歷史啟迪教學(xué) 再現(xiàn)知識(shí)本質(zhì) 助力學(xué)生深度理解*
——以“分?jǐn)?shù)除法”教學(xué)為例

□鄭杏桃 岳增成

“分?jǐn)?shù)除法”是人教版教材六年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容，它是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)中的最后一塊“拼圖”。學(xué)生在學(xué)習(xí)此內(nèi)容之前已熟練掌握分?jǐn)?shù)加法、減法和乘法以及整數(shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算，他們已經(jīng)積累了豐富的分?jǐn)?shù)運(yùn)算和整數(shù)、小數(shù)除法運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)。按理說(shuō)，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法應(yīng)該得心應(yīng)手，實(shí)則不然。某學(xué)校在六年級(jí)第一學(xué)期的期末檢測(cè)中有這樣一道題目：“用你喜歡的方法說(shuō)明200÷一定等于200×2。”測(cè)試結(jié)果不盡如人意。約65%的學(xué)生給出的答案是“因?yàn)槌砸粋€(gè)數(shù)等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”；約10%的學(xué)生能仿照教材例題的呈現(xiàn)方式，“結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境以數(shù)形結(jié)合的方法”闡明理由；約10%的學(xué)生能用演繹推理的方法進(jìn)行解釋；還有約15%的學(xué)生表示不清楚?？梢?jiàn)，對(duì)于分?jǐn)?shù)除法，大部分學(xué)生只是依據(jù)算法進(jìn)行運(yùn)算，而沒(méi)有理解算理。

一、分析內(nèi)容，尋找原因

（一）分析當(dāng)下，厘清緣由

人教版教材把本內(nèi)容編排在六年級(jí)上冊(cè)第3單元，分2課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。第1課時(shí)為“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”，教材以折紙活動(dòng)為載體，利用數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理。整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生根據(jù)整數(shù)除法的意義、分?jǐn)?shù)乘法等知識(shí)，理解“一個(gè)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)”。第2 課時(shí)為“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”，包括整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)兩種情況。教材編排了“誰(shuí)走得快些”這一實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合線段圖，依據(jù)“路程÷時(shí)間=速度”的數(shù)量關(guān)系，把求速度的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先歸一再歸總的問(wèn)題，幫助學(xué)生理解“一個(gè)數(shù)除以一個(gè)分?jǐn)?shù)，等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”。

按照教材的學(xué)習(xí)路徑實(shí)施教學(xué)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境能幫助教師解釋算理，最終使學(xué)生掌握算法。但也存在兩處弊端：一是過(guò)于依賴情境，難以凸顯分?jǐn)?shù)除法算理的本質(zhì)，更無(wú)法讓學(xué)生真正理解算理，這也導(dǎo)致部分學(xué)生不能準(zhǔn)確說(shuō)明200÷一定等于200×2；二是直觀模型多樣化，不利于體現(xiàn)分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一致性，更無(wú)法體現(xiàn)分?jǐn)?shù)、整數(shù)和小數(shù)除法運(yùn)算的一致性。教師一般會(huì)按照教材和教學(xué)用書(shū)的要求，結(jié)合不同的現(xiàn)實(shí)情境，根據(jù)實(shí)際的意義解釋不同的分?jǐn)?shù)除法的算理。然而，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)存在一些疑惑，如：為什么不同的分?jǐn)?shù)除法運(yùn)用不同的直觀模型解釋算理？是不是每種分?jǐn)?shù)除法的算理都不一樣？

結(jié)合具體情境，利用直觀圖式進(jìn)行“分?jǐn)?shù)除法”的教學(xué)是符合小學(xué)生形象思維發(fā)展的。但弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提到：一味地依賴具體情境會(huì)使除法問(wèn)題變得更加復(fù)雜。由于教材未能很好地展示從直觀的分?jǐn)?shù)到算法的分?jǐn)?shù)再到分?jǐn)?shù)除法規(guī)則建立的過(guò)程，“分?jǐn)?shù)除法”成了小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)。

（二）回顧歷史，啟迪教學(xué)

