一道橢圓模擬題的解法與結(jié)論推廣

湛懷玉

湖南省長沙市南雅中學(xué) (410027)

1 試題呈現(xiàn)

圖1

該試題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用,涉及的主要考點(diǎn)有:橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用,直線與橢圓位置關(guān)系及求最值等.第(1)小題,由于求的是角的余弦值,因而與三角函數(shù)、三角恒等變換知識(shí)或與向量運(yùn)算緊密結(jié)合,體現(xiàn)知識(shí)間的相互滲透應(yīng)用;第(2)小題,求兩線段長度之積的最大值,設(shè)出直線的斜率,以此為參數(shù),表示出長度之積,利用函數(shù)或均值不等式求最值.

2 試題解析

首先看第(1)小題的解法.

點(diǎn)評(píng)：解法1根據(jù)直線MN與直線AC平行,轉(zhuǎn)化為斜率相等,然后轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系.再利用斜率的定義,得到角的三角函數(shù),最后利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解的.

點(diǎn)評(píng)：解法2聯(lián)立直線與橢圓方程分別求得點(diǎn)M、P的坐標(biāo)后,轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo),然后利用兩向量夾角坐標(biāo)公式求得數(shù)量積,較為簡捷.

點(diǎn)評(píng)：解法3根據(jù)直線MN與直線AC平行,轉(zhuǎn)化為兩向量夾角相等,然后利用兩向量夾角坐標(biāo)公式求得數(shù)量積,充分展現(xiàn)了向量求解夾角問題的優(yōu)越性.

下面再來看第(2)小題的解法.

下面采用三種解法求解PQ·MN的最大值.

點(diǎn)評(píng)：解法1整體設(shè)參后將表示為關(guān)于參數(shù)倒數(shù)的二次函數(shù),分離、配方利用二次函數(shù)的最值知識(shí)求解.

點(diǎn)評(píng)：解法2整體設(shè)參后將OM2·OP2表示為關(guān)于參數(shù)倒數(shù)的函數(shù),求導(dǎo)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性知識(shí)求解,體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具作用.

點(diǎn)評(píng)：解法3首先求得OM2+OP2=5(定值)后,利用重要不等式求得最值.相比而言,解法3是一種最為簡捷的方法,但要注意具備定值和等號(hào)成立的條件.

3 結(jié)論推廣

在上面解答試題的過程中,我們可以看到,直線MN與PQ的斜率之積為定值,那么對(duì)于一般情形的橢圓是否有同樣的結(jié)論?經(jīng)探究,于是我們得到下列結(jié)論1.

證明：以A是橢圓長軸的左端點(diǎn)(左頂點(diǎn)),且點(diǎn)P、C、M在x軸的上方為例來證明.

試題第(2)小題是求具體橢圓中PQ·MN的最大值,那么,能否將第(2)推廣為一般情形?經(jīng)探究,于是我們得到下列結(jié)論2.

證明：以A是橢圓長軸的左端點(diǎn)(左頂點(diǎn)),且點(diǎn)P、C、M在x軸的上方為例來證明.