雞兔同籠　同又不同

［摘? 要］ 文章主要研究“雞兔同籠”這個生活實(shí)際問題. “雞兔同籠”是學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)接觸過且用算術(shù)方法解決過的問題. 教學(xué)過程中，教師重在引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考和發(fā)現(xiàn)一元一次方程方法與算術(shù)方法的聯(lián)系、二元一次方程組與一元一次方程的聯(lián)系，讓學(xué)生從中體會研究二元一次方程組的主要方法——消元，使學(xué)生經(jīng)歷用二元一次方程組解決問題的完整過程. 通過對多種方法的比較和反思，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了這些方法的共性，體會到了數(shù)學(xué)的邏輯美，認(rèn)識到了“雞兔同籠”問題的本質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 雞兔同籠；二元一次方程組；統(tǒng)領(lǐng)課

“雞兔同籠”問題是中國古代著名趣題之一，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)嘗試并使用多種算術(shù)方法來解決. 本節(jié)課是蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第十章“二元一次方程組”的章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課，在此之前，學(xué)生已經(jīng)具備一元一次方程的相關(guān)知識和經(jīng)驗(yàn). 繼續(xù)依托“雞兔同籠”這個經(jīng)典問題來引出二元一次方程組，能讓學(xué)生再次經(jīng)歷嘗試、探索、比較等活動過程，從而比較全面地認(rèn)識二元一次方程組的研究內(nèi)容，起到“未見樹木，先見森林”的作用. 現(xiàn)將教學(xué)實(shí)踐與思考呈現(xiàn)出來，希望得到廣大同行的指導(dǎo).

背景分析

1. 課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“方程與不等式”部分指出，應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷對現(xiàn)實(shí)問題中量的分析，借助用字母表達(dá)的未知數(shù)建立兩個量之間關(guān)系的過程，知道方程或不等式是現(xiàn)實(shí)問題中含有未知數(shù)的等量關(guān)系或不等關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá). 涉及本章內(nèi)容的目標(biāo)有：能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程，理解方程解的意義，經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程；能根據(jù)二元一次方程組的特征，選擇代入消元法或加減消元法解二元一次方程組.

2. 教材分析

蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第十章“二元一次方程組”共包含5節(jié)內(nèi)容，對于“10. 1 二元一次方程”和“10. 2 二元一次方程組”，學(xué)生要經(jīng)歷從問題到方程和方程組的過程，理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念，認(rèn)識到方程和方程組是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，體會它們與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系；對于“10. 3 解二元一次方程組”，學(xué)生要在嘗試、探索、比較等活動中發(fā)現(xiàn)解二元一次方程組的兩種基本方法——代入消元法和加減消元法，充分體會消元思想；對于“10. 4 三元一次方程組”，學(xué)生要掌握解三元一次方程組的方法，即消去三元一次方程組中的某個未知數(shù)，將解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組；對于“10. 5 用二元一次方程組解決問題”，學(xué)生要學(xué)會找出實(shí)際問題中的兩個相等關(guān)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求解二元一次方程組問題. 從一元到二元，我們建立了新的數(shù)學(xué)模型；從二元到一元，通過消元，我們把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為了一元一次方程. 本節(jié)課是全章的統(tǒng)領(lǐng)課，利用“雞兔同籠”這個經(jīng)典問題來引出全章內(nèi)容，著眼點(diǎn)在于通過嘗試、探索、比較等活動來深度挖掘知識，讓學(xué)生體會要研究二元一次方程組的哪些內(nèi)容. 本節(jié)課不求面面俱到，但求拋磚引玉，起到“未見樹木，先見森林”的作用.

