數(shù)學(xué)文化現(xiàn)狀及其與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的相關(guān)性

趙艷會(huì)

(河南財(cái)政金融學(xué)院 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

0 引言

中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施以來(lái),教育部頒布了6本數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn),數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)未在任何一本中缺席,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組的態(tài)度。李大潛說(shuō):“數(shù)學(xué)不僅是一種精確的語(yǔ)言和工具、一門博大精深并應(yīng)用廣泛的科學(xué),而且更是一種先進(jìn)的文化?！盵1]這些亦應(yīng)成為大學(xué)數(shù)學(xué)教育需要延續(xù)的使命,本文從高等數(shù)學(xué)教材中例題的視角,探討包含數(shù)學(xué)文化類題目的容量、內(nèi)容分布、知識(shí)領(lǐng)域分布和文化類別分布,數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)間的相關(guān)性。

1 研究設(shè)計(jì)

1.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

吳贛昌主編的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(第5版)。該教材適用于經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)學(xué)生,有較強(qiáng)代表性且更偏向于應(yīng)用。

研究的具體對(duì)象是該教材中所有明確標(biāo)注序號(hào)的例題(除去選學(xué)內(nèi)容中的例題),散落在文中未標(biāo)注序號(hào)的小例題不計(jì)入,總例題數(shù)量是146道題目。

1.2 研究?jī)?nèi)容

1.2.1 數(shù)學(xué)文化例題數(shù)量分布

首先需要厘清數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵,各個(gè)版本的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中并沒(méi)有數(shù)學(xué)文化的明確定義,學(xué)者們對(duì)數(shù)學(xué)文化的定義不盡相同,下面給出數(shù)學(xué)文化的定義。

對(duì)數(shù)學(xué)文化的定義,張維忠將其看作是“數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)和生活的交叉、數(shù)學(xué)和各種文化的關(guān)系以及這些因素交互作用所形成的龐大體系”[2];趙東霞、汪曉勤認(rèn)為數(shù)學(xué)文化是“數(shù)學(xué)的歷史、數(shù)學(xué)的思想、數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)與人類其他知識(shí)領(lǐng)域之間的關(guān)聯(lián)”[3];在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中有明確的說(shuō)明,“數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、語(yǔ)言、方法、觀點(diǎn),以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義,以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動(dòng) ”[4]。最后的陳述是一個(gè)較為全面的語(yǔ)言形式,我們就選取這個(gè)說(shuō)明作為對(duì)數(shù)學(xué)文化的定義,按照這個(gè)內(nèi)涵進(jìn)行是否數(shù)學(xué)文化例題的判定。

1.2.2 數(shù)學(xué)文化例題所屬數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域分布

研究的對(duì)象本身是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),所有研究的內(nèi)容都屬于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),故而此處將研究對(duì)象細(xì)分為:代數(shù)與分析、幾何與解析、排列與組合3個(gè)領(lǐng)域的內(nèi)容,研究對(duì)象對(duì)應(yīng)于一個(gè)或幾個(gè)數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域,如表1所示。

表1 數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域劃分Tab.1 Division of mathematical branches

如下例題1～3有明確的數(shù)學(xué)領(lǐng)域歸類。

本題是利用集合和集合運(yùn)算表示事件以及事件之間的關(guān)系,歸類于代數(shù)與分析領(lǐng)域。

例2(幾何與解析領(lǐng)域) 甲乙兩人約定中午12:30在某地會(huì)面。設(shè)甲到達(dá)的時(shí)間在12:15到12:45之間,是均勻分布的;乙獨(dú)立地到達(dá),且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間,是均勻分布的。試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率[5]43。

本題需要通過(guò)幾何圖形利用解析幾何的知識(shí),歸類于幾何與解析領(lǐng)域。

例3(排列與組合領(lǐng)域)袋中有5個(gè)球,其中3個(gè)紅球,2個(gè)白球。現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè),已知第一次取到紅球,求第二次取到白球的概率[5]20。

本題需要通過(guò)組合數(shù)的計(jì)算,用古典概型解決,將其歸類于排列與組合領(lǐng)域。

1.2.3 數(shù)學(xué)文化類別分布

在2.2.1節(jié)中利用《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》和一些學(xué)者的理論界定數(shù)學(xué)文化的涵義。下面借鑒汪曉勤的研究進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的分類,汪曉勤依據(jù)國(guó)外學(xué)者總結(jié)的數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值,以及《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中要求的“數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值”,將數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵劃分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化5個(gè)類別[6],結(jié)合《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》內(nèi)容的特點(diǎn),對(duì)例題應(yīng)用特點(diǎn)的內(nèi)涵具體化,形成如下數(shù)學(xué)文化類別的框架,具體見(jiàn)表2。實(shí)際上也不能將這些類別完全割裂開(kāi)來(lái),會(huì)有交叉重合的現(xiàn)象,在這里選擇主要因素進(jìn)行唯一歸類。

表2 數(shù)學(xué)文化類別框架Tab.2 Mathematical culture category framework

根據(jù)數(shù)學(xué)文化分類框架,以下例題4～8可對(duì)應(yīng)于各自的類別。

例4(知識(shí)源流) 某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品300件,根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01,問(wèn)現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少[5]43?

