在多元表征中促進(jìn)算理算法的融通
——“筆算除法”的思考與實(shí)踐

□蔣康麗

一、找學(xué)生起點(diǎn)——統(tǒng)計(jì)與分析前測(cè)數(shù)據(jù)

教學(xué)人教版教材三年級(jí)下冊(cè)“除數(shù)是一位數(shù)”單元“筆算除法”時(shí)，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，把握學(xué)生的認(rèn)知水平，筆者對(duì)任教班級(jí)45 名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。前測(cè)試題由兩道題目構(gòu)成，具體如下。

（一）了解學(xué)生解決除法問題時(shí)的多種方法

前測(cè)題目1：將45 根小棒平均分成3 份，你打算怎么分？請(qǐng)你一邊擺小棒一邊用語(yǔ)言進(jìn)行說明。

具體測(cè)試結(jié)果包括：

（1）先分十位上的整十根，再分個(gè)位上的，最后將十位和個(gè)位上剩余的合起來一起分。即先從40里面拿出30分成（10，10，10），再?gòu)?里面拿出3分成（1，1，1），最后將剩余的10+2=12 分成（4，4，4），結(jié)果為每份10+1+4=15（根）。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的33.33%。

（2）先分十位上的整十根，再把十位和個(gè)位上剩余的合起來一起分。即先從40里面拿出30分成（10，10，10），接著將剩余的10+5=15分成（5，5，5），結(jié)果為每份10+5=15（根）。這種方法是教材中引出除法豎式的方法，使用這種方法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的28.89%。

（3）先分個(gè)位上的，再十位上退一作十和個(gè)位上剩余的合起來一起分，最后分十位上剩余的整十根。即先從5里面拿出3分成（1，1，1），再把10+2=12 分成（4，4，4），最后將剩余的30 分成（10，10，10），結(jié)果為每份1+4+10=15（根）。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的17.78%。

（4）先分個(gè)位上的，再分十位上的整十根，最后將十位和個(gè)位上剩余的合起來一起分。即先從5里面拿出3分成（1，1，1），再?gòu)?0里面拿出30分成（10，10，10），最后將剩余的10+2=12分成（4，4，4），結(jié)果為每份1+10+4=15（根）。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的8.89%。

（5）將全部小棒拆開1 根1 根分，即將45 根小棒按（1，1，1）分15 次。使用這種分法的學(xué)生約占總?cè)藬?shù)的4.44%。

（6）約6.67%的學(xué)生沒有進(jìn)行操作。

其中，第（1）和第（2）種方法體現(xiàn)了從高位算起，第（3）和第（4）種方法體現(xiàn)了從低位算起。由此可見，學(xué)生具備解決問題的多種方法，如果教師直接使用第（2）種方法引出除法豎式，就只符合部分學(xué)生的認(rèn)知，并未完全立足真實(shí)的學(xué)情。

（二）了解學(xué)生用除法豎式進(jìn)行計(jì)算的起點(diǎn)

前測(cè)題目2：用豎式計(jì)算45÷3。

測(cè)試結(jié)果顯示：45名學(xué)生中，計(jì)算過程與結(jié)果均無誤的只有10 人，約占總?cè)藬?shù)的22.22%，他們已經(jīng)初步掌握了兩位數(shù)除以一位數(shù)的筆算方法；15名學(xué)生能得到正確的商，但筆算格式有誤，約占總?cè)藬?shù)的33.33%；有20 名學(xué)生的答案與計(jì)算過程均有誤，約占總?cè)藬?shù)的44.44%。筆者對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分析（如表1），發(fā)現(xiàn)主要有以下幾種：未理解豎式計(jì)算的價(jià)值，將口算等同于豎式；雖然已有試商的意識(shí)，但不敢挑戰(zhàn)兩次試商或兩次試商后不知如何處理各組成部分的位置；不懂算理，未將被除數(shù)的拆分與除法運(yùn)算算理聯(lián)系起來。