從歷史的角度看，國(guó)內(nèi)外都很少借用現(xiàn)實(shí)情境解釋“分?jǐn)?shù)除法”的算理，大多是把計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，用代數(shù)推理的方式演繹計(jì)算過(guò)程。如：

這些算法每一步運(yùn)算的理由都顯而易見(jiàn)，并且每種算法都體現(xiàn)了顛倒相乘法的算理。其中，中國(guó)古代的通分法更能體現(xiàn)整數(shù)、分?jǐn)?shù)除法和小數(shù)除法運(yùn)算的一致性。

二、重構(gòu)教學(xué)，探索實(shí)踐

（一）運(yùn)用歷史，確立目標(biāo)

基于以上分析，筆者將數(shù)學(xué)史融入“分?jǐn)?shù)除法”教學(xué)中，確立了以下教學(xué)目標(biāo)。

（1）通過(guò)觀察、分析、類比、推理，把整數(shù)除法和小數(shù)除法的計(jì)算方法遷移到分?jǐn)?shù)除法中，體會(huì)分?jǐn)?shù)除法算法的多樣化，理解顛倒相乘法的算理，感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用以及除法運(yùn)算的一致性。

（2）在探究分?jǐn)?shù)除法算理和算法的過(guò)程中，發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識(shí)。

（3）拓寬視野，感受數(shù)學(xué)文化的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之諧、方法之美，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心。

（二）重構(gòu)歷史實(shí)施教學(xué)

1.實(shí)施前測(cè)，以學(xué)定教

教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾說(shuō)過(guò)：影響學(xué)習(xí)最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況去進(jìn)行教學(xué)。因此，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)除法”之前，筆者對(duì)所教班級(jí)39名學(xué)生進(jìn)行了課前測(cè)試。測(cè)試題目為：嘗試計(jì)算，并說(shuō)明計(jì)算的理由。測(cè)試結(jié)果顯示：約85%的學(xué)生用顛倒相乘法進(jìn)行計(jì)算，即，但說(shuō)不出計(jì)算理由；約5%的學(xué)生把分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法遷移到分?jǐn)?shù)除法中，將被除數(shù)和除數(shù)的分子、分母分別相除，由于除得的結(jié)果都不是整數(shù)，因而無(wú)法算出答案；還有約10%的學(xué)生表示不會(huì)，或把分?jǐn)?shù)除法當(dāng)作分?jǐn)?shù)乘法進(jìn)行運(yùn)算，得出錯(cuò)誤答案?？梢?jiàn)，大部分學(xué)生已經(jīng)會(huì)用顛倒相乘的方法進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算，但不清楚這一算法背后的道理。

2.開(kāi)宗明義，任務(wù)驅(qū)動(dòng)

設(shè)計(jì)意圖：以前測(cè)結(jié)果為依據(jù)確定教學(xué)任務(wù)，以任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方式激發(fā)學(xué)生的求知欲望，引導(dǎo)他們深度參與課堂學(xué)習(xí)。

3.復(fù)習(xí)舊知，啟發(fā)遷移

通過(guò)對(duì)話的方式，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)整十?dāng)?shù)除法（360÷90）、小數(shù)除法（1.2÷0.6）的計(jì)算方法與計(jì)算原理。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法能促使學(xué)生將整十?dāng)?shù)除法和小數(shù)除法的計(jì)算方法遷移運(yùn)用到分?jǐn)?shù)除法計(jì)算中，為體現(xiàn)小數(shù)、整數(shù)和分?jǐn)?shù)除法的一致性埋下伏筆。

4.小組合作，探究算法

設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生原有想法基礎(chǔ)上進(jìn)行整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法的回顧復(fù)習(xí)，通過(guò)教師的啟發(fā)和小組討論，使學(xué)生產(chǎn)生新的想法，形成新的算法，在探究過(guò)程中逐漸明晰的道理。

5.展示算法，理解算理

教師先要求每個(gè)小組匯報(bào)算法，解釋運(yùn)用每種計(jì)算方法的依據(jù)，然后把多種計(jì)算方法呈現(xiàn)在黑板上（如圖1）。再組織全班學(xué)生進(jìn)行討論，比較各種計(jì)算方法的異同，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些計(jì)算方法之間的區(qū)別與聯(lián)系。最后通過(guò)計(jì)算結(jié)果推斷前測(cè)中學(xué)生做法（即）的合理性，并適時(shí)介紹顛倒相乘法。

