利用韋爾伯福斯擺測量彈簧材料的泊松比

藍(lán)亦青,李濱旭,張?zhí)煨?張廷德,龍 象,王曉峰,何春清,劉海林

(武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430072)

泊松比是指材料在單向受拉或受壓時,橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變的比值,也叫橫向變形系數(shù). 泊松比是反映材料橫向變形的彈性常量. 測量固體材料泊松比的方法主要為直接測出微小的橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變進(jìn)而得到泊松比,包括聲測法[1]、光測法[2]、電測法[3]等,上述方法的本質(zhì)是使用傳感器高精度測量微小形變. 如果將材料制成彈簧,通過分析彈簧的相關(guān)參量可以測得彈簧材料的泊松比. 由于彈簧材料泊松比的測定較為復(fù)雜,很難精確測量所需參量,因此在實驗中,嘗試通過臨界條件將難以準(zhǔn)確測量的彈簧材料參量轉(zhuǎn)化為容易測量的韋爾伯福斯擺(簡稱韋氏擺)的運動參量[4].

1 實驗裝置

實驗器材:彈簧(內(nèi)直徑d1=1.748 cm,外直徑d2=1.912 cm)、韋氏擺擺錘、螺母若干(厚度d=0.300 cm,質(zhì)量m0=0.700 g)、光學(xué)面包板、超聲波距離傳感器、光電門、PASCO-850通用接口、電磁鐵、直流電源、PASCO Capstone軟件.

1.1 韋氏擺

韋氏擺的擺錘以3D打印的PLA塑料為主體,與橫向、縱向2個金屬螺柱組裝而成,如圖1所示. 在豎直方向增減螺母的數(shù)量可以改變擺錘的質(zhì)量,沿水平方向螺柱移動螺母可以改變擺錘的轉(zhuǎn)動慣量,且可通過標(biāo)尺讀出螺母的位置,計算轉(zhuǎn)動慣量.

圖1 韋氏擺

1.2 超聲波距離傳感器

由PASCO-850通用接口連接超聲波距離傳感器和電腦. 利用Capstone程序,實時測出擺錘底端與傳感器的距離,并且自動在Capstone界面中作出z-t曲線.

1.3 光電門

由PASCO-850通用接口連接光電門和電腦. 利用Capstone程序,實時測出橫向螺柱經(jīng)過光電門時的速度,并作出v-t曲線.

1.4 儀器組裝與軟件初始化

實驗裝置如圖2所示.

圖2 實驗裝置圖

1)連接彈簧與擺錘,分別將2個螺母對稱旋入水平螺柱的兩端.

2)連接電磁鐵與直流電源,斷開開關(guān).

3)通過PASCO-850通用接口連接光電門、超聲波距離傳感器與電腦.

4)打開Capstone軟件,設(shè)置距離傳感器為近距離模式,設(shè)置采樣頻率為50 Hz.

5)將韋氏擺、光電門、電磁鐵固定到鐵架臺上,并將引導(dǎo)桿固定到電磁鐵的鐵架臺旁邊.

為了保證在運動過程中韋氏擺時刻滿足運動方程,在擺放時應(yīng)注意:

1)盡量由靜止豎直釋放韋氏擺. 將超聲波距離傳感器放置在電磁鐵正下方.

2)放置光電門時,要盡量保證擺在平衡位置時水平螺柱、轉(zhuǎn)軸與光電門共平面(光電門的指示燈常亮).

3)使用超聲波傳感器測距離時,傳感器和擺的距離保持在40 cm左右.

2 實驗原理

將韋氏擺的擺錘提升或者拉離平衡位置后,由靜止釋放,擺錘沿垂直線上下振蕩,并且將豎直振動模式的部分動能緩慢地轉(zhuǎn)換為水平扭轉(zhuǎn)模式的動能,當(dāng)水平的擺動幅度達(dá)到最大值后,這部分能量又由水平扭轉(zhuǎn)模式轉(zhuǎn)換回豎直振動模式. 如果將橫向螺柱上的螺母調(diào)整到適當(dāng)位置,使豎直振動模式和水平扭轉(zhuǎn)模式的頻率相同時,則動能在這2種振蕩模式之間完全來回傳遞,即豎直方向的振動會出現(xiàn)停止的情況,反之,當(dāng)豎直方向振子振動最強時其水平扭轉(zhuǎn)運動也幾乎停止.

