軟軸摩擦力矩計(jì)算公式推導(dǎo)與優(yōu)化

李 健, 王騰飛, 付學(xué)中

(廣西科技大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,廣西 柳州 545616,E-mail: fxznwpu@163.com)

鋼絲軟軸作為一種可彎曲傳遞動(dòng)力的傳動(dòng)軸,其結(jié)構(gòu)是由內(nèi)部的鋼絲軸芯及外部的橡膠套等材料所組成[1]。根據(jù)軟軸具有非直線或非同一平面的傳動(dòng)特性,可推廣應(yīng)用于各類制造業(yè)如汽車、船舶、航空航天、農(nóng)用機(jī)械等設(shè)備的機(jī)械換向、轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。

軟軸的應(yīng)用使得機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)得到簡化,尤其是在國防工業(yè)的武器裝備上會(huì)有很好的應(yīng)用前景[2-3]。

當(dāng)鋼絲軟軸處于工作狀態(tài)下,其在做推拉或旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)軸芯與軸套內(nèi)壁不可避免地存在接觸,從而產(chǎn)生相應(yīng)的摩擦力或摩擦力矩。對(duì)于回轉(zhuǎn)式功率型軟軸來說,所產(chǎn)生的摩擦力矩的會(huì)不同程度地影響操縱系統(tǒng)的性能,而且工作過程中的軟軸軸芯和軸套所產(chǎn)生的摩擦必然導(dǎo)致相對(duì)應(yīng)的磨損問題,甚至使機(jī)械系統(tǒng)報(bào)廢,因而較準(zhǔn)確地計(jì)算出其相應(yīng)摩擦力矩的大小具有十分重要的意義[4]。

軟軸摩擦在國內(nèi)研究方面,郭永波[5]在柔性鋼絲繩的動(dòng)態(tài)摩擦傳動(dòng)理論建模及實(shí)驗(yàn)研究中針對(duì)柔性鋼絲繩的動(dòng)態(tài)摩擦傳動(dòng)問題進(jìn)行分析。劉怡勝等[6]通過對(duì)軟軸進(jìn)行平面彎曲的摩擦阻力測(cè)定實(shí)驗(yàn),根據(jù)所得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出摩擦阻力計(jì)算公式;運(yùn)用粒子群算法對(duì)得到公式進(jìn)行修正,修正后的公式與遺傳算法相結(jié)合對(duì)軟軸摩擦阻力計(jì)算公式在不同模糊約束條件下進(jìn)行探索優(yōu)化。任立敏等[7]針對(duì)微型管道空間狹小的狀況,結(jié)合鋼絲軟軸設(shè)計(jì)出微型管道機(jī)器人,有效解決了微小管道維護(hù)難的問題。在國外的相關(guān)研究方面,Kondratenko等[8]通過比較亞臨界區(qū)運(yùn)行的硬軸和超臨界區(qū)運(yùn)行的柔性軸兩者運(yùn)行角速度之間的比值,給出了硬軸和軟軸在設(shè)計(jì)運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài)時(shí)采用何種角速度的合理方法。Bozorgmehri等[9]通過節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)公式對(duì)轉(zhuǎn)軸進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,得出了在絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)公式化框架下轉(zhuǎn)軸的截面變形。Ismailov[10]通過考慮柔性電纜不同的參數(shù),推導(dǎo)出評(píng)估柔性電纜強(qiáng)度的單元接觸區(qū)的機(jī)械應(yīng)力公式。

綜合分析上述文獻(xiàn)可知,國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于軟軸的摩擦及應(yīng)用涉及較多,但未見有相關(guān)資料對(duì)軟軸在彎曲回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過程中所產(chǎn)生的摩擦力矩進(jìn)行細(xì)致研究。因此本文的研究理論可填補(bǔ)這一空缺,具有理論價(jià)值和實(shí)踐指導(dǎo)意義。

1 理論模型

1.1 回歸分析

回歸分析通過已知自變量和因變量的值來尋找其內(nèi)在聯(lián)系并建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,用于解決預(yù)測(cè)、控制、生產(chǎn)優(yōu)化等諸多實(shí)際問題[11-12]。根據(jù)自變量的個(gè)數(shù)可以把回歸分析分為一元回歸分析和多元回歸分析兩類,根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的性質(zhì)的不同又可以分為線性回歸分析和非線性回歸分析。本文中采用多元線性回歸模型,其主要思想解釋如下:

