穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法

劉偉佳，趙旭奇

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化是在設(shè)計(jì)領(lǐng)域內(nèi)找到形狀配置和材料分布的設(shè)計(jì)方法.各類拓?fù)鋬?yōu)化方法已廣泛應(yīng)用于靜載荷下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和實(shí)際工程問題［1-2］.在工程應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問題經(jīng)常會遇到隨機(jī)因素，如隨機(jī)參數(shù)和材料特性、邊界條件和外部載荷的不確定性［3-6］.其中一個(gè)關(guān)鍵課題是在穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)［7］.因此，本文介紹了一種基于虛擬激勵(lì)法（PEM）［8］的大規(guī)模結(jié)構(gòu)在穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下的拓?fù)鋬?yōu)化方法.該優(yōu)化模型以寬頻率區(qū)間內(nèi)隨機(jī)位移的功率譜密度（PSD）為目標(biāo)函數(shù).此外，還考慮了一類具有結(jié)構(gòu)阻尼的線性動力系統(tǒng)及其在穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng).該方法結(jié)合頻率響應(yīng)計(jì)算［9］及隨機(jī)響應(yīng)的PEM 方法，以計(jì)算寬頻率區(qū)間內(nèi)的頻域解.優(yōu)化模型中目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基于伴隨方法得到，其中伴隨向量同樣可用本文方法求解.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本方法的高效性.

1 計(jì)算方法

外激勵(lì)作用下，結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)經(jīng)有限元方法離散后的運(yùn)動控制方程可以寫成如下形式：

其中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；為相應(yīng)的剛度矩陣；η為材料的阻尼系數(shù)；(t)，X(t)為系統(tǒng)加速度及位移向量；B為n×d維隨機(jī)激勵(lì)定位向量；f(t)為d維穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)向量，其功率譜（SPD）矩陣為Sf.

基于PEM［8］，輸入與輸出的SPD 矩陣及有如下關(guān)系：

其中：為H的共軛矩陣，H(ω)為復(fù)頻率響應(yīng)矩陣，且滿足

因此，輸入激勵(lì)f(t)的SPD 矩陣Sf為非負(fù)定Hermite 矩陣且可分解為根據(jù)輸入與輸出SPD 矩陣之間的關(guān)系，可以得到：

由此，可利用PEM 將穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)分析轉(zhuǎn)化為如下結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)分析：

在每個(gè)代求頻率點(diǎn)，對系數(shù)矩陣進(jìn)行分解回代可得到響應(yīng)的精確解.然而，對于大規(guī)模系統(tǒng)如此會產(chǎn)生巨大的計(jì)算量.模態(tài)疊加法通過將相應(yīng)無阻尼系統(tǒng)的特征向量線性疊加得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)，其精度隨著模態(tài)數(shù)量的增加而提高.對于大規(guī)模結(jié)構(gòu)無法求得所有特征向量，因此通過截?cái)嗟姆椒?gòu)造如下虛擬頻率響應(yīng)向量u(ω)的形式：

其中：ΦL為已求得的無阻尼系統(tǒng)特征向量；ΦH為截?cái)嗟臒o阻尼系統(tǒng)特征向量.結(jié)構(gòu)響應(yīng)的截?cái)嗖糠謽O大影響虛擬頻率響應(yīng)向量u(ω)的精度.

本文主要討論引入方法高效計(jì)算截?cái)嗖糠謜(ω)的近似解.考慮到結(jié)構(gòu)模態(tài)關(guān)于矩陣M正交性關(guān)系，w(ω)滿足如下形式：

下面將利用迭代的方法計(jì)算w(ω)，其表達(dá)形式可近似寫成

其中：向量pi由如下迭代格式得到

并得到相應(yīng)的系數(shù)a0及系數(shù)向量z(ω)，由于迭代格式的收斂性由譜半徑?jīng)Q定.具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)［9］.

基于密度法的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型［10］可有：

其中：ρe為設(shè)計(jì)變量，其意義為單元e的密度；為了確保迭代過程中質(zhì)量與剛度矩陣不出現(xiàn)奇異設(shè)置ρmin= 0.001；ve為單元e的體積，V0為設(shè)計(jì)區(qū)域的總體積，優(yōu)化模型中的目標(biāo)函數(shù)為考慮頻段內(nèi)某一自由度r的功率譜密度積分，且

在動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化過程中，由于設(shè)計(jì)變量的更新造成剛度與質(zhì)量不匹配，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)局部模態(tài)的現(xiàn)象.基于這樣的數(shù)值不穩(wěn)定性，已有許多改善方案，在一定程度上解決了局部模態(tài)的現(xiàn)象.本文采用的是多項(xiàng)式插值方案［11］.