3. 學(xué)情分析

“雞兔同籠”問題是中國古代著名的趣題之一. 它不僅趣味性強(qiáng)，而且可以用簡單計(jì)算、方程法等多種方法求解. 據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，該問題不同“稱謂”的解法有嘗試法、列表法、畫圖法、假設(shè)法、金雞獨(dú)立法、面積法、方程法等，達(dá)37種之多，但實(shí)際上，很多方法本質(zhì)上是一樣的. 假設(shè)法是“雞兔同籠”類問題最常用的方法之一，但很多學(xué)生只是會用，或者硬記，只知其然，并不知其所以然. 但不能真正被理解的操作性知識，對后面的學(xué)習(xí)幾乎起不到作用，對思維能力的提升也沒有明顯的作用. 所以教學(xué)這節(jié)課時，筆者希望學(xué)生能從方程的角度進(jìn)行觀察、分析、驗(yàn)證，再回頭看假設(shè)法，看到多種方法的一致性，從而看到問題的本質(zhì)，不為眾多方法所困.

教學(xué)目標(biāo)與研究方法

1. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念.

（2）探索解二元一次方程和二元一次方程組的方法.

2. 研究方法：類比、轉(zhuǎn)化

二元一次方程是初中階段認(rèn)識的第二種方程，本章結(jié)構(gòu)與七年級上冊“一元一次方程”類似——從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題，再從數(shù)學(xué)問題回到實(shí)際，所以可以采用類比的教學(xué)方式. 遇到實(shí)際問題時，先將其轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，這是實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化；發(fā)現(xiàn)代入消元法和加減消元法這兩種基本方法，能把解二元一次方程組問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程問題，這是從二元到一元的轉(zhuǎn)化.

教學(xué)過程

復(fù)習(xí)回顧：我們是如何研究一元一次方程的？主要研究了哪些方面？（概念、解法和應(yīng)用）

問題1 我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)名題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足. 問雞兔各幾何？”

學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)解決過“雞兔同籠”問題，于是他們很快便說出了求解的算術(shù)方法——假設(shè)法. 雖然很多學(xué)生會列式，但能講清楚個中緣由的只有很少一部分. 假設(shè)法的求解過程如下.

假設(shè)全是雞，則兔有=12（只）. 所以雞有35-12=23（只）.

假設(shè)全是兔，則雞有=23（只）. 所以兔有35-23=12（只）.

七年級時，學(xué)生學(xué)習(xí)了代數(shù)方法——用一元一次方程解決問題. 運(yùn)用一元一次方程求解的過程如下.

設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只. 根據(jù)題意，得2x+4（35-x）=94，即2x+4×35-4x = 94，于是有4×35-2x = 94. 所以x =.

問題2 算術(shù)方法和代數(shù)方法這兩種方法之間有聯(lián)系嗎？

經(jīng)過兩個式子的比較，學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方法中的式子其實(shí)正是算術(shù)方法中“假設(shè)全是兔”的式子. 35×4即為假設(shè)全是兔應(yīng)有的腿的數(shù)量，但實(shí)際上只有94條腿，多出來的腿即為錯把雞當(dāng)成兔的那部分的腿，于是計(jì)算兩者的差. 又每錯看一只就會多出2條腿，所以再除以2，就可以得到雞的數(shù)量. 原來運(yùn)用一元一次方程求解和假設(shè)法的本質(zhì)一樣！

問題3 你們還有別的方法嗎？是否可以把未知的兩個量都設(shè)出來？

詳細(xì)的求解過程如下.

設(shè)雞有x只，兔有y只. 根據(jù)題意，可得到兩個方程，即x+y=35，2x+4y=94.

追問1 所得的兩個方程含有幾個未知數(shù)？（2個）它們代表的意義相同嗎？（相同）

追問2 每個含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是幾？（1）

追問3 它們是整式方程嗎？（是）

追問4 如果讓你給這兩個方程命名，你會怎樣命名？

結(jié)合學(xué)生的回答，師生共同總結(jié)出二元一次方程的定義：含有2個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都為1的整式方程叫二元一次方程. 學(xué)生一開始沒加“整式方程”這個條件，后經(jīng)筆者提醒加上了. 在本題中，兩個條件都要滿足，因此可以將兩個二元一次方程聯(lián)立起來，得到二元一次方程組x+y=35，

2x+4y=94.

追問5 請你們嘗試給二元一次方程組下定義.