設(shè)自變量即軟軸摩擦力矩的影響因素為:{x1,x2,…,xp}的觀測(cè)值為{xi1,xi2,…,xip},摩擦力矩即因變量對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值yi滿足關(guān)系式:

其中:εi為無法觀測(cè)且滿足一定條件的擾動(dòng)項(xiàng)。

1.2 最小二乘法(Least Squares)

在解決多元回歸分析中求參數(shù)估計(jì)值相關(guān)問題時(shí),可采用最小二乘法,即通過使誤差的平方和最小從而達(dá)到數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配的目的,其通常用于曲線擬合。LS(Least Squares)的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以進(jìn)行如下表述:

假設(shè)因變量為y,自變量為x1,x2,…,xk,根據(jù)收集到的N個(gè)樣本點(diǎn):

(Yi,X1,X2,…,Xk),k=1,2,…,N

令擬合值:

其中:

1.3 蒙特卡羅模擬方法

蒙特卡羅模擬方法又被稱為統(tǒng)計(jì)模擬法,從這種方法的思想來說,它在尋找最優(yōu)解的過程中具有隨機(jī)模擬性。從其理論方法來分析,這種方法主要運(yùn)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì),根據(jù)已知條件來按照所設(shè)定的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算,在計(jì)算過程中,這種方法使用隨機(jī)數(shù)(或更常見的偽隨機(jī)數(shù))來解決很多模擬計(jì)算類問題。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)步和算力的不斷增強(qiáng),人們可以將帶有一定概率的數(shù)學(xué)模型和所求問題相結(jié)合,然后在計(jì)算機(jī)上運(yùn)行編寫好的算法程序,采用多次統(tǒng)計(jì)模擬或者抽樣的方式求得問題的近似解。由于這種方法具有概率統(tǒng)計(jì)的鮮明特征,所以美籍?dāng)?shù)學(xué)家馮·諾依曼把這種方法命名為蒙特卡羅模擬法,其來源于摩納哥著名的賭城Monte Carlo。在這種方法命名之前,相關(guān)學(xué)者就有采用蒙特卡羅模擬法的思想解決數(shù)學(xué)問題。18世紀(jì)70年代,法國數(shù)學(xué)家Buffon就曾提出結(jié)合投針實(shí)驗(yàn)來求出圓周率的大小,一般認(rèn)為這便是人們對(duì)蒙特卡羅模擬法的初次應(yīng)用[14-15]。

本文中,結(jié)合蒙特卡羅模擬法的思想對(duì)公式參數(shù)的優(yōu)化過程用數(shù)學(xué)語言描述如下:

minER=ER(er1,er2,…,ern)

(1)

(2)

關(guān)于約束條件的說明:

使用蒙特卡羅模擬,把公式中的重要參數(shù)求出后,代入各個(gè)曲率半徑下摩擦力矩的總體誤差計(jì)算公式中,便可以求出總體誤差均值ER。本次模擬考慮到計(jì)算機(jī)性能和計(jì)算時(shí)間的影響,采取了20 000次模擬來求出總體誤差均值ER的最小值,相應(yīng)地也可以知道軟軸處于不同工況下計(jì)算摩擦力矩時(shí)所要采用的重要參數(shù)的大小,其中ern為每組特定參數(shù)下的誤差均值,k為總的實(shí)驗(yàn)組數(shù),fT為軟軸的摩擦力矩,這里T代表力矩。

1.4 粒子群算法

1995年,美國學(xué)者Kennedy和Eberhart基于對(duì)鳥類群體行為進(jìn)行建模與仿真研究結(jié)果的啟發(fā),共同提出粒子群算法(Particle Swarm Optimization, PSO)。該算法的核心思想是利用群體中的個(gè)體對(duì)信息的共享使整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)發(fā)生演化,從而獲得在問題在求解空間中從無序到有序所產(chǎn)生的可行解。在粒子群算法中,人們一般把待優(yōu)化的問題的潛在解看作整個(gè)搜索空間中的一只鳥,由于存在眾多潛在解,因此一個(gè)潛在解所占的比例就十分微小,可以把其當(dāng)作整個(gè)空間中的一個(gè)粒子,而每個(gè)粒子都受優(yōu)化函數(shù)的制約,因此粒子本身所代表的適值是不同的。粒子自身如同鳥類一樣,在飛行空間中具有一定的速度,這速度決定粒子將要運(yùn)動(dòng)的方向和距離,當(dāng)每個(gè)粒子追隨當(dāng)前最優(yōu)粒子在解空間中的最佳位置時(shí),就會(huì)不斷迭代產(chǎn)生最佳可行解[16-17]。

