最小二乘擬合正弦參數(shù)誤差階梯式分布規(guī)律的實(shí)驗(yàn)研究

梁志國

(北京長城計(jì)量測試技術(shù)研究所計(jì)量與校準(zhǔn)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100095)

1 引 言

正弦現(xiàn)象是自然界中的一種常見現(xiàn)象,由此導(dǎo)致人們很早就已經(jīng)開展對正弦及其規(guī)律研究[1～6],并使得正弦信號波形大量應(yīng)用在人類的生產(chǎn)、生活、研究、探索中[7～11]。通常,在相同測量條件下,最小二乘正弦擬合可以獲得非常高的參數(shù)準(zhǔn)確度,因此使其具有重要的意義和價(jià)值[12～17],而擬合正弦參數(shù)誤差及其規(guī)律的研究也具有特殊的意義和價(jià)值。

有關(guān)擬合正弦參數(shù)的誤差問題,美國NIST的研究最具有代表性,它全面而系統(tǒng)地揭示了幅度、頻率、相位、直流偏移的擬合結(jié)果的誤差界與各個(gè)變化中的測量條件的定量關(guān)系,包括諧波、噪聲、抖動(dòng)、擬合序列長度、擬合序列中所包含的正弦周波數(shù)等因素,但并未特別提及量化誤差在其中的影響和作用;主要是將其視作隨機(jī)噪聲的影響,且體現(xiàn)在噪聲特性的影響規(guī)律中;并認(rèn)為隨機(jī)噪聲對四參數(shù)正弦最小二乘擬合中擬合參數(shù)誤差界的影響,與所使用的擬合序列長度呈反比關(guān)系[3]。

由于A/D轉(zhuǎn)換的量化誤差是數(shù)字化測量中不可避免的誤差來源,在很多情況下是最主要的誤差來源,因此,量化對擬合正弦參數(shù)誤差的影響也是人們所尤其關(guān)注的問題之一。

文獻(xiàn)[18～20]分別對不同條件下,擬合正弦參數(shù)誤差界進(jìn)行了搜索研究,發(fā)現(xiàn)了其誤差界隨擬合長度而變化所呈現(xiàn)的等間隔分段跳變的量子化階梯效應(yīng)和規(guī)律,并提出了量子化階梯邊界點(diǎn)的計(jì)算公式,取得了重要進(jìn)展。本文后續(xù)內(nèi)容是該方向研究的延續(xù),并試圖以定量方式揭示各個(gè)量子化階梯高度的變化規(guī)律。

2 基本思想及條件設(shè)定

關(guān)于量化誤差對擬合正弦參數(shù)誤差界的影響,文獻(xiàn)[18～20]業(yè)已進(jìn)行了多方面的仿真探索研究。對于擬合所獲得的正弦幅度、頻率、相位、直流偏移、以及所用A/D有效位數(shù)共5個(gè)擬合參量的誤差,隨各條件因素變化而變化的規(guī)律,進(jìn)行了系統(tǒng)性展示。

獲得的結(jié)果是,正弦采樣序列的幅度、信號周波數(shù)、序列長度、A/D轉(zhuǎn)換位數(shù)等,均會(huì)對各個(gè)擬合參數(shù)的誤差界造成影響,其最后結(jié)論可以總結(jié)歸納為[20]:

正弦曲線四參數(shù)最小二乘擬合所獲得的正弦幅度、頻率、相位、直流偏移、以及所用A/D有效位數(shù)共5個(gè)擬合參量的誤差界,隨著擬合序列長度的增加,呈等間隔量子化階梯規(guī)律遞減變化,其階梯寬度w由擬合信號序列所包含的采樣量化臺(tái)階數(shù)目唯一確定,是擬合序列所包含的A/D轉(zhuǎn)換采樣量化臺(tái)階數(shù)目的π/2倍。表示成公式為:

w=η·N·2b·π

(1)

式中:η為正弦信號峰峰值覆蓋量程的百分比;N為擬合序列所包含的正弦信號周波數(shù);b為所使用的A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)。