二、析學(xué)生所難——分析“筆算除法”之所以難的原因

（一）知識(shí)的負(fù)遷移導(dǎo)致理解的困難

從形式上看，筆算除法的書寫形式與學(xué)生已學(xué)的筆算加法、減法、乘法的書寫形式有很大的不同。筆算加法、減法、乘法的書寫形式從低位算起，從上往下依次計(jì)算；筆算除法的書寫形式從高位算起，并將計(jì)算結(jié)果寫于被除數(shù)的上方。從運(yùn)算的復(fù)雜性看，加法與減法僅是基于計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算；乘法則需要在拆分乘數(shù)的基礎(chǔ)上，利用乘法口訣和加法進(jìn)行組合運(yùn)算；筆算除法則需要在拆分被除數(shù)的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用加法、減法和乘法三種運(yùn)算，且這樣三種運(yùn)算合一的豎式模型較難納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。從與“有余數(shù)除法”的聯(lián)系上看，在學(xué)習(xí)“有余數(shù)除法”時(shí)，學(xué)生已經(jīng)有了除法豎式的初步模型，這種初步模型只需要用乘法口訣就可以直接求商，但這種方法很難直接遷移到“筆算除法”中，因此學(xué)生不敢挑戰(zhàn)兩次試商或兩次試商后不知如何處理各部分的位置。

（二）從試商的多樣化到標(biāo)準(zhǔn)豎式的跨越難度大

得出除法計(jì)算結(jié)果的方法有多種，但標(biāo)準(zhǔn)豎式背后的試商只有一種，就是通過試商將被除數(shù)拆分成能被除數(shù)整除的最大整十?dāng)?shù)以及被除數(shù)和這個(gè)最大整十?dāng)?shù)的差，如計(jì)算75÷3，要將75 拆成60 和15。試商的本質(zhì)就是利用乘法運(yùn)算對(duì)被除數(shù)進(jìn)行拆分，試商過程是幫助學(xué)生理解算理的過程，標(biāo)準(zhǔn)豎式書寫則是對(duì)運(yùn)算方法的優(yōu)化。如何讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法是一個(gè)有著邏輯關(guān)聯(lián)的過程。

三、構(gòu)教學(xué)活動(dòng)——深度理解筆算除法

通過上述調(diào)查與分析，要突破“筆算除法”這一教學(xué)難點(diǎn)，可以嘗試在學(xué)生多樣的分小棒方法的基礎(chǔ)上，建立試商與除法豎式的聯(lián)系，讓學(xué)生在動(dòng)作表征、圖式表征、豎式表征的關(guān)聯(lián)中理解算理、掌握算法。同時(shí)，考慮到分小棒的動(dòng)作表征起點(diǎn)較低，教學(xué)目標(biāo)定位為在充分理解算理基礎(chǔ)上初步掌握算法。因此，筆者對(duì)教學(xué)進(jìn)行了單元整體設(shè)計(jì)，直接從退位的筆算除法開始，將長(zhǎng)豎式引入教學(xué)。具體的教學(xué)活動(dòng)如下。

【片段1】實(shí)物操作，初步感知

師：將45根小棒平均分成3份，你打算怎么分？

生：1根1根地分。

師：有沒有方便一些的分法？

生：我是這樣分的，10根小棒扎成1捆（下同），先分整捆的小棒，每份1捆，剩下1捆；再分單根的小棒，每份分1根，剩下2根；最后把剩下的1捆拆開，和剛才剩下的2根合成12根小棒繼續(xù)分，得到結(jié)果。

生：我的方法是先分整捆的小棒，每份1捆，剩下1 捆；再把剩下的1 捆拆開，和另外5 根合成15根小棒繼續(xù)分，得到結(jié)果。

生：我是先分單根的小棒，每份1根，剩下2根；再拆1 捆小棒，與2 根合在一起，每份獲得4 根；最后分整捆，每份獲得1捆。

【片段2】圖式表征，深入感知

教師將學(xué)生分的過程記錄在黑板上（小棒圖），如圖1所示。

圖1

接著組織學(xué)生討論：比較三種分法，它們有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？

（1）分法②與分法③都是先分整捆再分零散的，分法①是先分零散再分整捆的。

（2）分法③兩次分完，分法①與分法②則要分三次。

設(shè)計(jì)意圖:分小棒的過程，就是運(yùn)用運(yùn)算律理解算理的過程。學(xué)生在敘述分的過程時(shí)，自然地運(yùn)用語(yǔ)言進(jìn)行描述，雖然不嚴(yán)謹(jǐn)、不簡(jiǎn)練，但是已經(jīng)能描述和概括出具體的操作活動(dòng)。除此之外，學(xué)生還從中體會(huì)到整捆分的好處以及拆開剩余1 捆小棒的必要性。