(3)

(4)

(5)

在本論文中,設(shè)定適應(yīng)度值即目標(biāo)函數(shù)為:

(6)

其中:eri為整個(gè)實(shí)驗(yàn)組所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化后的摩擦力矩公式計(jì)算值與實(shí)際值之間的誤差均值,在尋找最佳位置(即最優(yōu)解)時(shí),總體誤差均值ER的值越小,位置越佳,粒子根據(jù)式(3)-式(5)來更新自己的速度和位置。對(duì)于本論文的粒子群算法流程圖如圖1所示。

圖1 粒子群算法流程圖

2 實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)方案

(1) 實(shí)驗(yàn)的示意圖和實(shí)驗(yàn)圖分別如圖2、圖3所示,其分別對(duì)應(yīng)軸芯半徑為0.25 cm的軟軸在彎曲狀態(tài)下曲率半徑為6.5 cm時(shí)的示意圖和實(shí)際實(shí)驗(yàn)圖,其中O-xy為直角坐標(biāo)系。

圖2 摩擦力矩測(cè)定實(shí)驗(yàn)示意圖

圖3 摩擦力矩測(cè)定實(shí)際實(shí)驗(yàn)圖

(2) 選取軸芯半徑分別為0.15 cm、0.2 cm、0.25 cm的割草機(jī)通用軟軸,軸芯長度的取值為100 cm、125 cm和140 cm,分別各自對(duì)應(yīng)取8種彎曲狀態(tài)將軟軸固定在試驗(yàn)臺(tái)M、N、E、F及O點(diǎn)處,其彎曲頂點(diǎn)O處的曲率半徑分別為7.5c m、7 cm、6.5 cm、6 cm、5.5 cm、5 cm、4.5 cm、4 cm。

(3) 軟軸固定后,一端設(shè)置為自由端,另一端連接在附有傳感器和顯示屏的扭矩起子上,握住扭矩起子,在水平實(shí)驗(yàn)臺(tái)上勻速緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)顯示屏讀數(shù)趨于穩(wěn)定時(shí),停止轉(zhuǎn)動(dòng)并記下讀數(shù),將摩擦力矩讀數(shù)按比例減去線段EM和FN兩條線段以及M點(diǎn)和N點(diǎn)分別至軟軸接頭兩端頂點(diǎn)所占部分,即可得到軟軸在這個(gè)彎曲角度工作所產(chǎn)生的摩擦力矩,重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)步驟10次進(jìn)行多次測(cè)試求平均值以減少誤差。

本次實(shí)驗(yàn)中實(shí)驗(yàn)材料為軟軸,其組成成分為鋼絲和橡膠,潤滑方式為采用油脂進(jìn)行潤滑。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 摩擦力矩測(cè)定實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.2 數(shù)據(jù)分析

將試驗(yàn)結(jié)果繪制成如圖4、圖5、圖6所示的曲線。圖4為軸芯半徑r一定的條件下,摩擦力矩fT隨曲率半徑ρ變化示意曲線圖,由上至下依次分別為軸芯半徑為0.25 cm、0.2 cm、0.15 cm的摩擦力矩分布圖。

圖4 摩擦力矩隨著曲率半徑變化曲線圖

圖5 軟軸摩擦力矩隨軸芯半徑變化曲線圖

圖6 軟軸摩擦力矩隨軸芯長度變化曲線圖

由圖4可知,在軸芯半徑一定的條件下,摩擦力矩隨曲率半徑的增大呈依次減小的關(guān)系。

圖5為軟軸彎曲的曲率半徑ρ一定時(shí),摩擦力矩fT隨軸芯半徑r的變化規(guī)律曲線圖。

由圖5可以得出,在曲率半徑一定時(shí),軟軸摩擦力矩沿軸芯半徑的增大方向逐漸增大。

圖6為軟軸彎曲的曲率半徑ρ一定時(shí),摩擦力矩fT隨軸芯長度l的變化規(guī)律曲線圖,可以看出摩擦力矩隨軸芯長度的增加而增大。

由圖4、圖5、圖6綜合分析可知,在三個(gè)幾何參數(shù)綜合作用下,軟軸摩擦力矩與曲率半徑等三個(gè)影響因素之間有著復(fù)雜的變化規(guī)律,在以上圖中,摩擦力矩與軸芯長度,軸芯半徑成正比,與曲率半徑成半徑反比,因此在軟軸的設(shè)計(jì)和維護(hù)時(shí)應(yīng)在滿足相應(yīng)工況的條件下應(yīng)盡量使用小直徑和較短長度的軟軸,并盡量降低軟軸彎曲的曲率半徑。

