證了乳化液配液的質(zhì)量，促進了礦業(yè)乳化液配液的速度與自動化程度的提升。

5 結(jié)論

針對礦用智能乳化液配液系統(tǒng)展開研究，在詳述智能乳化液自動配液系統(tǒng)原理的基礎上，提出了符合該類系統(tǒng)的Lyapunov-MRAC 自適應控制策略，并以此為出發(fā)點展開了如下工作：

1）采用乳化油密度與溫度自適應的增益補足，使乳化油密度可以根據(jù)作業(yè)中實際溫度而調(diào)整，減輕了溫度對乳化液濃度結(jié)果的影響。

2）在闡述Lyapunov-MRAC 自適應控制理論的基礎上，深入分析了增益自適應控制算法，給出了自適應控制算法的總體結(jié)構(gòu)圖，并利用MATLAB/Simulink進行了控制器模型的設計。

3）采用Lyapunov-MRAC 自適應控制算法對柱塞泵流量控制的二階非線性系統(tǒng)進行補償，通過最終的仿真與實驗分析得出了油路柱塞泵通過Lyapunov-MRAC自適應控制算法在配液系統(tǒng)的加快調(diào)穩(wěn)等方面明顯優(yōu)于PID 控制的結(jié)論，為實現(xiàn)對時變、非線性系統(tǒng)進行準確快速穩(wěn)定的控制提供了很好的解決。