這實(shí)際上是二項(xiàng)分布的問(wèn)題,但是計(jì)算復(fù)雜,而泊松定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí),pn必定很小,因此,泊松定理表明,當(dāng)n很大,p接近0或1時(shí),可以有近似公式

實(shí)際計(jì)算中,當(dāng)n≥100,np≤10時(shí)近似效果就很好。這需要了解二項(xiàng)分布和泊松分布的淵源關(guān)系。在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的稀有事件,如彩票中獎(jiǎng)、地震、火山爆發(fā)等。根據(jù)泊松定理可知,n重伯努利試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布。此種情況下,將計(jì)算難度復(fù)雜的二項(xiàng)分布轉(zhuǎn)化為易于查表計(jì)算的泊松分布。

例5(學(xué)科聯(lián)系) 設(shè)國(guó)際市場(chǎng)每年對(duì)我國(guó)某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量X(單位:t),它服從區(qū)間[2000,4000]上的均勻分布。每銷售出1 t該種商品,可為國(guó)家賺取外匯3萬(wàn)元;若銷售不出去,則每噸商品需貯存費(fèi)1萬(wàn)元,問(wèn)該商品應(yīng)出口多少噸,才能使國(guó)家的平均收益最大[5]96。

這是利用概率密度計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的題目,用來(lái)解決經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的問(wèn)題,屬于學(xué)科聯(lián)系的類別。

例6(社會(huì)角色) 一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開(kāi)出,旅客有10個(gè)車站可以下車,如果到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù),求E(X)(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立)[5]97。

本題將所求事件拆分成若干隨機(jī)變量之和的形式,再利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)解決問(wèn)題,屬于解決社會(huì)生活問(wèn)題,歸類于社會(huì)角色。

例7(審美娛樂(lè)) 17世紀(jì)末,法國(guó)的De Meré爵士與人打賭,在“一顆骰子連續(xù)拋擲4次,出現(xiàn)一次6點(diǎn)”的情況下他贏了錢,可是在“兩顆骰子連續(xù)拋擲24次,至少出現(xiàn)一次雙6點(diǎn)”的情況下他卻輸了錢,這是為什么呢[5]28?

這是下賭注問(wèn)題,利用概率的計(jì)算,用數(shù)量來(lái)說(shuō)明兩種情況概率的大小解釋下賭注問(wèn)題,歸屬于審美娛樂(lè)領(lǐng)域。

例8(多元文化)圓周率派π=3.141 592 6……是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù),我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后7位。這個(gè)紀(jì)錄保持了1 000多年。此后,不斷有人把它算得更加精確。1873年,英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)π的數(shù)值,該數(shù)值在小數(shù)點(diǎn)后共有707位之多。但幾十年后,曼徹斯特的費(fèi)林生對(duì)它產(chǎn)生了懷疑,他統(tǒng)計(jì)了π的608位小數(shù),得到了如表3中的結(jié)果。你能說(shuō)出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎[5]7?

表3 數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)Tab.3 Number of occurrences of figures

本題需要根據(jù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的特點(diǎn),借助數(shù)字分布的概率特征解答。題目中從圓周率的發(fā)展歷史展開(kāi),涉及我國(guó)數(shù)學(xué)家和國(guó)外學(xué)者的貢獻(xiàn),屬于多元文化的類別。

1.2.4 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)例題分布

在這里首先要厘清數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的內(nèi)涵,各個(gè)版本的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中沒(méi)有數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的明確定義,學(xué)者們對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的定義也是不盡相同的。

數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的界定,對(duì)比6個(gè)版本的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的介紹,在最新的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中的表述是“應(yīng)用意識(shí)主要是指有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象與規(guī)律,解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題。能夠感悟現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題,可以用數(shù)學(xué)的方法予以解決;初步了解數(shù)學(xué)作為一種通用的科學(xué)語(yǔ)言在其他學(xué)科中的應(yīng)用,通過(guò)跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)建立不同學(xué)科之間的聯(lián)系。應(yīng)用意識(shí)有助于用學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題,養(yǎng)成理論聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣,發(fā)展實(shí)踐能力”[7]10。結(jié)合意識(shí)層面,我們可將數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)定義為:數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)是主體通過(guò)掌握的習(xí)得的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能,以數(shù)學(xué)的視角自主地觀察、感知、分析事物和現(xiàn)象,再借以數(shù)學(xué)的專業(yè)特點(diǎn),如數(shù)學(xué)語(yǔ)言、推理、知識(shí)和思想方法等,翻譯描述、理解和解決所面對(duì)問(wèn)題的一種傾向性心理活動(dòng)。它是精神層面的一種意念方向,建構(gòu)于數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和應(yīng)用價(jià)值的理解認(rèn)識(shí)之上。對(duì)于出現(xiàn)的每一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,一旦能夠數(shù)學(xué)化,便會(huì)產(chǎn)生用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的想法,進(jìn)而嘗試解決問(wèn)題[8]。 我們將依據(jù)這個(gè)內(nèi)涵對(duì)所有例題是否包含數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的成分進(jìn)行界定。