又因?yàn)榍€本身的變化和指數(shù)曲線近似,因此這里首先把摩擦力矩的計(jì)算公式設(shè)定為帶有比例修正系數(shù)的形式,而且受到三個(gè)參數(shù)自身指數(shù)變化規(guī)律的影響,其形式如式(7):

(7)

式中:fT為軟軸的摩擦力矩,單位為N·cm;C0為在計(jì)算摩擦力矩時(shí)軟軸自身材料摩擦系數(shù)影響下的比例系數(shù);l、r、ρ分別為軟軸的軸芯長度、軸芯半徑、以及彎曲時(shí)所產(chǎn)生曲率半徑,單位為cm;C1、C2、C3分別代表軸芯長度、軸芯半徑以及曲率半徑受自身變化規(guī)律影響時(shí)的指數(shù)。

3 軟軸摩擦力矩計(jì)算公式

3.1 最小二乘法回歸分析經(jīng)驗(yàn)公式

根據(jù)上述分析和設(shè)定所得出的鋼絲軟軸摩擦力矩計(jì)算公式,式(6)中有四個(gè)未知參數(shù),分別為C0、C1、C2、C3,結(jié)合基本數(shù)學(xué)知識(shí),可以在式(7)方程的兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù),然后便可以得到式(8)所示的等式,即:

lgfT=lgC0+lglC1+lgrC2-lgρC3

(8)

令

則

S=b+m1X1+m2X2+m3X3

(9)

則

由極值條件:

可得

將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入,可得C0=167.845,C1=0.590,C2=3.105,C3=1.568,因此,利用最小二乘法,推導(dǎo)的考慮軸芯長度、軸芯半徑及曲率半徑的軟軸摩擦力矩經(jīng)驗(yàn)公式如式(10):

(10)

將軸芯長度、軸芯半徑和曲率半徑條件帶入上述公式中,得到摩擦力矩的理論計(jì)算值,將其與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的摩擦力矩值進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖7所示。

圖7 理論計(jì)算摩擦力矩與實(shí)際摩擦力矩對(duì)比圖

分析圖7可知,不同實(shí)驗(yàn)組號(hào)(en)下計(jì)算得到的摩擦力矩理論值與實(shí)驗(yàn)所得摩擦力矩實(shí)際值具有明顯的重合度;然后運(yùn)用MATLAB軟件對(duì)軟軸摩擦力矩的理論值(T-fT)和實(shí)際值(A-fT)進(jìn)行相關(guān)性分析,結(jié)果如圖8,所得擬合曲線的方程為y=0.961 9x+0.048 85(R2=0.991 5),可以看出理論計(jì)算摩擦力矩(x)與實(shí)際摩擦力矩(y)由小到大線性分布曲線的擬合效果良好。

圖8 計(jì)算摩擦力矩與實(shí)際摩擦力矩線性擬合圖

將實(shí)驗(yàn)所得的已知參數(shù)變量帶入公式(10)后計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)公式本身的總體平均誤差率為5.53%,這說明所推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)公式符合精度計(jì)算要求。為了使公式的計(jì)算精度進(jìn)一步得到提高,首先采用蒙特卡羅模擬的方法確立參數(shù)的范圍,然后結(jié)合粒子群算法,尋找經(jīng)驗(yàn)公式中四個(gè)待定參數(shù)的最優(yōu)解,使得采用經(jīng)驗(yàn)公式所計(jì)算出的軟軸摩擦力矩理論值的總體誤差平均值最小,最終得到最佳的摩擦力矩經(jīng)驗(yàn)公式。