在全量程范圍內(nèi),共有2b個(gè)A/D量化階梯,若正弦波剛好覆蓋全量程范圍,其N個(gè)波形周期最多將有2·N·2b個(gè)A/D量化階梯,若量程覆蓋率為η,其N個(gè)波形周期最多將有2η·N·2b個(gè)A/D量化階梯。

式(1)對于正弦參數(shù)擬合誤差的量子化階梯寬度獲得了非常簡潔實(shí)用的明確結(jié)論,但是,針對量子化階梯高度所呈現(xiàn)的規(guī)律并無明確結(jié)論。

本文中,將使用兩種方式進(jìn)行該方面研究:

其一,在序列所含周波數(shù)不變,僅僅序列長度變化時(shí),針對每一個(gè)量子化階梯內(nèi)各殘差的有效值,作為本階梯誤差界的幅度有效值;然后,繪制不同量子化階梯誤差界的幅度有效值隨階梯序號而變化的曲線,展示并研究其變化規(guī)律。

其二,量子化階梯號m不變,針對第一個(gè)量子化階梯內(nèi)(m=1)各殘差的絕對值,比較選取其最大者作為本階梯誤差界的幅度最大值;然后,繪制本量子化階梯誤差界的幅度最大值隨周波數(shù)而變化的曲線,展示并研究其變化規(guī)律。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及數(shù)據(jù)處理

由于是延續(xù)性研究,本文將使用前期文獻(xiàn)[20]所述的仿真實(shí)驗(yàn)思想、條件及數(shù)據(jù)進(jìn)行后續(xù)研究。

3.1 仿真實(shí)驗(yàn)條件

為方便參數(shù)調(diào)控,不失一般性,設(shè)定包含6項(xiàng)測量條件的仿真實(shí)驗(yàn)條件如下:

1) A/D位數(shù):基本參量為8、9、10 bit;

2) 序列長度作為主變化因素,變化范圍為 100～16 000點(diǎn),1點(diǎn)步進(jìn);

3) 采樣序列包含周波數(shù):作為輔助變量,變化范圍為1～20個(gè)周波,1周波步進(jìn);

實(shí)際仿真過程中,通過使用歸一化頻率1 Hz來調(diào)整采樣速率,結(jié)合樣本點(diǎn)數(shù),最終構(gòu)建周波數(shù);

4) 信號幅度作為輔助變量,取值為覆蓋 82.031 25%×量程,η=82.031 25%;

5) 初始相位:作為輔助變量,取值為0°;

6) 直流偏移:作為輔助變量,取值為0。

由于初始相位、直流偏移的變化均不改變擬合序列所含量化臺(tái)階數(shù)目,依據(jù)式(1)可見,它們將不會(huì)對量子化階梯參數(shù)產(chǎn)生重要影響[18];故,不將初始相位、直流偏移作為搜索變量對待,兩者均取恒定值0。

3.2 周波數(shù)固定時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

按照上述仿真實(shí)驗(yàn)條件,用序列長度作為主變化因素,以周波數(shù)為輔助變化因素生成實(shí)際的仿真條件,考察各指標(biāo)要素的誤差隨著序列長度和周波數(shù)變化而變化的情況,獲得了相同的變化規(guī)律[18～20]。當(dāng)A/D位數(shù)為8 bit、周波數(shù)為2時(shí),其各個(gè)參數(shù)誤差界變化情況如圖1～圖5所示。本文中LSB表示最小量化階梯。

圖1 頻率誤差隨序列長度而變化情況Fig.1 Error limit of frequency via data numbers

圖2 相位誤差隨序列長度而變化情況Fig.2 Error limit of phase via data numbers

圖3 直流偏移誤差隨序列長度而變化情況Fig.3 Error limit of DC offset via data numbers

圖4 幅度誤差隨序列長度而變化情況Fig.4 Error limit of amplitude via data numbers

圖5 有效位數(shù)誤差隨序列長度而變化情況Fig.5 Error limit of effective number of bit via data numbers

從圖5中可見,正弦參數(shù)擬合所獲得的5個(gè)參數(shù)誤差曲線中,隨著擬合序列長度的增加,頻率、相位、直流偏移、有效位數(shù)的擬合誤差均呈現(xiàn)等間隔量子化階梯性下降規(guī)律,幅度誤差的量子化階梯特征不明顯,但誤差幅度仍然呈下降趨勢。

