基于分布位錯(cuò)法研究多條微裂紋對(duì)偏折主裂紋的影響

王強(qiáng)勝，張啟洞，蔣哲亮，李樂毅，江曉禹

基于分布位錯(cuò)法研究多條微裂紋對(duì)偏折主裂紋的影響

王強(qiáng)勝1，張啟洞2，蔣哲亮3，李樂毅1，江曉禹4*

（1.四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 德陽(yáng) 618000；2.中國(guó)兵器工業(yè)試驗(yàn)測(cè)試研究院，陜西 華陰 714200；3.聯(lián)合微電子中心有限責(zé)任公司，重慶 401332；4.西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院，成都 610031）

采用理論方法求解多條微裂紋對(duì)偏折主裂紋的影響，重點(diǎn)分析偏折主裂紋尖端的力學(xué)行為及微裂紋對(duì)主裂紋擴(kuò)展角度和閉合區(qū)域的影響等問題，為實(shí)際的工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。運(yùn)用疊加原理將主問題分解成2個(gè)子問題，通過材料力學(xué)方法求解子問題一；基于分布位錯(cuò)方法求解子問題二。進(jìn)一步建立關(guān)于位錯(cuò)密度的奇異積分方程，利用Gauss-Chebyshev數(shù)值求積分法解決位錯(cuò)密度方程的奇異性問題，并通過計(jì)算機(jī)編寫程序，最終得到相關(guān)力學(xué)參量的數(shù)值解。得到了偏折主裂紋附近的應(yīng)力場(chǎng)以及微裂紋長(zhǎng)度、微裂紋個(gè)數(shù)對(duì)偏折主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響等相關(guān)力學(xué)參量。分析了主裂紋不同偏折角度時(shí)的閉合區(qū)域，以及微裂紋的方位角、微裂紋個(gè)數(shù)等對(duì)偏折主裂紋擴(kuò)展角度的影響。裂紋面對(duì)拉應(yīng)力有屏蔽作用，導(dǎo)致拉應(yīng)力在裂紋面附近應(yīng)力松弛，而裂紋尖端對(duì)拉應(yīng)力有放大作用，隨著應(yīng)力增加將導(dǎo)致裂紋的擴(kuò)展。一條微裂紋位于主裂紋尖端約–30°<<50°時(shí)，將使主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子增加，促進(jìn)主裂紋的擴(kuò)展，而微裂紋位于50°<<90°或–90°<<–30°時(shí)，將使主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子減小，抑制主裂紋的擴(kuò)展。主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋長(zhǎng)度的增加而變大，隨微裂紋與主裂紋間距離的增加而減小。

偏折主裂紋；微裂紋；分布位錯(cuò)法；應(yīng)力強(qiáng)度因子；裂紋擴(kuò)展

材料或結(jié)構(gòu)中的缺陷（其最嚴(yán)重形式是裂紋）是不可避免的。由缺陷引起斷裂所發(fā)生的機(jī)械、結(jié)構(gòu)的失效，是工程中最重要、最常見、也是最危險(xiǎn)的失效模式，對(duì)于含裂紋的材料，其裂紋尖端是最危險(xiǎn)的區(qū)域[1]。自20世紀(jì)以來，斷裂力學(xué)成為吸引大批國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者爭(zhēng)相研究的重要領(lǐng)域，而對(duì)斷裂力學(xué)研究的重心在裂紋尖端區(qū)域的力學(xué)行為上[2]。在脆性斷裂或小范圍屈服條件下，可以用裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子表征裂紋尖端的應(yīng)力集中現(xiàn)象，使含裂紋的應(yīng)力集中問題得以量化解決[1]。

