“隱圓”現(xiàn)形記

文／李梅

有一類題目，從表面看圖形中沒有出現(xiàn)圓，但依據(jù)題目特點(diǎn)，通過分析轉(zhuǎn)化，我們可以構(gòu)造輔助圓，再利用圓的知識來解決問題。這種思路往往能起到化隱為顯、化難為易的效果。

一、根據(jù)圓的定義，尋找隱形圓

平面內(nèi)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動點(diǎn)，且AB長度固定，則點(diǎn)B的軌跡在以點(diǎn)A為圓心、AB長為半徑的圓上。因此，“隱圓”存在的第一個(gè)條件：定點(diǎn)加定長，產(chǎn)生“隱形圓”。

例1如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊，得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是________。

圖1

【解析】如圖2，E為定點(diǎn)，EB為定長，點(diǎn)B′的路徑為以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑的圓。連接DE，交⊙E于點(diǎn)B″。根據(jù)勾股定理求出，則B′D的最小值就是。

圖2

【方法提煉】見動點(diǎn)、遇定點(diǎn)→知定長→定圓心→現(xiàn)“圓”形。

二、根據(jù)圓周角定理及其推論，尋找隱形圓

根據(jù)圓周角定理，同圓中，同弦所對的同側(cè)圓周角都相等。這句話反過來說也是正確的，即當(dāng)一動點(diǎn)對一固定線段所成張角始終為定角時(shí)，那么這個(gè)動點(diǎn)的軌跡就是圓。因此，我們就可以得出“隱圓”的第二個(gè)條件：定邊對定角，產(chǎn)生“隱形圓”。

例2如圖3，已知正方形ABCD邊長為2，E、F分別是BC、CD上的動點(diǎn)，且滿足BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P，則PC的最小值為_____。

圖3

【解析】由于點(diǎn)E、F是動點(diǎn)，故點(diǎn)P也是動點(diǎn)，因而存在PC最小值的問題。那點(diǎn)P的軌跡如何確定呢？由BE=CF，可推得△ABE≌△BCF，易證AE⊥BF，即在運(yùn)動過程中∠APB=90°，故點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，如圖4。連接OC，與圓的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，再通過勾股定理即可求出。

圖4

【方法提煉】見直角→找斜邊（定長）→想直徑→定外心→現(xiàn)“圓”形。

【變式】如圖5，等邊△ABC邊長為2，E、F分別是BC、CA上兩個(gè)動點(diǎn)，且BE=CF，連接AE、BF，交點(diǎn)為P，則CP的最小值為_____。

圖5

【解析】由BE=CF，可推得△ABE≌△BCF，所以∠APF=60°。但∠APF所對的邊AF是變化的，所以考慮∠APB=120°，其對邊AB是定值。因此，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O為圓心的圓?。?gòu)造OA=OB且∠AOB=120°），如圖6。當(dāng)O、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，可得CP的最小值，如圖7。在Rt△OBC中，利用勾股定理求得，易得CP的最小值為。

圖6

圖7

【方法提煉】見定角→找對邊（定長）→想周角→轉(zhuǎn)圓心角→現(xiàn)“圓”形。

通過以上幾個(gè)例子，可見“隱圓”的顯現(xiàn)和構(gòu)造并不是空穴來風(fēng)，題目的條件都指向“圓”的本質(zhì)特征。將圓化“隱”為“顯”，就可以在圓的視角下，靈活地進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，從而高效地解決問題。