此前的研究業(yè)已表明,量子化階梯寬度符合式(1)所述規(guī)律[20]。

如圖1～圖5所示,每一項(xiàng)參數(shù)誤差帶的高度,在同一量子化階梯號內(nèi)呈現(xiàn)基本平穩(wěn)的緩慢連續(xù)變化趨勢,而在不同量子化階梯之間,則隨著擬合誤差的量子化階梯號的增加而呈下降趨勢,在下降到一定程度后,呈現(xiàn)平穩(wěn)趨勢,并不能下降到0高度。

為了研究各個(gè)參數(shù)擬合誤差的量子化階梯高度的變化規(guī)律,在上述曲線中,按式(1)計(jì)算獲得w=1 319.468 9;并以m·w劃分各個(gè)量子化階梯邊界,m=1,2,…為擬合參數(shù)誤差量子化階梯號,截取各個(gè)階梯內(nèi)的樣本點(diǎn);設(shè)第m個(gè)量子化階梯樣本數(shù)據(jù)為xmi,i=1,2,…,w,則,其擬合參數(shù)誤差量子化階梯幅度有效值為Am,擬合參數(shù)誤差量子化階梯幅度最大值A(chǔ)pm。

(2)

(3)

(4)

由此得到本量子化誤差階梯的幅度有效值A(chǔ)m和峰值A(chǔ)pm。

將各個(gè)量子化誤差階梯m的幅度有效值A(chǔ)m排序得到序列{Am},m=1,2,…;

將各個(gè)量子化誤差階梯的幅度最大值排序得到序列{Apm},m=1,2,…;令:

Bm=(A1-A0)/m2+A0

(5)

Bpm=(Ap1-Ap0)/m2+Ap0

(6)

式中:A0為序列{Am}(m=1,2,…)的最終趨于穩(wěn)定的誤差帶高度包絡(luò)值;Ap0為序列{Apm}(m=1,2,…)的最終趨于穩(wěn)定的誤差帶高度包絡(luò)值。

將量子化誤差階梯有效值序列{Am}和{Bm}繪制在同一張圖上,得到各量子化誤差階梯有效值序列{Am}與二次曲線{Bm}的比較圖。如圖6、圖8、圖10、圖12、圖14所示,其中,黑色實(shí)線為序列{Am},紅色虛線為序列{Bm}。

圖6 各階梯頻率誤差有效值隨階梯m而變化情況Fig.6 RMS error of frequency of each step via error steps m

圖7 各階梯頻率誤差最大值隨階梯m而變化情況Fig...7 Maximum error of frequency of each step via error steps m

圖8 各階梯相位誤差有效值隨階梯m而變化情況Fig.8 RMS error of phase of each step via error steps m

圖9 各階梯相位誤差最大值隨階梯m而變化情況Fig...9 Maximum error of phase of each step via error steps m

將量子化誤差階梯最大值序列{Apm}和{Bpm}繪制在同一張圖上,得到各量子化誤差階梯最大值序列{Apm}與二次曲線{Bpm}的比較圖。如圖7、圖9、圖11、圖13、圖15所示,其中,黑色實(shí)線為序列{Apm},紅色虛線為序列{Bpm}。

圖10 各階梯直流偏移誤差有效值隨階梯m而變化情況Fig...10 RMS error of DC offset of each step via error steps m

圖11 各階梯直流偏移誤差最大值隨階梯m而變化情況Fig...11 Maximum error of DC offset of each step via error steps m

圖12 各階梯幅度誤差有效值隨階梯m而變化情況Fig...12 RMS error of amplitude of each step via error steps m

從圖6和圖7可見,各階梯頻率誤差有效值隨階梯號m而變化的規(guī)律與誤差最大值隨階梯號m而變化的規(guī)律基本相同,均符合按1/m2規(guī)律衰減。

圖13 各階梯幅度誤差最大值隨階梯m而變化情況Fig...13 Maximum error of amplitude of each step via error steps m

圖14 各階梯有效位數(shù)誤差有效值隨階梯m而變化情況Fig...14 RMS error of effective number of bit of each step via error steps m