在外加荷載或材料內(nèi)部缺陷的影響下，已有裂紋會(huì)發(fā)生擴(kuò)展導(dǎo)致偏離原始方向，形成偏折裂紋，而偏折裂紋在工程結(jié)構(gòu)中是一種非常常見的現(xiàn)象。隨著外加載荷或材料內(nèi)部缺陷的持續(xù)影響，材料中將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)或多個(gè)應(yīng)力集中區(qū)域，在這些區(qū)域內(nèi)，會(huì)不可避免地萌生微裂紋，而微裂紋對(duì)材料的斷裂行為有著非常大的影響。因此，研究微裂紋與宏觀偏折主裂紋之間的相互影響有著重要的現(xiàn)實(shí)意義。閱讀文獻(xiàn)資料不難發(fā)現(xiàn)，有較多學(xué)者已做過一些裂紋之間相互影響的研究工作，如Kachanov[3]研究分析了彈性平面內(nèi)含多條裂紋的應(yīng)力問題。Li等[4-5]基于分布位錯(cuò)方法研究了無(wú)限大平面內(nèi)含任意方位的微裂紋與直的主裂紋間的相互影響。Loehnert等[6]和Wang等[7]通過擴(kuò)展有限元法分析了多個(gè)微裂紋對(duì)主裂紋的影響情況。Chen[8]采用權(quán)函數(shù)法研究了彈性平面內(nèi)多條偏折主裂紋之間的相互作用，得到了裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子。Lo[9]基于復(fù)變函數(shù)法，提出了單軸拉伸載荷作用下，無(wú)限大彈性平面內(nèi)含一條偏折裂紋的理論解。Gong等[10-12]、Meguid等[13]和Hori等[14]利用復(fù)變函數(shù)法研究了多條裂紋之間的相互作用。Mukai[15]研究了含偏折裂紋的半平面在剛性圓柱壓頭作用下的應(yīng)力問題。王強(qiáng)勝等[16-17]通過分布位錯(cuò)方法研究了復(fù)雜載荷作用下，半無(wú)限大彈性平面內(nèi)含一條直的主裂紋的力學(xué)行為。He等[18-19]分析了界面偏折裂紋問題。

上述研究只考慮了直的宏觀裂紋與微裂紋間的相互影響，并沒有分析多條微裂紋對(duì)偏折宏觀主裂紋的影響情況。因此，本文通過分布位錯(cuò)方法，重點(diǎn)研究了無(wú)限大彈性平面內(nèi)包含多條任意位置的微裂紋與一條偏折主裂紋之間的相互影響問題。得到了偏折主裂紋附近的應(yīng)力場(chǎng)、裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子以及主裂紋的擴(kuò)展角度等相關(guān)力學(xué)參量，得到的結(jié)果將為實(shí)際的工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 理論模型

在實(shí)際裂紋擴(kuò)展中，主裂紋的擴(kuò)展路徑往往是彎曲的，基于這樣的考慮，本文重點(diǎn)分析微裂紋對(duì)偏折主裂紋的影響。在無(wú)限大平面內(nèi)有一條偏折的主裂紋和條（≥3）任意位置的微裂紋，外加載荷是遠(yuǎn)場(chǎng)的均勻拉伸與剪切的復(fù)雜載荷，分別用∞和∞表示，理論模型如圖1所示。偏折主裂紋由2段傾斜段組成，分別標(biāo)記為裂紋“1”和裂紋“2”，長(zhǎng)度分別為2和2，傾斜角度分別為和，在本文稱之為裂紋角度；-2條微裂紋分別標(biāo)記為“3”“4”……“”，微裂紋的長(zhǎng)度均為2，微裂紋中心與整體坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均為，微裂紋的傾斜角度分別為3、4……α，微裂紋相對(duì)于整體坐標(biāo)原點(diǎn)的位置分別用3、4……θ表示，稱之為微裂紋方位角，定義、、α和θ逆時(shí)針方向?yàn)檎榉奖闱蠼?，用位錯(cuò)列代替裂紋時(shí)，裂紋編號(hào)也是相應(yīng)位錯(cuò)列的編號(hào)。接下來，采用分布位錯(cuò)方法對(duì)這一問題進(jìn)行理論求解。

2 理論求解

2.1 疊加原理

分布位錯(cuò)方法求解裂紋問題的核心思想是通過連續(xù)分布的位錯(cuò)來等效代替裂紋產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，從Bueckner定理出發(fā)，將圖1所研究的問題分解成2個(gè)子問題，其中子問題一：無(wú)裂紋和位錯(cuò)時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)復(fù)雜載荷作用下平面內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力問題。該問題的應(yīng)力場(chǎng)可以表示為：