2 研究結(jié)論

2.1 數(shù)學(xué)文化例題數(shù)量

該教材例題總數(shù)146道,其中有80道例題屬于數(shù)學(xué)文化類別,占比54.79%(圖1),很好地體現(xiàn)了融入數(shù)學(xué)文化意識(shí)培養(yǎng)的理念,涵蓋的文化類別、數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域也很全面。

圖1 數(shù)學(xué)文化例題分布Fig.1 Mathematical culture distribution

2.2 數(shù)學(xué)文化例題知識(shí)領(lǐng)域分布

在整個(gè)例題中代數(shù)與分析領(lǐng)域有65道題、幾何與解析領(lǐng)域有1道題、排列與組合領(lǐng)域有19道題,如圖2所示?？梢钥闯龃鷶?shù)與解析領(lǐng)域是最多的81.25%,這也與代數(shù)與解析的內(nèi)容廣泛有關(guān),幾何與解析相對(duì)占比較小1.25%,排列組合其實(shí)在很多題目中都需要用到,所以占比也較高23.75%。

圖2 數(shù)學(xué)文化例題知識(shí)領(lǐng)域分布Fig.2 Knowledge domain distribution of mathematical culture examples

2.3 數(shù)學(xué)文化類別分布

按照數(shù)學(xué)文化類別框架劃分的知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化5個(gè)類別中,學(xué)科聯(lián)系47道占比58.75%最大,說(shuō)明跨學(xué)科的應(yīng)用是主要的方面;社會(huì)角色居于第二位,占比27.50%;知識(shí)源流和多元文化最少,占比均為1.25%(圖3)。

圖3 數(shù)學(xué)文化例題類別Fig.3 Types of mathematical culture example

2.4 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)題目分布

通過(guò)上述對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的界定,對(duì)于整本教材內(nèi)容中的80道數(shù)學(xué)文化例題來(lái)說(shuō),在數(shù)學(xué)文化類別的5個(gè)分類中,“學(xué)科聯(lián)系”類目中的例題是跨學(xué)科的應(yīng)用,自然也是屬于應(yīng)用題目的范疇;“社會(huì)角色”類目例題是在社會(huì)生活中應(yīng)用的體現(xiàn);“審美娛樂(lè)”類目例題應(yīng)用范圍限制在數(shù)學(xué)美的應(yīng)用、數(shù)學(xué)思維創(chuàng)造的愉悅以及娛樂(lè)消費(fèi)等;“知識(shí)源流”類目例題關(guān)注的是牽涉數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)的文化類型,本研究對(duì)象中的例4是借助于應(yīng)用類型背景實(shí)現(xiàn)的;“多元文化”類目例題占比低,可能不牽涉實(shí)際的應(yīng)用, 如例5就不屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用。在全部的146道例題中屬于應(yīng)用的有79道例題,與數(shù)學(xué)文化無(wú)關(guān)的例題66道中沒(méi)有數(shù)學(xué)應(yīng)用的例題。98.75%的數(shù)學(xué)應(yīng)用例題都是含有數(shù)學(xué)文化因素的例題,從統(tǒng)計(jì)的結(jié)果看,數(shù)學(xué)文化比數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的例題更廣一些(圖4)。

圖4 數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)例題分布Fig.4 Distribution of examples of mathematics applied consciousness

3 啟示與建議

從以上分析可以看出,《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的數(shù)學(xué)文化例題所占的比重較高,一方面與數(shù)學(xué)文化涵蓋的范圍廣有關(guān);另一方面跟數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的增強(qiáng)有關(guān)。當(dāng)然,是不是跟數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的培養(yǎng)有關(guān),需要進(jìn)一步研究。從數(shù)據(jù)中可以看出,需要加強(qiáng)幾何與解析領(lǐng)域的知識(shí)容量,增加到合適的比例;知識(shí)源流和多元文化類別也需要加強(qiáng),否則數(shù)學(xué)文化之路根基不牢。

總之,基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程的改革走在了高等數(shù)學(xué)改革的前列,數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng),不能只是基礎(chǔ)教育的任務(wù),也是高等數(shù)學(xué)需要的任務(wù)。從數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的關(guān)系來(lái)說(shuō),數(shù)學(xué)文化的例題絕大多數(shù)都屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)相關(guān)的題目,另外,我們選擇的研究對(duì)象只是例題,而教材中例題之外還有很多數(shù)學(xué)文化的素材。上述研究,僅從一個(gè)方面驗(yàn)證了兩者的關(guān)系,而數(shù)學(xué)文化包含了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),是一個(gè)更加宏觀的概念,還需要進(jìn)一步研究。