相位誤差、直流偏移誤差、幅度誤差、有效位數(shù)誤差等其它參數(shù)隨階梯號m而變化也具有相同的按1/m2規(guī)律衰減特征,如圖8～圖15所示。

3.3 第一階梯仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在上述仿真條件下,將量子化誤差階梯號固定為1,變化擬合序列所包含的信號周波數(shù)目。選取不同周波采樣序列在第1誤差階梯內(nèi)的各個(gè)參數(shù)擬合誤差數(shù)據(jù),獲得其隨序列所含周波數(shù)變化而變化的曲線規(guī)律如圖16～圖20所示。

圖15 各階梯有效位數(shù)誤差最大值隨階梯m而變化情況Fig...15 Maximum error of ENOB of each step via error steps m

圖16 第1階梯頻率誤差隨周波N而變化情況Fig.16 Error of frequency of step 1 via signal cycles N

圖17 第1階梯相位誤差隨周波N而變化情況Fig.17 Error of phase of step 1 via signal cycles N

圖18 第1階梯直流偏移誤差隨周波N而變化情況Fig.18 Error of DC offset of of step 1 via signal cycles N

圖19 第1階梯幅度誤差隨周波N而變化情況Fig.19 Error of amplitude of step 1 via signal cycles N

圖20 第1階梯有效位數(shù)誤差隨周波N而變化情況Fig.20 Error of effective number of bit of step 1 via signal cycles N

圖16(a)中,實(shí)線為頻率相對誤差在第1誤差階梯內(nèi)按式(2)計(jì)算獲得的有效值序列{AN}隨信號序列周波數(shù)N而變化的曲線,虛線為按式(5)計(jì)算獲得的二次曲線波形序列{BN}。從中可見頻率相對誤差在第1誤差階梯內(nèi)的有效值{AN}隨信號序列周波數(shù)N變化而呈1/N2規(guī)律變化。

圖16(b)中,實(shí)線為頻率相對誤差在第1誤差階梯內(nèi)按式(4)計(jì)算獲得的最大值信號序列{ApN}隨周波數(shù)N而變化的曲線,虛線為按式(6)計(jì)算獲得的二次曲線波形序列{BpN}。從中可見頻率相對誤差在第1誤差階梯內(nèi)的最大值{ApN}隨信號序列周波數(shù)N變化而呈1/N2規(guī)律變化。

由此可判定,擬合信號頻率誤差在第1誤差階梯內(nèi)隨信號序列周波數(shù)N的變化呈1/N2規(guī)律變化。

同理,由圖17(a)、圖17(b)可見,擬合相位誤差在第1誤差階梯內(nèi)隨信號序列周波數(shù)N的變化呈1/N2規(guī)律變化。

圖18(a)為直流偏移誤差在第1誤差階梯內(nèi)按式(1)計(jì)算獲得的有效值{AN}隨信號序列周波數(shù)N而變化的曲線,從中可見直流偏移誤差在第1誤差階梯內(nèi)的有效值{AN}隨信號序列周波數(shù)N增加而呈緩慢線性下降規(guī)律變化。

圖18(b)為直流偏移誤差在第1誤差階梯內(nèi)按式(4)計(jì)算獲得的最大值{ApN}隨信號序列周波數(shù)N而變化的曲線,從中可見直流偏移誤差在第1誤差階梯內(nèi)的最大值{ApN}隨信號序列周波數(shù)N變化基本保持平穩(wěn)。

由此可判定,擬合直流偏移誤差在第1誤差階梯內(nèi)隨信號序列周波數(shù)N的增加呈緩慢線性下降規(guī)律變化。

同理,由圖19(a)、圖19(b)可見,擬合幅度誤差在第1誤差階梯內(nèi)隨信號序列周波數(shù)N的增加呈緩慢線性下降規(guī)律變化。由圖20(a)、圖20(b)可見,有效位數(shù)誤差在第1誤差階梯內(nèi)隨信號序列周波數(shù)N的增加呈緩慢線性下降規(guī)律變化。