圖1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小組分享、全班交流，產(chǎn)生多樣化的計(jì)算方法，讓學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)除法算法從一到多的過(guò)程，感受探究之樂(lè)、成功之悅，品味知識(shí)之諧、方法之美。學(xué)生在辨析各種算法的過(guò)程中，體會(huì)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展了推理意識(shí)。

6.古今對(duì)比，優(yōu)化算法

教師用課件呈現(xiàn)古代多位數(shù)學(xué)家不同的方法論證（如圖2）。

圖2

師：中國(guó)是世界數(shù)學(xué)史上第一個(gè)形成分?jǐn)?shù)理論的國(guó)家，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在接觸了由中國(guó)、印度傳至阿拉伯國(guó)家的數(shù)學(xué)后，也思考出了幾種解決分?jǐn)?shù)除法的方法。大家能看懂這些古人的方法嗎？

生：中國(guó)的通分法實(shí)際上就是先通分，然后分子相除。

師：圖1中哪些計(jì)算方法用到了通分法？

生：第②⑥⑧種計(jì)算方法。

生：斐波那契的化一法實(shí)際上是利用商不變性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，即被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘。

生：就是把除數(shù)化為1。

師：圖1中哪些計(jì)算方法用到了斐波那契的化一法？

生：第④種計(jì)算方法。

生：斐波那契的同乘法也是利用商不變性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，即被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘ac。

師：ac是什么？為什么要乘ac？

生：ac是被除數(shù)和除數(shù)分母的公倍數(shù)，同時(shí)乘ac可以去分母，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法。

師：圖1中哪些計(jì)算方法用到了斐波那契的同乘法？

生：第⑤種計(jì)算方法。

師：斐波那契的單位法，實(shí)際上跟中國(guó)和印度的通分法差不多，都是先通分，再計(jì)算。我們用多種方法驗(yàn)證了顛倒相乘法，都是顛倒相乘法的算理，所以以后顛倒相乘法可以直接用，即。

師：你覺(jué)得哪種算法最簡(jiǎn)便？

生：顛倒相乘法。

師：對(duì)的。其實(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展也是一個(gè)優(yōu)勝劣汰的過(guò)程，顛倒相乘法簡(jiǎn)便，所以從古代一直沿用至今，還被編寫(xiě)進(jìn)我們的教材里面。而其他的算法由于麻煩，逐漸被歷史淘汰。但這些被淘汰的算法也有它們的價(jià)值，它們都是顛倒相乘法的算理。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)介紹中國(guó)古代在分?jǐn)?shù)理論上取得的成就，增強(qiáng)學(xué)生的民族自信和文化自信；通過(guò)對(duì)比古今算法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的想法與古代數(shù)學(xué)家的想法不謀而合，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。學(xué)生在古今算法的辨析過(guò)程中，進(jìn)一步理解顛倒相乘法的算理，優(yōu)化分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，提升了推理意識(shí)。

7.學(xué)以致用，鞏固內(nèi)化

讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算三道分?jǐn)?shù)除法題目。

設(shè)計(jì)意圖：選取三道具有代表性的題目，分別是同分母分?jǐn)?shù)相除、異分母分?jǐn)?shù)相除以及除數(shù)是整數(shù)的除法，讓學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，提升推理意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

8.對(duì)比歸納，領(lǐng)悟本質(zhì)

教師引導(dǎo)學(xué)生比較整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法在計(jì)算時(shí)都會(huì)用商不變性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，且最終都轉(zhuǎn)化為相同計(jì)數(shù)單位后相除。

設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生建立整數(shù)除法、小數(shù)除法和分?jǐn)?shù)除法計(jì)算之間的關(guān)系，幫助學(xué)生感悟計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的作用以及除法運(yùn)算的一致性。

三、效果后測(cè)，教后思考

（一）教學(xué)后測(cè)

本內(nèi)容教學(xué)結(jié)束2天后，對(duì)班級(jí)39名學(xué)生進(jìn)行后測(cè)。測(cè)試題目為：請(qǐng)用你喜歡的方法說(shuō)明一定等于200×2。