【片段3】豎式化表征，追本溯源

1.自主探究用豎式記錄分的過程

（1）教師出示任務(wù)：請(qǐng)大家自主探究用豎式記錄圖1中分法②的分小棒過程。

師：你們能用豎式的形式將圖1中分法②的分小棒過程記錄下來嗎？

（2）呈現(xiàn)學(xué)生作品。教師巡視發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生列的豎式為“一層樓”式，如圖2所示。

圖2

（3）同桌討論：你能看明白他列的豎式嗎？你贊同他的寫法嗎？

生：這種寫法只呈現(xiàn)了最終答案，沒有將這三次分小棒的過程一一記錄下來。

2.合作探究用長(zhǎng)豎式記錄分的過程

（1）在師生對(duì)話中生成除法的長(zhǎng)豎式，結(jié)合小棒圖介紹長(zhǎng)豎式各部分的含義，結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶。

（2）通過圖式表征、豎式表征和語(yǔ)言描述，幫助學(xué)生理解筆算除法的算理和算法（如表2）。

表2

3.鞏固練習(xí)，舉一反三

教師出示任務(wù)要求：請(qǐng)大家在圖1中剩余的兩幅小棒圖中任選一幅，將整個(gè)分小棒的過程用像這樣的長(zhǎng)豎式記錄下來。

圖3 中豎式各部分的含義：45 指的是共有45根小棒，3表示平均分成3份，10表示第一次每份分到10 根。第一次一共分掉了30 根，還剩15 根；第二次每份分到5根，一共分掉了15根，沒有剩余。

圖3

圖4 中豎式各部分的含義：45 指的是共有45根小棒，3 表示平均分成3 份，1 表示第一次每份分到1 根。第一次一共分掉了3 根，此時(shí)還剩下42根；第二次每份分到4 根，一共分掉了12 根，還剩30根；第三次每份分到10根，一共分掉了30根，沒有剩余。

圖4

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在尋求簡(jiǎn)練的記錄方式的過程中，感悟到分小棒的過程與豎式記錄方式之間的聯(lián)系，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，建立了豎式模型。同時(shí)，學(xué)生在探究中運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來描述，切實(shí)感受到豎式產(chǎn)生和應(yīng)用的價(jià)值。這樣既滿足了學(xué)生的好奇心，也使學(xué)生積累了探究的經(jīng)驗(yàn)，更增強(qiáng)了學(xué)生追本溯源的意識(shí)。

【片段4】對(duì)照比較，逐步優(yōu)化

教師出示任務(wù)：請(qǐng)大家觀察表2和圖3、圖4中的長(zhǎng)豎式，比較它們有什么相同與不同之處。

（1）表2與圖3中的兩個(gè)長(zhǎng)豎式中，第一次的商都為10，這是因?yàn)樗鼈兊谝淮味际窍确值恼?，從算法上來講都是先算十位。也就是說，這兩個(gè)長(zhǎng)豎式都是從高位算起的。

雖然這兩個(gè)長(zhǎng)豎式第一次的分法相同，但第二次的分法就不同了。圖3 是在分完第一次后將剩余的部分也就是1 個(gè)十和5 個(gè)一合起來一起分，每份分到5根；而表2是在第一次分了整捆后，第二次再分根，最后將捆的剩余根數(shù)與零散的根數(shù)合起來一起分。

對(duì)比發(fā)現(xiàn)：圖3 中的長(zhǎng)豎式較為簡(jiǎn)單，從豎式運(yùn)算上看，捆分完后，剩下的捆和根合成的數(shù)除以除數(shù)是一個(gè)簡(jiǎn)單的表內(nèi)除法問題。

（2）圖4 中的長(zhǎng)豎式第一次分，每份分到1 根，而表2 和圖3 中的兩個(gè)長(zhǎng)豎式第一次分，每份都分到10根。從小棒圖來看，這一種分法是先分根的，從算法上來講就是先算個(gè)位。

對(duì)比發(fā)現(xiàn)：表2 中的長(zhǎng)豎式可以簡(jiǎn)化為圖3 中的長(zhǎng)豎式，而圖4中的長(zhǎng)豎式（從個(gè)位算起）則無法縮簡(jiǎn)。

總結(jié)：除法從高位算起。

設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)比幾種豎式計(jì)算方法，學(xué)生能感悟到豎式除法確立的過程。通過不斷探索，豎式得以不斷簡(jiǎn)化，多樣的順序慢慢統(tǒng)一，瑣碎的步驟慢慢壓縮，多余的符號(hào)慢慢消除，不同的寫法慢慢規(guī)范。

