例析利用基底法解立體幾何問題

劉 海

江蘇省曲塘高級(jí)中學(xué) (226661)

在2019人教A版必修第二冊(cè)中,向讀者介紹了利用立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系;在選擇性必修第一冊(cè)中,又介紹了利用空間向量表示空間中的點(diǎn)、線、面等基本元素,通過空間向量運(yùn)算解決立體幾何問題.由此可見,對(duì)于立體幾何問題,空間向量是一個(gè)非常好的工具.在近些年的高考解答題中,立體幾何題往往就是建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決線線、線面以及二面角等問題.但是,不少題目的建系方案并不明顯,亦或很難看出存在三組兩兩垂直的直線,那么此時(shí)如何不建立空間直角坐標(biāo)系來解決問題呢?本文就此探討如何利用空間向量的基底解決立體幾何問題.

例題(2022年蘇州高三第一學(xué)期期末)如圖1,在四面體ABCD中,已知△ABD是邊長為2的等邊三角形,△BCD是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,E為線段AB的中點(diǎn),G為線段BD的中點(diǎn),F為線段BD上的點(diǎn).

圖1

(1)若AG∥平面CEF,求線段CF的長;

(2)若二面角A-BD-C的大小為30°,求CE與平面ABD所成角的大小.

評(píng)注：此問直接利用綜合法,結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理、中位線定理及解三角形中的余弦定理便可解決,屬于簡單題.

(2)第(2)問有一定的難度,一般可利用綜合法或者建立空間直角坐標(biāo)系后用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決.

圖2

評(píng)注：此方法對(duì)空間想象能力有較高的要求,探求CE與平面ABD所成角的平面角是解題的關(guān)鍵,許多學(xué)生都未能正確找到這個(gè)平面角.

圖3

評(píng)注：此方法中存在的難點(diǎn)是,①建系時(shí)z軸的確定;②求A點(diǎn)的坐標(biāo).

評(píng)注：此方法與方法二的最大區(qū)別在于,不需要找出或者構(gòu)造三個(gè)互相垂直的向量來建立空間直角坐標(biāo)系,只需要確定此空間里三個(gè)不共線的已知向量作為基底,從而大大減輕了沒有直角依托情況下的求角求距離等立體幾何問題.

其實(shí),借助三個(gè)互相垂直的向量來建立空間直角坐標(biāo)系是方案三中基底法的一種特例,即三個(gè)基底向量互相垂直.這也正是在平面向量中借助兩個(gè)垂直向量來建立平面直角坐標(biāo)系是利用平面中任一組基底解決問題的一種特例.

掌握好向量的基底法,可以有效解決因?yàn)轭}目中沒有直角或不方便建系進(jìn)而利用向量坐標(biāo)運(yùn)算來求解的問題.