由一道高考題的解法引發(fā)的思考*

徐梅香 翟洪亮

江蘇省太湖高級中學(xué) (214125) 江蘇省高贛榆級中學(xué) (222100)

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施,新教材在全國各地的廣泛使用,實(shí)行新高考的省市在不斷增加,一些立足“四基”,發(fā)展“四能”,體現(xiàn)“素養(yǎng)”的創(chuàng)新試題將陸續(xù)出現(xiàn)在新高考試題中,現(xiàn)以2022年全國新高考Ⅱ卷12題為例,本文從不同視角對該題進(jìn)行剖析,指出試題以“數(shù)”的形式呈現(xiàn),考查的是蘊(yùn)涵“形”的本質(zhì),對考生能力要求較高,凸顯試題的選拔性功能,體現(xiàn)新課程對數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)業(yè)質(zhì)量要求和對學(xué)科素養(yǎng)的考查．

一、試題呈現(xiàn)

若實(shí)數(shù)x,y滿足x2-xy+y2=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

二、試題解析

現(xiàn)從不同視角進(jìn)行剖析,挖掘試題內(nèi)隱性資源.

1.從數(shù)的視角

由于試題條件中出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)數(shù)滿足等式條件,在選擇支中出現(xiàn)不等式,這容易使考生首先聯(lián)想到運(yùn)用不等式有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

由于試題條件中出現(xiàn)二元變量x,y,這也容易使考生聯(lián)想到曲線方程,通過配方,使用三角換元,運(yùn)用三函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.

2.從形的視角

由于試題條件中出現(xiàn)二元變量x,y,從所求的選擇支中出現(xiàn)的x+y范圍,x2+y2范圍,容易聯(lián)想到直線與曲線的位置關(guān)系,以及圓與曲線的位置關(guān)系,通過換元,轉(zhuǎn)化為直線的方程與曲線的方程間的關(guān)系,以及圓的方程與曲線的方程間的關(guān)系,運(yùn)用解析幾何知識(shí)進(jìn)行求解.

由解法3和解法4可以猜想方程x2-xy+y2=1的曲線是焦點(diǎn)在直線y=x上的橢圓,如圖1,方程x2-xy+y2=1的曲線在旋轉(zhuǎn)矩陣的作用下,可以轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程．

圖2

由此可見,將直線y=x代入方程可解得橢圓長軸兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),將直線y=-x代入方程可解得橢圓短軸兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),還能求出橢圓的離心率等有關(guān)問題．

上述解法說明試題以“數(shù)”的形式呈現(xiàn),考查的是蘊(yùn)涵“形”的本質(zhì),可以從不同的視角為切入口,都能得到試題的正確解答,可見此題入口寬,起點(diǎn)較高,技巧性強(qiáng),對考生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力要求較高,突出對數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查．

三、試題拓展

上述5種解法中,只有解法1是單純的代數(shù)方法,其余4種解法都涉及方程所對曲線的形狀．因此,加強(qiáng)對圓錐曲線的非標(biāo)準(zhǔn)型方程E:Ax2+Bxy+Cy2=D的研究．特別地:

1.雙曲線具有以下性質(zhì):

(1)曲線E關(guān)于直線y=±x對稱;

(2)曲線E的的漸近線方程為x=0和y=0;

(1)曲線E的漸近線方程為x=0和y=ax;

四、教學(xué)思考

新高考要求教學(xué)應(yīng)以學(xué)生為主體,開展研究型和創(chuàng)新型教學(xué)．需要對所學(xué)內(nèi)容、近年高考試題進(jìn)行研究,把握命題趨勢,開展深度教學(xué)．

在知識(shí)掌握上要注重全面,甚至要適當(dāng)補(bǔ)充,注意拓展．?dāng)U大學(xué)生的知識(shí)面．促進(jìn)學(xué)生的能力發(fā)展,增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力,應(yīng)先給予充足時(shí)間讓學(xué)生獨(dú)立思考后,教師再精講點(diǎn)撥,引導(dǎo)多視角引導(dǎo)學(xué)生審視問題,認(rèn)清問題本質(zhì),不斷提高學(xué)生自主分析問題和解決問題的能力.