2.1 韋氏擺的一般運動規(guī)律

對于一般的螺旋彈簧,彈簧在豎直伸縮過程中,可以利用勁度系數(shù)k表示彈簧的彈性勢能.與此同時,彈簧下端會隨著彈簧的拉伸而轉(zhuǎn)動,彈簧下端偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角φ與彈簧伸長量z成正比[5],比例系數(shù)為C,即

φ(z)=Cz,

(1)

彈簧轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生扭矩,勢能為

(2)

其中D為彈簧扭轉(zhuǎn)系數(shù).

對系統(tǒng)進(jìn)行能量分析,拉格朗日函數(shù)[6]為

(3)

(4)

因DC2?k,以下討論與計算均令k′≈k.通解為

z=A1eiω1t+A2e-iω1t+A3eiω2t+A4e-iω2t,

(5)

其中

(6)

(7)

(8)

(9)

2.2 韋氏擺的共振機理

(10)

(11)

此時水平和豎直方向的振動都可以降為0,出現(xiàn)明顯的能量轉(zhuǎn)換現(xiàn)象,或者說“完全”共振現(xiàn)象,即水平扭轉(zhuǎn)運動最強時豎直振動幾乎停止;反之,當(dāng)豎直方向振子振動最強時其水平扭轉(zhuǎn)運動幾乎停止.

接下來分析耦合運動的周期.實驗共有3個周期量,分別為豎直方向小幅振動周期、水平方向小幅轉(zhuǎn)動周期以及二者都表現(xiàn)的拍周期[7].拍的周期為

(12)

式(6)～(7)變換為

(13)

實驗中唯一改變的量是轉(zhuǎn)動慣量,因此將(ω1-ω2)2看作轉(zhuǎn)動慣量I的單變量函數(shù),尋找極值條件.

(14)

進(jìn)而得到

(15)

此時

拍周期T達(dá)到最大值,同時擺也達(dá)到完全共振的狀態(tài).由式(6)、式(7)以及式(3),利用Matlab進(jìn)行數(shù)值計算,可以得到給定的擺錘振子具有不同轉(zhuǎn)動慣量情況時拍周期的變化曲線,如圖3所示.

圖3 Matlab計算的T-I關(guān)系

在振子的轉(zhuǎn)動慣量由80.000 g·cm2增加到約143.000 g·cm2的過程中,拍周期T增加并達(dá)到最大值,當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量繼續(xù)增大則T減小,模擬結(jié)果與理論預(yù)測一致.

2.3 測量彈簧材料的泊松比

對于一般的螺旋彈簧,其參量滿足[8-9]

D=kR2(1+σcos2α),

(16)

其中,k為彈簧的勁度系數(shù),R為彈簧的半徑,σ為金屬的泊松比,α為彈簧的螺旋角.

由于實驗使用的彈簧為拉簧,即使在懸掛伸長后,α?1,故cos2α≈1,式(16)可以變?yōu)?/p>

D=kR2(1+σ).

(17)

因此,當(dāng)拍周期達(dá)到最大時即擺達(dá)到完全共振時,將式(17)代入式(15),得到金屬的泊松比為

(18)

其中,I為系統(tǒng)的有效轉(zhuǎn)動慣量,由平行軸定理可以得到

(19)

其中r為螺母距離轉(zhuǎn)軸的位置.等式右邊的第2項為螺母對中心軸的額外轉(zhuǎn)動慣量.

調(diào)節(jié)擺的轉(zhuǎn)動慣量并釋放擺,觀察擺接近完全共振的現(xiàn)象,之后在其對應(yīng)的螺母位置處附近選若干點,改變位置進(jìn)行實驗測量,得出拍周期最大時對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量,利用式(18)即可測出彈簧材料的泊松比.

2.4 韋氏擺的阻尼研究

實際實驗存在阻尼,因此可以在方程(4)中加入阻尼項,

(20)

其中,β1和β2為韋氏擺在豎直、水平方向運動的阻尼系數(shù).

無法求得方程(20)的解析解,使用Matlab對方程進(jìn)行數(shù)值求解,可以得到有、無阻尼時,擺錘高度隨時間的變化規(guī)律,如圖4所示.

(a)有阻尼

由圖4可知:當(dāng)存在阻尼時擺振子的振幅隨時間衰減,但拍周期與是否存在阻尼無關(guān).