4 正弦參數(shù)擬合誤差規(guī)律

變換A/D位數(shù),在7、9、10 bit等其它A/D位數(shù)情況下,以及在序列包含不同周波時(shí),均可以得到與8 bit A/D相同的規(guī)律。由此可見,上述規(guī)律具有普遍性。與文獻(xiàn)[20]所提出的式(9)的結(jié)論相結(jié)合,可得正弦參數(shù)擬合誤差規(guī)律:四參數(shù)正弦波最小二乘擬合中,所用數(shù)據(jù)序列均屬于通過A/D轉(zhuǎn)換獲得的采樣量化波形序列,其幅度、頻率、相位、直流偏移、A/D有效位數(shù)等參數(shù)的擬合誤差均隨擬合序列長度的增加呈等寬度間隔量子化階梯性下降規(guī)律變化。

(1) 其誤差量子化階梯寬度w由擬合序列所包含的A/D采樣量化臺(tái)階數(shù)目唯一確定,是該擬合序列所包含的A/D采樣量化臺(tái)階數(shù)目的π/2倍。

量子化階梯寬度w由式(7)計(jì)算:

w=η·N·2b·π

(7)

式中:η為正弦信號峰峰值覆蓋量程的百分比;N為擬合序列所包含的正弦信號周波數(shù);b為所使用的A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)。

(2) 對于相同周波數(shù)的擬合序列,在量子化誤差階梯序號m不同時(shí),其各個(gè)參數(shù)的量子化誤差階梯高度隨著階梯序號m的增大呈1/m2規(guī)律衰減至最終的平穩(wěn)狀態(tài)。

在同一個(gè)量子化階梯內(nèi)時(shí):

其第1個(gè)量子化誤差階梯內(nèi),誤差帶呈中間低兩頭高的馬鞍形狀規(guī)律變化;粗略估算,可近似認(rèn)為平穩(wěn)。

第2個(gè)量子化誤差階梯及后續(xù)階梯內(nèi),各個(gè)擬合參數(shù)誤差帶呈基本平穩(wěn)狀態(tài),隨著擬合序列長度n增加略有增高。

(3) 在第1個(gè)量子化誤差階梯內(nèi),擬合信號頻率誤差和擬合信號相位誤差均有隨信號序列周波數(shù)N的增加呈1/N2規(guī)律衰減趨勢。

擬合幅度誤差、擬合直流偏移誤差、A/D有效位數(shù)誤差均有隨信號序列周波數(shù)N的增加呈緩慢線性下降規(guī)律變化趨勢。

5 問題討論

通常,人們普遍認(rèn)為采樣序列長度越長,將可以獲得更高的測量準(zhǔn)確度以及更低的測量誤差。Deyst等人對正弦曲線擬合誤差界的研究,延續(xù)了這一觀點(diǎn),并給出了擬合誤差界與序列長度成反比的確切結(jié)論[3]。

綜上所述可見,A/D量化誤差對正弦擬合參數(shù)誤差的影響,與以往的認(rèn)知有較大差異。

首先,隨著擬合序列的增長,各個(gè)參數(shù)的誤差界呈量子化階梯跳變特征,而不是緩慢的連續(xù)變化特征,階梯寬度可由上述式(1)定量精確確定;其中,幅度、頻率、相位、直流偏移、A/D有效位數(shù)等5個(gè)擬合參量中,其頻率、相位、直流偏移、A/D有效位數(shù)4個(gè)參量誤差的量子化階梯效應(yīng)均異常鮮明,僅有幅度誤差的量子化階梯效應(yīng)不夠明顯,但按量子化階梯方式進(jìn)行誤差分析后獲得的變化規(guī)律相同。

當(dāng)序列所含信號周波數(shù)N確定時(shí):

在第1個(gè)量子化誤差階梯內(nèi),它在基本平穩(wěn)中略呈典型的中間低兩邊高的馬鞍形狀;

對于后續(xù)的量子化誤差階梯,在同一個(gè)量子化誤差階梯內(nèi),擬合參數(shù)的誤差界(階梯高度)隨序列長度n的增大呈平穩(wěn)略有增大的趨勢變化。

由此造成,人們選取擬合序列長度n時(shí),只要不是選取第1個(gè)誤差階梯內(nèi)的點(diǎn),在同一階梯內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)n并非越大越好,而是越小越好,如圖1～圖3所示。