子問題二：無(wú)外加載荷作用時(shí)，平面內(nèi)含有四列連續(xù)分布的刃型位錯(cuò)產(chǎn)生的應(yīng)力問題[20]，基于分布位錯(cuò)技術(shù)求解子問題二。最后將這2個(gè)子問題通過疊加原理得到圖1所示問題的完整解。

2.2 關(guān)于位錯(cuò)密度積分方程的建立

在無(wú)限大平面內(nèi)，位于整體坐標(biāo)系（，0）處的一個(gè)刃型位錯(cuò)產(chǎn)生的應(yīng)力場(chǎng)可以通過文獻(xiàn)[20]得到：

式中：μ是剪切模量；κ是Kolosov常數(shù)，平面應(yīng)力狀態(tài)下κ=(3–ν)/(1+ν)，平面應(yīng)變狀態(tài)下κ=3–4ν；ν是泊松比；bx和by是刃型位錯(cuò)Burgers矢量；G*是位錯(cuò)密度影響函數(shù)，可通過文獻(xiàn)[20]得到。

類似地，可以得到在裂紋1、2、3和4區(qū)域的總位錯(cuò)引起的應(yīng)力分量，如下：

式中，1=；2=；3=4=……R=；(ξ)是位錯(cuò)密度函數(shù)；無(wú)限大彈性平面內(nèi)含有2個(gè)任意方向裂紋的影響函數(shù)，已通過文獻(xiàn)[4,20]得到，式（4）中的影響函數(shù)可以通過替換裂紋位置和角度得到。

圖1所示問題的邊界條件必須滿足裂紋面無(wú)牽引力，即將式（4）代入式（2），得到關(guān)于位錯(cuò)密度的積分方程，如下：

至此，關(guān)于位錯(cuò)密度的積分方程已經(jīng)建立，式（5）中共有2個(gè)代數(shù)方程組，有2個(gè)待求解的位錯(cuò)密度函數(shù)，方程數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)，理論上是可以求解的，但該方程是奇異的，其解析解很難得到。因此，本文采用一種有效的數(shù)值求解方法Gauss-Chebyshev求積分法進(jìn)行數(shù)值求解[21-22]。

2.3 積分方程的數(shù)值求解

Gauss-Chebyshev求積分法，首先需將式（5）中的積分區(qū)間[–R，R]通過式（7）歸一化到區(qū)間[–1, 1]上。

此時(shí)，式（5）變?yōu)椋?/p>

由于裂紋兩端是奇異的，位錯(cuò)密度也是如此，從文獻(xiàn)[20]中得到位錯(cuò)密度函數(shù)的表達(dá)式，如下：

利用Gauss-Chebyshev求積分方法，可以將式（8）中的每個(gè)方程離散為-1個(gè)代數(shù)方程，如下：

式中，為離散積分點(diǎn)的個(gè)數(shù)，越大結(jié)果越精確。在式（10）中，共有2×個(gè)未知數(shù)，但只得到2×(–1)個(gè)代數(shù)方程。由于裂紋的2個(gè)尖端處位移為零，所以每個(gè)裂紋上，位錯(cuò)總的Burgers矢量必須等于零，以保證裂紋上無(wú)凈位錯(cuò)，通過這個(gè)條件得到2–2個(gè)補(bǔ)充方程：

在裂紋偏折處的位錯(cuò)密度值應(yīng)相等，再次得到2個(gè)補(bǔ)充方程：

同時(shí)，也可以得到整體坐標(biāo)系--下的應(yīng)力場(chǎng)：

3 理論解的驗(yàn)證

為保證圖1理論模型計(jì)算的正確性，同時(shí)能夠與已有文獻(xiàn)[20]的結(jié)果對(duì)比，故在本節(jié)理論解的驗(yàn)證模型中暫不考慮微裂紋的影響，只施加遠(yuǎn)場(chǎng)的均勻拉伸載荷∞，其他相關(guān)參數(shù)取=2、0°、=1.0、∞= 0、=30，本文計(jì)算結(jié)果（散點(diǎn)表示）與文獻(xiàn)[20]結(jié)果（實(shí)線表示）對(duì)比如圖2所示。