3.2 優(yōu)化算法修正經(jīng)驗(yàn)公式

由已知的C0=167.845,C1=0.590,C2=3.105,C3=1.568,經(jīng)過多次試驗(yàn),選定C0的區(qū)間為[167.5,168],C1的區(qū)間為[0.55,0.65],C2的區(qū)間為[3,3.2],C3的區(qū)間為[1.58,1.6]?？紤]到計(jì)算機(jī)性能和時(shí)間的限制,本次在MATLAB平臺(tái)上采用蒙特卡羅模擬的方法進(jìn)行20 000次尋優(yōu),流程圖如圖9所示。經(jīng)過計(jì)算,確定出經(jīng)驗(yàn)公式的未知參數(shù)分別為:C0=167.976,C1=0.585,C2=3.062,C3=1.598,用C0、C1、C2、C3計(jì)算出的相應(yīng)的摩擦力矩與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的摩擦力矩之間的誤差均值如表2,從表2中可以看出總體誤差與優(yōu)化前相比相差不大,降低了0.03%,需要進(jìn)行二次修正。

表2 摩擦力矩蒙特卡羅模擬優(yōu)化結(jié)果

圖9 蒙特卡羅模擬優(yōu)化流程圖

然后采用MATLAB軟件內(nèi)置粒子群算法中的particleswarm函數(shù)對(duì)公式進(jìn)行多元函數(shù)擬合求解,設(shè)定未知參數(shù)的個(gè)數(shù)為4,固定隨機(jī)數(shù)種子為110。由于粒子群算法只需要給定一個(gè)搜索范圍,不需要給定初始值,因此設(shè)定搜索范圍的上下界分別為[250 1 4 2],[120 0 2 1],求解完成后,再利用fmincon函數(shù)混合求解,最終所得結(jié)果為C0=198.488,C1=0.562,C2=3.119,C3=1.585。

將參數(shù)變量帶入所得的優(yōu)化公式中,計(jì)算后得到總的平均誤差率為5.37%,經(jīng)驗(yàn)公式的總體誤差較之前的5.53%降低了0.16%。在軸芯半徑0.15 cm和軸芯半徑0.25 cm范圍的平均誤差率分別為6.01%、3.47%(見表3、4),分別較之前的6.29%、4.20%降低了0.28%、0.73%,至此,所得最終的軟軸摩擦力矩經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式如式(11):

表3 軸芯半徑0.15 cm摩擦力矩計(jì)算公式誤差率

表4 軸芯半徑0.25cm摩擦力矩計(jì)算公式誤差率

(11)

4 結(jié)論

(1) 提出一種研究鋼絲軟軸摩擦力矩的方法,即研究軟軸摩擦力矩與軸芯半徑,軸芯長度和曲率半徑的關(guān)系;結(jié)合具體實(shí)驗(yàn),測(cè)量得到當(dāng)上述三個(gè)影響因素發(fā)生變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的軟軸摩擦力矩。

(2) 結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),分析得到軟軸摩擦力矩受軸芯半徑、軸芯長度、以及軟軸彎曲時(shí)曲率半徑三個(gè)影響因素的變化規(guī)律和具體形式;然后結(jié)合最小二乘回歸分析法,找出軟軸摩擦力矩和軸芯長度、半徑、曲率半徑三者的指數(shù)關(guān)系。

(3) 采用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的摩擦力矩值和實(shí)驗(yàn)所得的實(shí)際摩擦力矩值進(jìn)行對(duì)比,計(jì)算所得經(jīng)驗(yàn)公式總的平均誤差率為5.53%,證明所推導(dǎo)的經(jīng)驗(yàn)公式符合精度計(jì)算要求。

(4) 為了使最小二乘法得到的經(jīng)驗(yàn)公式的精度得到提高,首先運(yùn)用蒙特卡羅模擬的方法對(duì)公式進(jìn)行優(yōu)化,結(jié)果發(fā)現(xiàn)該優(yōu)化方法的誤差率較原來相比相差不大,為5.49%,較優(yōu)化前的計(jì)算精度提高了0.03%。

(5) 結(jié)合粒子群算法對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行二次優(yōu)化,得到最終優(yōu)化后的經(jīng)驗(yàn)公式。經(jīng)過粒子群優(yōu)化的經(jīng)驗(yàn)公式的總體誤差為5.37%,較優(yōu)化前的計(jì)算精度提高了0.16%;對(duì)于軸芯半徑0.15 cm和軸芯半徑0.25 cm的軟軸,其最終的平均誤差率分別為6.01%、3.47%,分別較之前的計(jì)算精度提高了0.28%、0.73%。本文關(guān)于軟軸摩擦力矩的研究,對(duì)軟軸的設(shè)計(jì)和維護(hù)具有實(shí)際指導(dǎo)意義和參考價(jià)值。