另外,當(dāng)誤差階梯號m足夠高以后,各個(gè)誤差階梯高度最終趨于平穩(wěn)和一致,但并不能變成0。因而,不能指望靠增加擬合序列長度讓各個(gè)參數(shù)擬合誤差趨于0。

其次,各個(gè)誤差階梯的幅度隨著階梯順序號m的上升呈1/m2規(guī)律下降,而不是通常認(rèn)為的1/m規(guī)律下降,階梯幅度最后會(huì)下降到最終的平穩(wěn)誤差帶上,而不能任意逼近0。當(dāng)然,該規(guī)律是綜合各個(gè)參數(shù)、各種A/D位數(shù)、各種周波數(shù)、各種序列長度的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)近似規(guī)律,并無嚴(yán)格證明。

由此可見,在第1個(gè)誤差階梯內(nèi)的序列長度,由A/D量化誤差導(dǎo)致的參數(shù)擬合誤差最大,后續(xù)擬合參數(shù)的量子化誤差階梯內(nèi),該擬合誤差幅度會(huì)呈平方規(guī)律迅速衰減,第3個(gè)階梯以后,將衰減一個(gè)數(shù)量級以上,因而,只要有可能,盡量避免使用第1個(gè)誤差階梯內(nèi)的序列長度值。

針對序列所含信號周波數(shù)N對正弦擬合參數(shù)誤差的影響,特別針對第一個(gè)量子化誤差階梯內(nèi)的情況進(jìn)行仿真研究,可以看到有兩個(gè)規(guī)律:

擬合頻率誤差與擬合相位誤差均有隨序列周波數(shù)N增加呈1/N2衰減的規(guī)律。

擬合幅度誤差、擬合直流偏移誤差、A/D有效位數(shù)誤差,均有隨序列周波數(shù)N增加呈緩慢降低的變化規(guī)律。由于隨著周波數(shù)N的增加,相應(yīng)擬合參數(shù)誤差降低的速度非常緩慢,也可以粗略認(rèn)為它們不隨信號周波數(shù)N的變化而顯著變化。

一個(gè)周波情況下進(jìn)行擬合獲得的誤差要明顯大于多周波情況,實(shí)際工作中應(yīng)選擇2個(gè)周波以上的采集序列進(jìn)行參數(shù)擬合,盡量避免出現(xiàn)一個(gè)周波的情況。

這些內(nèi)容,就是上述正弦參數(shù)擬合誤差規(guī)律所體現(xiàn)的核心內(nèi)涵。通過該規(guī)律,人們對于由量化誤差造成的正弦擬合參數(shù)的誤差及其變化規(guī)律將有更加深入確切的理解。應(yīng)用該誤差規(guī)律選取擬合序列長度,使其坐落到明確的誤差階梯內(nèi),可獲得明確的最佳測量方案。在資源有限的情況下,可以指導(dǎo)人們通過調(diào)整擬合序列長度來降低擬合誤差。

有關(guān)正弦擬合參數(shù)誤差的量子化階梯現(xiàn)象的機(jī)理,可以用示例方式作如下說明。

不失一般性,選取A/D位數(shù)為3 Bit,量程范圍±10 V,正弦頻率為1 Hz,幅度為8 V,采樣速率為360 Sa/s,序列長度721。則可以獲得其理想正弦波形x(t)、采樣量化正弦序列{xi}(i=0,1,n-1)、最小二乘擬合曲線波形{x(i)}如圖21所示。其中,藍(lán)色曲線為理想正弦波形x(t),黑色階梯波形為x(t)的采樣量化序列{xi}結(jié)果,而紅色曲線為用最小二乘擬合法由黑色階梯波形獲得的擬合曲線波形{x(i)}。

理想正弦波形x(t)與采樣量化波形{xi}的黑色差值曲線Δx(t)=x(t)-xi以及擬合正弦波形{x(i)}與采樣量化波形的紅色差值曲線Δxi=x(i)-xi如圖22所示。

圖21 正弦曲線x(t)及量化{xi}和擬合波形{x(i)}圖Fig.21 Sinusoidal x(t) and {xi} and fitting curve {x(i)}

