用解析法求正方形背景下線段（之和）的最值

摘 要：正方形背景下求解線段最值常見四種題型分別是：“一定一動”基本型、“兩定一動”引申型、“雙動點(diǎn)”提高型、“多動點(diǎn)”拓展型.解題模型和思路較多，但有一種歸一模型：坐標(biāo)系模型.應(yīng)用坐標(biāo)系模型有兩個條件：主動點(diǎn)線段處有一直角和主動點(diǎn)軌跡是線段.

關(guān)鍵詞：正方形背景;線段；最值；坐標(biāo)系模型

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）29-0005-03

收稿日期：2023-07-15

作者簡介：徐嵐（1985.8-），女，江蘇省蘇州人，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

2 模型思考

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)是幫助學(xué)生學(xué)會思考，用思維方法的分析帶動具體知識的學(xué)習(xí)，才能提高學(xué)生的解題能力.既要學(xué)會一題多解的發(fā)散思維，也要訓(xùn)練多題一解的集中思維，在解題過程中，學(xué)生要不斷地感悟和理解抽象、推理、直觀的作用，得到新的數(shù)學(xué)模型，改進(jìn)思維品質(zhì)，擴(kuò)大應(yīng)用范圍，提升關(guān)鍵能力^[2].通過一個問題解決一類問題，達(dá)到認(rèn)識問題的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

運(yùn)用坐標(biāo)模型解決正方形背景下多種類型的最值問題，有兩點(diǎn)思考.

2.1 適用的題目條件

首先，正方形背景.因?yàn)檎叫卧谶?，角，對角線等多方面有特殊的性質(zhì)，易于建立直角坐標(biāo)系，正方形頂點(diǎn)和對角線交點(diǎn)坐標(biāo)容易建立，為解題帶來了諸多的便捷.其次，要有動點(diǎn)線段90度旋轉(zhuǎn).因?yàn)檫@個條件結(jié)合正方形性質(zhì)可以構(gòu)造“一線三直角”模型，得到兩直角三角形相似或全等，求出對應(yīng)邊的數(shù)量關(guān)系，便于求出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值.最后，動點(diǎn)運(yùn)動軌跡為直線，一般不適用于圓的軌跡，因?yàn)閳A軌跡上的點(diǎn)坐標(biāo)建立比較復(fù)雜.

2.2 解題思路歸一

學(xué)習(xí)要遵循循序漸進(jìn)原則，透徹理解基本題型的解題思路及原理.所以要讓學(xué)生對“一定一動”基本型搞清搞透.首先，利用“一線三直角”模型，應(yīng)用全等三角形模型或相似三角形模型，求出對應(yīng)邊數(shù)量關(guān)系，得出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)值^[3]；如圖1中，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；其次，根據(jù)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)距離公式；最后，根據(jù)函數(shù)公式等求出最值.

總之，各種問題都有這個內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，只要我們善于探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探究多題一解的規(guī)律，我們的思維品質(zhì)才會提升，要善于分析、歸納、總結(jié)，解題思維水平一定得到極大提高.

參考文獻(xiàn)：

[1] 莊周燕.搭建支源：“二次函數(shù)與線段最值”的教學(xué)實(shí)踐與思考[J].數(shù)理化解題研究，2020（23）：22-23.

[2] 王尚志. 如何在數(shù)學(xué)教育中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].中國教師，2016（5）：33-38.

[3] 夏江勇.落霞與孤鶩齊飛 秋水共長天一色：廣州市2021年數(shù)學(xué)中考第25題的解題思路探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2022（12）：42-44.

[責(zé)任編輯：李 璟]