靈敏度分析假定外部激勵(lì)與設(shè)計(jì)變量無關(guān).本文選擇伴隨方法計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的靈敏度.對于設(shè)計(jì)變量數(shù)量較大的情況，該方法是優(yōu)選的.它還可以避免計(jì)算特征向量導(dǎo)數(shù)，因?yàn)檫@在直接微分法中是一項(xiàng)困難的任務(wù).具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)［12］.此外，基于密度方法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化可能會遇到數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，如棋盤格和網(wǎng)格依賴性.網(wǎng)格過濾技術(shù)可以用來避免這些問題.最后，利用GCMMA算法作為優(yōu)化問題的求解方法［13］.

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

如圖1 所示，考慮設(shè)計(jì)區(qū)域?yàn)? m×0.5 m，厚度0.01 m 的矩形，結(jié)構(gòu)左側(cè)固定.利用有限元方法將該區(qū)域劃分為200×100 個(gè)平面4 節(jié)點(diǎn)應(yīng)力單元，系統(tǒng)包含40 400 自由度.體積約束為小于30%.結(jié)構(gòu)左側(cè)中點(diǎn)處沿y軸方向施加白噪聲激勵(lì)，其功率譜密度大小為104m2/Hz.楊氏模量E= 7 × 1010Pa，泊松比υ= 0.35，密度ρ= 2 700 kg/m3，結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)η= 0.01.優(yōu)化過程的收斂準(zhǔn)則為相鄰迭代步的目標(biāo)函數(shù)相對誤差小于10-4.目標(biāo)函數(shù)為［0，300］Hz，［0，600］Hz 和［0，1 000］Hz 內(nèi)荷載加載自由度PSD 值的積分.為了保證結(jié)構(gòu)響應(yīng)的計(jì)算效率，將迭代格式中的收斂準(zhǔn)則設(shè)為10-6.

圖1 二維懸臂梁

優(yōu)化模型的初值選擇是將所有的設(shè)計(jì)變量ρe均設(shè)置為0.3，相應(yīng)結(jié)構(gòu)的基頻為93 Hz.基于本文所提出方法的總耗時(shí)及相應(yīng)頻段的初始、收斂的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值見表1.

基于本文的拓?fù)鋬?yōu)化方法，三個(gè)不同頻段穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)下的優(yōu)化結(jié)果如圖2 所示.

圖2 各頻段激勵(lì)下的最優(yōu)化設(shè)計(jì)

圖2（a）~圖2（c）中的優(yōu)化結(jié)構(gòu)的基頻，分別為202.9 Hz、275.5 Hz、341.0 Hz.為了比較三個(gè)優(yōu)化構(gòu)型在各自考慮區(qū)間內(nèi)的動力學(xué)性能，其荷載自由度在頻段［0，1 000］Hz 的功率譜密度如圖3 所示.可以發(fā)現(xiàn)，隨著激勵(lì)頻段的擴(kuò)大，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的基頻會隨之增大，且動力學(xué)響應(yīng)會極大地影響最終的優(yōu)化構(gòu)型.表2 列出了在各自頻段激勵(lì)下利用本文方法計(jì)算初始結(jié)構(gòu)響應(yīng)的CPU 時(shí)間具體分布.為了較好地評估本方法的精確性，計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)的相對誤差

表2 初始結(jié)構(gòu)計(jì)算響應(yīng)的CPU 時(shí)間分布

圖3 初始結(jié)構(gòu)與最優(yōu)化設(shè)計(jì)的功率譜密度響應(yīng)曲線

其誤差曲線如圖4 所示.由文獻(xiàn)［9］中的推導(dǎo)可知，迭代格式的譜半徑在頻率區(qū)間的最右端ωR達(dá)到最大值.因此，截?cái)嗄B(tài)部分中的向量pi可有最高激勵(lì)頻率自適應(yīng)地確定，結(jié)構(gòu)響應(yīng)的表達(dá)式在整個(gè)頻率間隔內(nèi)都是有效的.這部分理論很好地驗(yàn)證了圖4 的結(jié)果，初始結(jié)構(gòu)響應(yīng)向量的相對誤差值在ωR達(dá)到最大且小于10-8.

圖4 基于本文方法的初始結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)相對誤差曲線

3 結(jié)語

本文提出了結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)拓?fù)鋬?yōu)化方法.與傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法相比，該方法具有更高的精度和適應(yīng)性，主要體現(xiàn)在三個(gè)方面.第一，方法可以根據(jù)用戶定義的迭代算法的收斂速度自適應(yīng)地確定模態(tài)疊加中涉及的低階模態(tài).第二，可基于給定的容差誤差計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng).最后，能夠在更新設(shè)計(jì)變量后自適應(yīng)調(diào)整計(jì)算過程.迭代算法只需要很短的CPU 處理時(shí)間，并且只占用小部分存儲空間，即使對于大規(guī)模的結(jié)構(gòu)問題也同樣有效.通過伴隨方法，本方法也可以對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行靈敏度分析.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性.對于給定自由度下隨機(jī)位移的PSD 最小化問題，基于本方法的拓?fù)鋬?yōu)化過程，不僅提高了計(jì)算精度，而且顯著減少了CPU 時(shí)間.