把含有兩個未知數(shù)的一次方程聯(lián)立在一起，就組成一個二元一次方程組.

追問6 這兩種方程方法之間有聯(lián)系嗎？試著解解看.

仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)方程2x+4y=94與一元一次方程2x+4（35-x）=94類似，唯一不同的是y和（35-x）. 而由方程x+y=35可以得到y(tǒng)=35-x. 這就是說，想要解二元一次方程組，可以先將其中一個方程中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)表示，然后代入另一個方程中，這樣就可以將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程了. 因此，雖然這兩種方程未知數(shù)的個數(shù)不同，但本質(zhì)是一樣的?。ㄟ@就是代入消元法，但教師此時暫且不予命名）

問題4 認(rèn)識了二元一次方程和二元一次方程組，下面我們來看看如何找到它們的解.

追問：你能寫出二元一次方程x+y=35的解嗎？

學(xué)生暢所欲言，說出了x=0，

y=35；x=1，

y=34；x=0.5，

y=34.5；x=0.01，

y=34.99…

此時有學(xué)生指出，這里的x和y分別是雞和兔的數(shù)量，應(yīng)該是正整數(shù)，因此只有有限對正整數(shù)解. 于是學(xué)生列表如表1所示.

由表1可知，x每增加1，y減少1，但x與y的和始終是35，因此共有34對正整數(shù)解.

方程2x+4y=94呢？同樣可以直接列舉. 但有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了公因數(shù)2，于是方程兩邊同時除以2，得到x+2y=47. 想要找到這個方程的正整數(shù)解，要先確定x還是先確定y呢？如果先確定x，則y不一定是整數(shù)，但反過來，如果y為整數(shù)，則x一定為整數(shù). 因此，從y入手比較合理. y的最小取值為1，然后依次增加1，最大取值為23，所以共可以找到23對正整數(shù)解. 列表如表2所示.

總結(jié)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一個二元一次方程的解有“無數(shù)對”，但如果加上一定的限制條件，如本題中的未知數(shù)為正整數(shù)，則解就可能變成“有限對”.

問題5 如何找到二元一次方程組的解呢？

前面提到，兩個方程中的未知數(shù)代表的意義相同，所以學(xué)生一致認(rèn)為二元一次方程組的解就是兩個二元一次方程的公共解. 但從表格中看，公共解應(yīng)該在省略號的部分，那該怎么辦呢？總不能把所有解都寫出來吧？

正當(dāng)大家都一籌莫展的時候，有學(xué)生指出，我們就是要找表格中的某兩列，它們的x和y分別相同. 我們不妨先把x表示出來，第一個表格中的x=35-y，第二個表格中的x=47-2y，所以我們只需要解出35-y=47-2y這個方程，就可以找到y(tǒng)了. 此時全班響起雷鳴般的掌聲. 這名學(xué)生很了不起，他抓住字母代表的意義相同，想辦法把兩個二元方程轉(zhuǎn)化成一個一元方程.

此時，又有一名學(xué)生想到了，兩個表格中的x既要滿足x+2y=47，又要滿足x+y=35. x是相同的，那么2y就要比y多出47-35=12，即y =12，所以x=23. 全班再次響起雷鳴般的掌聲. 接著，筆者請一名學(xué)生點(diǎn)評一下剛才這名學(xué)生的回答，他由衷地表揚(yáng)了這名學(xué)生，說他善于觀察和發(fā)現(xiàn)這兩個方程的特點(diǎn)，抓住相同點(diǎn)和不同點(diǎn)后很快便找到了公共解.

總結(jié)：今天有三名學(xué)生發(fā)現(xiàn)了解二元一次方程組的方法，即可以在其中一個方程中用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，再代入另一個方程，從而達(dá)到消元的目的；也可以將兩個方程中的同一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)表示，這也能達(dá)到消元的目的；還可以利用方程中系數(shù)的特點(diǎn)，直接將兩個方程作減法，一下子得到其中一個未知數(shù)的值，其本質(zhì)也是消元. （這就是加減消元法，但此處暫且不予命名）可見，在解方程組的過程中，一定要仔細(xì)觀察各方程的特點(diǎn)，這樣才能找到最好的解決方法.