3 實驗方法及結(jié)果

3.1 初步調(diào)節(jié)韋氏擺并觀察擺的耦合特點

1)將韋氏擺靜置,上移電磁鐵使其緊貼擺下端但不與擺相碰. 閉合電路開關(guān),電磁鐵吸住韋氏擺,利用引導(dǎo)柱下拉電磁鐵至適當(dāng)位置,調(diào)整韋氏擺的擺角位置,使其與平衡位置時的擺角方向相同,撤去引導(dǎo)柱.

2)打開距離傳感器,斷開電磁鐵開關(guān),在釋放彈簧后,固定轉(zhuǎn)動電磁鐵(防止電磁鐵影響距離傳感器的測量結(jié)果). 觀察韋氏擺的運動模式,可以看到擺錘逐漸出現(xiàn)水平轉(zhuǎn)動現(xiàn)象.

3)固定1對螺母,對稱調(diào)節(jié)另1對螺母的位置,重復(fù)步驟1)和2),直至豎直方向振動出現(xiàn)基本停止.

4)再次通過電腦記錄數(shù)據(jù),實時觀測韋氏擺豎直方向振動距離隨時間的變化曲線,以及水平旋轉(zhuǎn)速度隨時間的變化曲線. 觀察豎直、水平方向振動的拍現(xiàn)象.

將螺母與轉(zhuǎn)軸的距離x1和x2作為可調(diào)參量,改變擺體的轉(zhuǎn)動慣量,見表1. 不改變其他參量,系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量在141.000～147.000 g·cm2的區(qū)間內(nèi)逐步改變,并測量擺上2個固定點的水平轉(zhuǎn)動線速度和豎直位置,如圖5所示. 容易觀察到如上所述“共振”,水平轉(zhuǎn)動和豎直振動都出現(xiàn)了拍現(xiàn)象. 如圖6所示,在有阻尼情形韋氏擺豎直位置隨時間變化的Matlab模擬結(jié)果和實驗結(jié)果一致.

表1 轉(zhuǎn)動慣量I、水平轉(zhuǎn)動停止時間間隔Ti及拍周期T

(a)水平線速度

(a)模擬

3.2 微調(diào)韋氏擺并測定彈簧材料的泊松比

1)在粗調(diào)韋氏擺的基礎(chǔ)上,對稱改變兩螺母位置并記錄外側(cè)位置,使螺母位置在共振位置附近取值,并進(jìn)行3.1的步驟1)和2),根據(jù)數(shù)據(jù)得到連續(xù)5個拍的開始、結(jié)束時間T1,T2,T3,T4,T5和T6.

2)通過微調(diào)自制韋氏擺螺母位置改變其轉(zhuǎn)動慣量.由式(19)計算螺母處于不同位置時的轉(zhuǎn)動慣量I,實驗上獲得不同轉(zhuǎn)動慣量韋氏擺對應(yīng)的共振曲線.從共振曲線中順序讀出第i個最小位移出現(xiàn)的時刻Ti,直線擬合時間Ti與順序i之間的關(guān)系,即可得到不同轉(zhuǎn)動慣量對應(yīng)的拍周期T.最后,作出拍周期T與轉(zhuǎn)動慣量I的關(guān)系曲線,如圖7所示.

圖7 韋氏擺的T-I曲線

由擬合結(jié)果易知,當(dāng)拍周期T達(dá)到最大時,對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量I=143.850 g·cm2. 利用式(18)計算金屬彈簧的泊松比σ=0.274 5,不確定度uσ=0.01,則σ=0.27±0.01.

另外,當(dāng)彈簧參量取值為C=0.85 m-1,D=1.744×10-3N·m時,拍周期隨轉(zhuǎn)動慣量變化的數(shù)值模擬與實驗結(jié)果一致(見圖7). 由T-I模擬曲線得出拍周期T達(dá)到最大時,對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量I=143.900 g·cm2,計算結(jié)果與實驗測量一致.

4 結(jié)束語

耦合現(xiàn)象是力學(xué)中的獨特現(xiàn)象,展現(xiàn)了結(jié)構(gòu)力學(xué)的內(nèi)在機理. 本次實驗,實驗儀器簡單,利用擺錘可以靈活地調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)動慣量,方便實驗操作. 由于其獨特的耦合振動現(xiàn)象,在了解單個方向的運動狀態(tài)后可以得到整體系統(tǒng)的拍周期,在實驗儀器缺失的情況下,可以測量單方向運動達(dá)到實驗?zāi)康? 該實驗可以作為普通物理實驗,不僅能夠觀察到耦合振動現(xiàn)象,又能借助韋氏擺巧妙設(shè)計泊松比的力學(xué)測量方法.