四、思教學(xué)過程——多元表征，理法融通

單元整體設(shè)計(jì)視角下的“筆算除法”從動(dòng)作表征入手，建立了圖式表征和豎式表征，讓學(xué)生在圖式表征與豎式表征的關(guān)聯(lián)中理解筆算除法的意義和算理，在圖式表征與豎式表征的對(duì)比中經(jīng)歷筆算除法的簡(jiǎn)化過程，初步掌握算法。

（一）多元表征的關(guān)聯(lián)促使學(xué)生形成完整的思維鏈條

從分小棒操作到得出標(biāo)準(zhǔn)豎式是一個(gè)非線性的過程。前測(cè)表明，學(xué)生已具備多種分小棒的方法，也能運(yùn)用多種方法試商。因此，教學(xué)時(shí)要通過多元表征及表征之間的聯(lián)系，促使學(xué)生深度思考，形成完整的思維鏈條。具體而言，分小棒的多種方法及對(duì)應(yīng)的圖式表征、豎式表征確保了學(xué)生思考的充分性和一致性，分小棒的動(dòng)作表征及分小棒過程的圖式表征則實(shí)現(xiàn)了均分過程的思維外顯。通過圖式表征可以知道每一步分到了什么，而運(yùn)用豎式表征可以體現(xiàn)運(yùn)算過程中的“每一步怎么分、分了什么、分到了什么、剩下什么”，使外顯的思維建立聯(lián)系，完整地呈現(xiàn)出對(duì)應(yīng)圖式表征的過程，最終形成思維鏈條。

（二）長(zhǎng)豎式的引入促成算理和算法的融通

在以往的教學(xué)中，教師也會(huì)關(guān)注動(dòng)作表征和圖式表征，但往往是通過從這兩種表征直接過渡到標(biāo)準(zhǔn)豎式表征，從而幫助學(xué)生理解除法豎式的意義和運(yùn)算的一致性。但這樣的教學(xué)僅僅關(guān)注了學(xué)生思考的一致性而忽略了學(xué)生思考的充分性，忽視了學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)——試商，不利于學(xué)生理解算理。本內(nèi)容的教學(xué)充分認(rèn)識(shí)到豎式的價(jià)值，將分小棒的過程完整地記錄下來，并引入了長(zhǎng)豎式。一方面，讓多種動(dòng)作表征及對(duì)應(yīng)的圖式表征有了進(jìn)一步表征的機(jī)會(huì)，實(shí)現(xiàn)思考的充分性；另一方面，通過對(duì)多種豎式表征的對(duì)比，使學(xué)生理解豎式的意義與算理，經(jīng)歷豎式的簡(jiǎn)化過程，認(rèn)識(shí)到用標(biāo)準(zhǔn)豎式表征的必要性。

（三）單元整體設(shè)計(jì)讓教學(xué)路徑更為合理

“除數(shù)是一位數(shù)的除法”單元中的“筆算除法”涉及被除數(shù)是兩位數(shù)、被除數(shù)是三位數(shù)和有關(guān)0的除法，共編排了7 個(gè)例題、10 道不同類型的除法運(yùn)算。從編排的邏輯來看，是從易到難、從特殊到一般再到特殊，注重退位除法與被除數(shù)或商中有零的除法等難題的解決。事實(shí)上，無論是教學(xué)哪類整數(shù)除法，讓學(xué)生理解算理、掌握算法是關(guān)鍵。因此，筆者從單元整體設(shè)計(jì)的視角出發(fā)，調(diào)整教學(xué)路徑，搭建長(zhǎng)豎式這一學(xué)習(xí)支架，讓長(zhǎng)豎式貫穿整個(gè)“筆算除法”教學(xué)：第1 課時(shí)讓學(xué)生借助長(zhǎng)豎式理解除法豎式記錄“分的過程”的功能，第2課時(shí)讓學(xué)生經(jīng)歷長(zhǎng)豎式到標(biāo)準(zhǔn)豎式的簡(jiǎn)化過程。具體圍繞例6“（1）208÷2”與例7“（1）650÷5”、例6“（2）216÷2”與例7“（2）245÷8”安排2 個(gè)課時(shí)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用長(zhǎng)豎式來理解標(biāo)準(zhǔn)豎式的書寫道理。由此，教師充分利用長(zhǎng)豎式這一學(xué)習(xí)支架，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，更好地掌握各類整數(shù)除法的算法。