測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1

測(cè)試結(jié)果顯示，約56.41%的學(xué)生能用代數(shù)推理的方式說(shuō)明“200÷一定等于200×2”的理由，與日常教學(xué)效果相比有明顯提升。

（二）教學(xué)反思

本內(nèi)容教學(xué)以學(xué)生的已有認(rèn)知為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)史中獲得教學(xué)啟示，打破日常教學(xué)方式，運(yùn)用代數(shù)推理的方式進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷從算法多樣化到算法優(yōu)化的過(guò)程，突破分?jǐn)?shù)除法算理理解的認(rèn)知難點(diǎn)。

1.研讀歷史，直白引入，突破難點(diǎn)

“如何計(jì)算”并不是分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)難點(diǎn)，“為什么可以這樣計(jì)算”才是理解分?jǐn)?shù)除法算理的教學(xué)難點(diǎn)，前測(cè)的結(jié)果也充分說(shuō)明了這一點(diǎn)。前面的分析說(shuō)明了利用具體情境結(jié)合直觀圖示教學(xué)并不能有效突破難點(diǎn)。歷史是教學(xué)的指南，在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)史，并不是為了讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，而是幫助教師在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的歷史進(jìn)程中獲得教育啟示，并進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。筆者通過(guò)查閱史料，發(fā)現(xiàn)歷史中分?jǐn)?shù)除法都是通過(guò)代數(shù)推理的方式闡明算理的。因此，本內(nèi)容的教學(xué)重點(diǎn)應(yīng)放在幫助學(xué)生利用代數(shù)推理理解分?jǐn)?shù)除法的算理、破解教學(xué)的難點(diǎn)上。基于此，教學(xué)時(shí)直接以無(wú)背景的分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)計(jì)算為切入點(diǎn)，“逼迫”學(xué)生運(yùn)用代數(shù)推理的方式解決問(wèn)題。通過(guò)知識(shí)的聯(lián)結(jié)與遷移，學(xué)生利用代數(shù)推理探究出了多種解決問(wèn)題的方法。

2.巧設(shè)教學(xué)，凸顯過(guò)程，方法多元

歷史發(fā)展的進(jìn)程表明，代數(shù)推理在分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算中至關(guān)重要。如何喚起學(xué)生代數(shù)推理的思維，探究出分?jǐn)?shù)除法的多種計(jì)算方法是教學(xué)的關(guān)鍵。本內(nèi)容的教學(xué)通過(guò)復(fù)習(xí)整十?dāng)?shù)除法、小數(shù)除法的計(jì)算方法與計(jì)算原理，喚起學(xué)生對(duì)商不變規(guī)律及計(jì)數(shù)單位在運(yùn)算中的本質(zhì)作用的再認(rèn)識(shí)，為分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算做好了鋪墊；通過(guò)小組活動(dòng)探究分?jǐn)?shù)除法的多種計(jì)算方法，從而幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法的算理。

3.古今對(duì)照，理解算理，優(yōu)化算法

讓學(xué)生穿越時(shí)空，與古人隔空進(jìn)行思想交流與思維碰撞，不僅能激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還能促使他們?cè)诠沤穹椒ǖ膶?duì)比中自主優(yōu)化算法。學(xué)生通過(guò)自主探究，得出8 種不同的分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法，與古人的算法大致相同。通過(guò)與歷史上算法的橫向比較，學(xué)生更好地理解了古今算法，并對(duì)探究出的方法進(jìn)行了歸類，在歸類中深刻地理解了分?jǐn)?shù)除法的算理；通過(guò)與歷史上算法的縱向?qū)Ρ?，學(xué)生發(fā)現(xiàn)顛倒相乘法是多種算法中最簡(jiǎn)便的一種，這也是人們最終選擇顛倒相乘法計(jì)算分?jǐn)?shù)除法的原因。在對(duì)比中，學(xué)生從多到少、由繁入簡(jiǎn)，不僅理解了算理、優(yōu)化了算法，還在思考中感受到數(shù)學(xué)探究的樂(lè)趣，發(fā)現(xiàn)了人類思維的趨同性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。