問題6 為什么從兩個表格中尋找公共解，只有一對呢？會不會有遺漏？

這個問題可以用“追問2”中的答案來加以解釋：既然二元一次方程組都可以通過先表示后代入的方法轉(zhuǎn)化為一元一次方程，而一元一次方程只有一個解，所以二元一次方程組也自然只有一對解.

延伸問題 二元一次方程組會不會出現(xiàn)無數(shù)對解或無解的情形？什么情況下會出現(xiàn)無數(shù)對解或無解呢？

教學(xué)思考

1. “雞兔同籠”，不二選擇

學(xué)生對“雞兔同籠”問題有所認(rèn)識，所以選擇這個問題作為引入，這符合學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)際. 大多數(shù)課例選擇“雞兔同籠”問題是為了引出二元一次方程組的概念，很多教師教學(xué)時列出方程組之后就認(rèn)為引入失去了價值，等到學(xué)完解二元一次方程組之后，再回過頭來解決“雞兔同籠”問題，這貌似達(dá)到了前后呼應(yīng)的效果. 但為什么要等到學(xué)完解法后才回來解這個二元一次方程組呢？這樣能真正引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突嗎？我們趁熱打鐵，抓住這個真實(shí)的探索機(jī)會，在學(xué)生最有解決熱情和強(qiáng)烈好奇心的時候解決豈不更加自然？

作為二元一次方程組的引入材料，“雞兔同籠”問題并不是最好的，因?yàn)閷W(xué)生會認(rèn)為，算術(shù)方法和一元一次方程方法已經(jīng)非常完美了，沒有必要再增加一種，學(xué)生也感受不到設(shè)兩個未知數(shù)的必要性. 究其原因，是雞和兔的頭都只有一個，所以很容易根據(jù)其中一個數(shù)量表示出另一個，設(shè)一個未知數(shù)就夠了. 更好的背景材料應(yīng)該是兩個未知量的系數(shù)都不為1 ，這樣學(xué)生會覺得表示起來比較麻煩，還是設(shè)兩個未知數(shù)比較方便.

本節(jié)課之所以選擇“雞兔同籠”問題并將其進(jìn)行到底，主要有三個原因：第一，它是歷史上的經(jīng)典問題之一，承載著了解數(shù)學(xué)文化的作用，并且解決它的方法有很多種，如小學(xué)的算術(shù)方法、初中的方程方法，而方程方法既有七年級的一元一次方程方法，又可以引出新的方程組. 學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，二元一次方程組是最為直接的一種方法. 為了銜接小學(xué)和中學(xué)，承上啟下，“雞兔同籠”問題是個很好的材料. 第二，可以起到統(tǒng)領(lǐng)全章的作用，本章主要研究二元一次方程組的概念、解法和應(yīng)用. “雞兔同籠”問題學(xué)生已經(jīng)很熟悉，既可以引出二元一次方程，又可以引出二元一次方程組，還可以進(jìn)一步探討如何求解方程和方程組. 在探討的過程中，學(xué)生主要采用交集法，根據(jù)二元一次方程組的定義將解二元一次方程組轉(zhuǎn)化為解兩個二元一次方程，即用枚舉法分別找到兩個二元一次方程的正整數(shù)解. 另外，“雞兔同籠”問題是一個實(shí)際問題，學(xué)生能感受到方程組的實(shí)際應(yīng)用. 第三，也是最重要的，在對三種方法的比較和對方程組解法的探究的過程中，代入消元法和加減消元法若隱若現(xiàn)，就差捅破那層窗戶紙了. 雖然這兩種解方程組的方法學(xué)生都能理解，也很快能學(xué)會，但真正能自己發(fā)現(xiàn)卻不是件簡單的事情. 通過這節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課，學(xué)生有了消元的意識，經(jīng)歷了消元的初步嘗試，也感受到了將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題的快樂，這為他們理解后面的課程起到了很好的鋪墊作用. 所以說，“雞兔同籠”，同又不同.