圖2 本文結(jié)果與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比

從圖2的結(jié)果對(duì)比中可以看到，不管是變化趨勢(shì)還是數(shù)值大小，本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[20]中的結(jié)果都是比較吻合的，說明本文采用的分布位錯(cuò)計(jì)算方法與數(shù)值計(jì)算程序得到的結(jié)果是可靠的。因此，本文以下結(jié)果均采用分布位錯(cuò)方法，并通過Wolfram Mathematical 9.0編程得到其數(shù)值解。

4 結(jié)果分析

4.1 裂紋附近應(yīng)力場(chǎng)

對(duì)于含裂紋的材料，其裂紋尖端是應(yīng)力最集中，也是最危險(xiǎn)的區(qū)域。裂紋附近應(yīng)力場(chǎng)的分析與計(jì)算結(jié)果有助于研究裂紋之間的相互作用。因此，為了更加直觀地看到偏折主裂紋附近的應(yīng)力分布情況，通過式（15）得到了偏折主裂紋附近的應(yīng)力場(chǎng)，如圖3為不考慮微裂紋與偏折主裂紋之間的相互作用時(shí)偏折主裂紋附近歸一化應(yīng)力場(chǎng)的等高線圖，相關(guān)參數(shù)取=2、30°、=0°、=1.0、∞=0、=30。

圖3a為偏折主裂紋附近歸一化的拉伸應(yīng)力場(chǎng)等高線圖，可以看到：裂紋面頂部和底部區(qū)域的拉應(yīng)力σ小于外加拉伸載荷∞，而裂紋兩端點(diǎn)區(qū)域的拉應(yīng)力σ大于∞，說明裂紋面對(duì)拉應(yīng)力有屏蔽作用，導(dǎo)致拉應(yīng)力在裂紋面附近的區(qū)域應(yīng)力松弛，而裂紋尖端區(qū)域?qū)瓚?yīng)力有放大作用。因此，在裂紋尖端附近發(fā)生應(yīng)力集中，隨著應(yīng)力增加將導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展。圖3b為偏折主裂紋附近歸一化的切應(yīng)力場(chǎng)等高線圖，可以看到，處于第一象限和第三象限的切應(yīng)力主要以負(fù)值為主，而處在第二象限和第四象限的切應(yīng)力主要以正值為主。

4.2 傾斜角β對(duì)裂紋“2”閉合區(qū)域的影響

在上一節(jié)結(jié)果驗(yàn)證中，當(dāng)相關(guān)參數(shù)取=2、0°、=1.0、∞=0、=30，裂紋“2”的傾斜角度=82°時(shí)，裂紋“2”將發(fā)生閉合。因此，有必要研究偏折裂紋中，裂紋“1”的傾斜角對(duì)裂紋“2”何時(shí)發(fā)生閉合的影響情況，這將有助于對(duì)存在缺陷（裂紋）材料的破壞形式有更好的說明。相關(guān)參數(shù)取=2、=1.0、∞=0、=30，結(jié)果如圖4所示。

若裂紋“1”的傾斜角=0°時(shí)，裂紋“2”在區(qū)間[82.0°, 118.3°]或[–118.3°, –82°]時(shí)將發(fā)生閉合，該閉合區(qū)間關(guān)于軸對(duì)稱分布。當(dāng)裂紋“1”的傾斜角=15°時(shí)，裂紋“2”在區(qū)間[85.5°,111.6°]或[–121.4°, –78.7°]時(shí)將發(fā)生閉合，該閉合區(qū)間與=0°時(shí)的閉合區(qū)間有較大的變化，并非對(duì)稱分布，而是在越靠近裂紋“1”的區(qū)域，造成裂紋“2”發(fā)生閉合的區(qū)域越大，在閉合區(qū)間內(nèi)容易造成材料的剪切破壞。

4.3 微裂紋對(duì)偏折主裂紋的影響

4.3.1 微裂紋長(zhǎng)度對(duì)偏折主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

在單軸拉伸載荷σ作用下，微裂紋長(zhǎng)度對(duì)偏折主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響情況如圖5所示，其他相關(guān)參數(shù)取=4、30°、=15°、3=30°、4=–30°、3=4=0°、=1.0、∞=0、=30。