圖22 正弦量化誤差Δx(t)及擬合誤差Δxi曲線Fig.22 error curve Δx(t) and fitting error curve Δxi

由圖21、圖22可見,理想正弦曲線x(t)與最小二乘擬合波形{x(i)}近似重合,同時(shí)量化誤差曲線Δx(t)與擬合誤差曲線Δxi近似重合。

由于理想正弦波形x(t)為周期信號波形,相位周期為2π,故其采樣量化正弦序列{xi}波形、最小二乘擬合波形{x(i)}、量化誤差曲線Δx(t)、擬合誤差曲線Δxi也都是周期波形。且周期都應(yīng)該含有2π因子。

由圖22可見,量化誤差曲線Δx(t)、擬合誤差曲線Δxi的形狀近似相等,擁有與被測理想正弦波形相同的循環(huán)周期,在同一周期內(nèi),除了峰值碼與谷值碼外,都是近似為擁有尖峰的不等寬鋸齒斜波簇形狀,具有等概率密度波形特征。若其被等間隔采樣,則其量化誤差特征與采樣峰峰值具有相同幅度的三角波有相同的統(tǒng)計(jì)特征,因而,完整的采樣序列應(yīng)該是確保采到其量化誤差峰值幅度的采樣序列,即,符合上述式(1)關(guān)系的采樣序列。它揭示的是擬合誤差量子化臺(tái)階的邊沿處誤差最大的原因。

由于圖22所示的量化誤差近似等概率密度特征,導(dǎo)致除了量化誤差峰值被有效采集到的條件苛刻外,其它量化誤差幅度出現(xiàn)的概率是相同的,因此,在量化誤差峰值未被采集到時(shí),其它采集序列條件下的誤差幅度具有等概率特征,這也是擬合誤差量子化臺(tái)階邊沿外的部分誤差臺(tái)階比較平穩(wěn)的原因。

上述機(jī)理特征導(dǎo)致,對于圖21的正弦信號的采樣序列而言,考慮量化誤差時(shí),相當(dāng)于對圖22的量化誤差進(jìn)行采樣,因而,當(dāng)每一個(gè)量化碼均可以被依概率采集到時(shí),對于有限長度的等間隔采樣序列而言,只有當(dāng)采樣間隔與被測正弦信號周期恰好同步情況下,即符合前述式(1)的條件成立,才能依概率采樣到量化誤差各個(gè)鋸齒的峰值,導(dǎo)致殘差量值最大。若脫離式(1)所述同步條件,則將降低量化誤差各個(gè)鋸齒的峰值被采集到的概率,表現(xiàn)為殘差量值降低,導(dǎo)致了總體展現(xiàn)階梯形狀。擬合殘差量值的變化,將直接影響到各個(gè)擬合參數(shù)誤差量值的變化,如圖1～圖3、圖5中第2個(gè)量子化擬合誤差階梯及后續(xù)階梯所示。

當(dāng)采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)過少,不足式(1)所述的一個(gè)量子化階梯時(shí),等間隔采樣序列不能依概率采樣圖22所述的各個(gè)鋸齒波峰值點(diǎn),由此導(dǎo)致擬合誤差量值的波動(dòng)變大,如圖1～圖3、圖5中第1個(gè)量子化擬合誤差階梯所示。

目前,本文仍然遺留的問題是,所述的正弦擬合誤差規(guī)律僅僅是從數(shù)據(jù)仿真分析中總結(jié)出來的(1)、(2)、(3)條規(guī)律和結(jié)論,尚未從數(shù)學(xué)上予以證明,而量子化誤差階梯幅度隨著階梯序號m的增加呈1/m2規(guī)律變化也有待數(shù)學(xué)上的證明。

6 結(jié) 論

綜上所述,本文通過大量仿真實(shí)驗(yàn),對使用理想A/D轉(zhuǎn)換器的仿真正弦測量序列在波形擬合中獲得的正弦參數(shù)的擬合誤差界的量子化階梯幅度進(jìn)行了探索研究,結(jié)合以往文獻(xiàn)給出的結(jié)論,提出了表征該量子化階梯寬度與幅度變化特征的正弦參數(shù)擬合誤差規(guī)律。對實(shí)際工作具有理論指導(dǎo)意義,可在實(shí)際正弦問題的解決中予以應(yīng)用。