2. 一題多解，多解歸一

我們往往更關(guān)注幾何題的一題多解. 本節(jié)課就“雞兔同籠”問題探討了3種解法，前兩種解法（算術(shù)方法和一元一次方程方法）學(xué)生比較熟悉，得來不費(fèi)吹灰之力，第三種解法，學(xué)生列出二元一次方程組也沒有什么挑戰(zhàn). 那為什么要用這么多種方法呢？關(guān)鍵在于要找到三種解法之間的聯(lián)系. 假設(shè)全是兔的算式，實(shí)際上就是解一元一次方程時變形過程的最后一步，但必須借由這種形式才能發(fā)現(xiàn). 這是算術(shù)方法與一元一次方程方法之間的聯(lián)系. 比較一元一次方程和二元一次方程組的形式，可以發(fā)現(xiàn)代入消元法能將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程. 所以，這幾種方法的本質(zhì)是一樣的！

另外，本節(jié)課站在小學(xué)解法的基礎(chǔ)上，找到了二元一次方程組的代入消元法、加減消元法等方法. 通過觀察一元一次方程和二元一次方程組的形式，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了代入消元法. 在運(yùn)用交集法尋找方程組的解時，學(xué)生遇到了困難，但這是他們最直接的想法. 繼續(xù)觀察兩個方程的形式，結(jié)合二元一次方程組的解的“本質(zhì)”，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了加減消元法. 如此種種，學(xué)生達(dá)到了從小學(xué)到中學(xué)的自我超越！從中，學(xué)生既能感受到數(shù)學(xué)的邏輯巧妙，又能體會到這種神奇巧妙是自然、合理的.

其實(shí)，一題多解的重點(diǎn)不是為了多解，更重要的是多解歸一. 為什么既要“多解”又要“歸一”？因?yàn)椤耙弧笔呛喴椎模耙弧笔峭ㄓ玫?，“一”是無所不在的. 這與波利亞的解題理論四步驟中的第四步“總結(jié)反思”是一致的，即要反思多種方法的共性，理解問題的本質(zhì). 接下來還要一以貫之，因?yàn)橐灰载炛拍苄纬闪?xí)慣，才能讓它變成自己的思維方式. 當(dāng)然，這個“一”是不斷融合更新、不斷變化完善的. 另外，本節(jié)課用“雞兔同籠”問題一以貫之，一線到底，不僅滲透了方程思想，在列表格求解二元一次方程時還滲透了“函數(shù)思想”——為了找全所有的解，學(xué)生不得不關(guān)注到x與y的變化，于是便有了根據(jù)一個未知數(shù)的值確定另一個未知數(shù)的值的“確定”意識.

小結(jié)

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是為了解決某個問題，更重要的是思考如何解決一類問題，甚至更大的一類問題. 波利亞主張選擇一個有意義且不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個側(cè)面. 本節(jié)章節(jié)統(tǒng)領(lǐng)課，旨在把“雞兔同籠”問題變成一個數(shù)學(xué)問題，給出求解的一般方法——運(yùn)算程序. 不僅如此，也引領(lǐng)學(xué)生看到“二元一次方程組”全章的整體結(jié)構(gòu)，未見樹木，先見森林，為接下來的細(xì)節(jié)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 到了高中，學(xué)生還可以進(jìn)一步從解析幾何、向量的角度去解讀……在這一過程中，學(xué)生會不斷感悟，理解抽象、推理、直觀的作用，得到新的數(shù)學(xué)模型，提升思維品質(zhì)，擴(kuò)大應(yīng)用范圍，提升關(guān)鍵能力.

作者簡介：陳靜（1983—），碩士研究生，中學(xué)一級教師，獲南京市第二屆“鼓樓區(qū)優(yōu)秀青年教師”和南京市第三屆“鼓樓區(qū)學(xué)科教學(xué)帶頭人”榮譽(yù)稱號.