圖4 裂紋“1”傾斜角β對(duì)裂紋“2”的影響

圖5 應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋長(zhǎng)度的變化曲線

從圖5的數(shù)據(jù)結(jié)果中看到，偏折主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子I或II都隨著微裂紋長(zhǎng)度的增加而變大，隨著微裂紋與偏折主裂紋間距離/的增加，微裂紋對(duì)主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響就會(huì)減弱，是因?yàn)殡S著距離/的增加以及微裂紋長(zhǎng)度/的減小，微裂紋對(duì)偏折主裂紋附近應(yīng)力場(chǎng)的影響將會(huì)減弱。

4.3.2 微裂紋方位對(duì)偏折主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

在單軸拉伸載荷σ作用下，微裂紋方位角對(duì)偏折主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響如圖6所示，其他相關(guān)參數(shù)取=4、30°、=15°、4=0°、3=4=0°、=1.0、=0.5、4=0.5、∞=0、=30。

圖6 應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋方位角θ的變化曲線

從圖6a中看到，當(dāng)只有一條微裂紋時(shí)，微裂紋方位角在–30°<<50°范圍時(shí)，微裂紋對(duì)主裂紋尖端I有放大作用，而在–90°<

4.3.3 微裂紋對(duì)偏折主裂紋擴(kuò)展方向的影響

最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則認(rèn)為含裂紋的材料會(huì)向裂紋尖端周向拉應(yīng)力最大的方向發(fā)生擴(kuò)展，可以有效判斷材料的斷裂方向[23]。因此，本文運(yùn)用最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則研究偏折主裂紋的擴(kuò)展方向，用偏折主裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算裂紋的擴(kuò)展方向，如下：

式中，定義逆時(shí)針方向?yàn)檎?，即direction>0時(shí)，裂紋在坐標(biāo)系一、二象限區(qū)域內(nèi)發(fā)生擴(kuò)展；direction<0時(shí)，裂紋在坐標(biāo)系三、四象限區(qū)域內(nèi)發(fā)生擴(kuò)展。

在單軸拉伸作用下，主裂紋擴(kuò)展角度隨微裂紋長(zhǎng)度或微裂紋方位角的變化情況如圖7所示，其他相關(guān)參數(shù)取=4、30°、=15°、4=0°、3=4=0°、=1.0、=0.5、4=0.5、∞=0、=30。

從圖7a微裂紋長(zhǎng)度對(duì)主裂紋擴(kuò)展角度的影響中看到，當(dāng)無(wú)微裂紋影響時(shí)，主裂紋隨著外加載荷的增加，將在第四象限內(nèi)以–12.94°的方向發(fā)生擴(kuò)展，因?yàn)橛蓤D3應(yīng)力場(chǎng)的分析可知，不管是正應(yīng)力，還是切應(yīng)力，都是在第四象限區(qū)域內(nèi)最大。而當(dāng)有一條微裂紋處于主裂紋尖端的右上方時(shí)，由于主裂紋位于微裂紋應(yīng)力場(chǎng)的第三象限，該象限內(nèi)是拉引力場(chǎng)和負(fù)向的切應(yīng)力場(chǎng)的疊加，將會(huì)吸引主裂紋朝著微裂紋所在的方向發(fā)生擴(kuò)展，即主裂紋隨著微裂紋長(zhǎng)度的增加，在第四象限內(nèi)逐漸朝著軸的方向發(fā)生擴(kuò)展。當(dāng)有2條對(duì)稱于軸分布的微裂紋時(shí)，主裂紋隨微裂紋長(zhǎng)度的增加，其擴(kuò)展方向與一條時(shí)恰好相反，且擴(kuò)展角度的增速更大，這表明該模型下，微裂紋處于主裂紋的右下方時(shí)，更容易造成裂紋擴(kuò)展。從圖7b中看到，微裂紋方位角對(duì)主裂紋擴(kuò)展角度的影響較小，在–90°<90°范圍內(nèi)變化過程中，=60°時(shí)，微裂紋對(duì)主裂紋擴(kuò)展角度的影響最大，=23°時(shí)，其影響相對(duì)較小。

4.4 微裂紋個(gè)數(shù)對(duì)偏折主裂紋的影響

在單軸拉伸作用下，微裂紋個(gè)數(shù)對(duì)偏折主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子及擴(kuò)展角度的影響如圖8所示，其他相關(guān)參數(shù)取=2…9、30°、=15°、3=45°、4=30°、5=15°、6=0°、7=–15°、8=-30°、9=–45°、=0°、=1.0、=0.5、=7.5、∞=0、=30。

從圖8a中看到，隨著微裂紋個(gè)數(shù)的增加，偏折主裂紋尖端一型應(yīng)力強(qiáng)度因子I將不斷增加，但其增幅相對(duì)緩慢，而II受微裂紋個(gè)數(shù)的影響相對(duì)較小。同圖7a中所得到的結(jié)論一致，微裂紋位于主裂紋右下方時(shí)，更容易引起主裂紋的擴(kuò)展，而位于右上方時(shí)，擴(kuò)展相對(duì)較難。從圖8b中看到，在該模型的裂紋方位下，微裂紋位于主裂紋右上方時(shí)，主裂紋在第四象限內(nèi)逐漸朝著軸的方向發(fā)生擴(kuò)展，而微裂紋位置越往主裂紋的右下方時(shí)，主裂紋將在第四象限內(nèi)逐漸向遠(yuǎn)離軸的方向發(fā)生擴(kuò)展，該結(jié)論同圖7a中所得到的結(jié)論一致，其原因已在前文說明，此處不再贅述。

圖7 偏折主裂紋擴(kuò)展角度的變化曲線

圖8 微裂紋個(gè)數(shù)對(duì)主裂紋的影響

4.5 實(shí)驗(yàn)觀察

本節(jié)中，用已有文獻(xiàn)的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果說明本研究的重要性，如圖9所示為掃描電鏡實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果。實(shí)驗(yàn)材料為U71mn鋼，試樣為矩形板（120 mm×15 mm× 1 mm），裂紋位于試樣中間，試樣承受對(duì)稱三點(diǎn)彎曲的疲勞載荷。

從掃描電鏡觀察結(jié)果可以看到：主裂紋將發(fā)生分支和偏折現(xiàn)象，如圖9a所示用紅色圓圈標(biāo)識(shí)，而在主裂紋擴(kuò)展路徑附近存在微裂紋，如圖9b所示用紅色箭頭標(biāo)識(shí)。在宏觀斷裂力學(xué)分析中，材料中很難避免孔洞、微裂紋、夾雜物等，同時(shí)，隨著宏觀主裂紋的擴(kuò)展，也會(huì)不斷萌生微裂紋，這些缺陷將對(duì)主裂紋的擴(kuò)展產(chǎn)生較大影響。基于此實(shí)驗(yàn)，本文選取材料中非常常見的裂紋偏折和微裂紋作為理論研究對(duì)象，以分析微裂紋對(duì)宏觀偏折主裂紋的影響情況，從而為實(shí)際的工程應(yīng)用提供理論依據(jù)。

圖9 實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果[2,24]

5 結(jié)論

本文通過分布位錯(cuò)方法得到了無(wú)限大彈性平面內(nèi)含多條微裂紋與一條偏折主裂紋的理論解，分析了微裂紋對(duì)偏折主裂紋的影響情況，得到以下結(jié)論：

1）裂紋面對(duì)拉應(yīng)力有屏蔽作用，導(dǎo)致拉應(yīng)力在裂紋面附近區(qū)域應(yīng)力松弛，裂紋尖端對(duì)拉應(yīng)力有放大作用，即在裂紋尖端發(fā)生應(yīng)力集中，隨著應(yīng)力增加將導(dǎo)致裂紋擴(kuò)展。

2）一條微裂紋位于主裂紋尖端–30°<<50°時(shí)，將使主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子增加，促進(jìn)主裂紋的擴(kuò)展，而微裂紋位于50°<<90°或–90°<<–30°時(shí)，將使主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子減小，抑制主裂紋的擴(kuò)展。

3）主裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子隨微裂紋長(zhǎng)度的增加而變大，隨微裂紋與主裂紋間距離/的增加而減小。

4）當(dāng)無(wú)微裂紋影響時(shí)，主裂紋隨外加載荷的增加，將在第四象限內(nèi)以–12.94°的方向發(fā)生擴(kuò)展；當(dāng)有一條微裂紋處于主裂紋尖端右上方時(shí)，將會(huì)吸引主裂紋朝著微裂紋所在的方向發(fā)生擴(kuò)展；當(dāng)有2條對(duì)稱于軸分布的微裂紋時(shí)，主裂紋隨微裂紋長(zhǎng)度的增加，其擴(kuò)展方向與一條時(shí)恰好相反，且擴(kuò)展角度增速更大。

5）主裂紋尖端I隨微裂紋個(gè)數(shù)的增加而不斷變大，但微裂紋個(gè)數(shù)對(duì)II的影響相對(duì)較小。

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Effect of Multiple Micro-cracks on Kinked Macro-cracks Based on the Distributed Dislocation Method

1,2,3,1,4*

(1. Sichuan College of Architectural Technology, Sichuan Deyang 618000, China; 2. Test and Measuring Academy of Norinco Group, Shaanxi Huayin 714200, China; 3. United Microelectronics Center, Chongqing 401332, China; 4. School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The work aims to study the problem of the effect of multiple micro-cracks on the kinked macro-crack by a theoretical method. In this paper, the mechanical behavior of the kinked macro-crack tip and the effect of multiple micro-cracks on the kinked macro-crack propagation angle and the closed regions of the kinked macro-crack were analyzed mainly. The obtained results will provide a theoretical basis for practical engineering applications. When solving the problem studied in this paper through theoretical analysis, it was divided into two steps. Firstly, the problem considered in this paper was divided into two sub-problems based on the superposition principle, and then solved one by one. Secondly, the first sub-problem was solved by material mechanics and the second sub-problem was solved by the distributed dislocation technique. Further, a singular integral equation about the dislocation density function was established. The singularity problem of the dislocation density equation was solved based on the Gauss-Chebyshev integration method and the numerical solution of the equation was obtained by means of computer programming. Finally, a series of valuable mechanical parameters about the kinked macro-crack were obtained. In this paper, some results were obtained which will provide a theoretical basis for practical engineering applications. For example, the stress field near the kinked macro-crack and the related mechanical parameters of the macro-crack tip were obtained. Specifically, these mechanical parameters affected the micro-crack length and the number of micro-cracks on the stress intensity factor at the tip of the macro-crack. The closed regions of the macro-crack with different kinked angles, and the effect of the orientation of micro-cracks and the number of micro-cracks on the propagation angle of the kinked macro-crack were analyzed. Several practical conclusions were obtained in this paper. It is concluded that the regions near the kinked macro-crack surface has a shielding effect on the tensile stress, which will lead to stress relaxation of the tensile stress near the crack surface. The regions near the crack tip will amplify the tensile stress. In other words, the stress will be concentrated near the crack tip, and the kinked macro-crack tip will further propagate as the increased of the applied load. When only one micro-crack is located at the macro-crack tip about –30°<<50°, the stress intensity factor at the kinked macro-crack tip will increase, which will promote the propagation of the macro-crack. When the micro-crack is located at 50°<<90° or –90°<<–30°, the stress intensity factor at the tip of the macro-crack will decrease, which will inhibit the propagation of the macro-crack. The stress intensity factor at the tip of the macro-crack will become larger with the increase of the micro-crack length, and decrease with the increase of the distance between the micro-crack and the macro-crack.

kinked macro-crack; micro-crack; distribution dislocation; stress intensity factor; crack propagation

2022-08-03；

2023-02-17

TG174

A

1001-3660(2023)10-0439-09

10.16490/j.cnki.issn.1001-3660.2023.10.040

2022-08-03；

2023-02-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11472230）

Supported by the National Natural Science Foundation of China (11472230)

王強(qiáng)勝, 張啟洞, 蔣哲亮, 等.基于分布位錯(cuò)法研究多條微裂紋對(duì)偏折主裂紋的影響[J]. 表面技術(shù), 2023, 52(10): 439-447.

WANG Qiang-sheng, ZHANG Qi-dong, JIANG Zhe-liang, et al. Effect of Multiple Micro-cracks on Kinked Macro-cracks Based on the Distributed Dislocation Method[J]. Surface Technology, 2023, 52(10): 439-447.

通信作者（Corresponding author）

責(zé)任編輯：馬夢(mèng)遙