一致性：探尋數(shù)的概念教學的創(chuàng)新路徑
——“分數(shù)的意義”教學再設計

江蘇無錫市新吳區(qū)旺莊實驗小學 （214000） 姚莉莉

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》中明確指出，在“數(shù)與運算”教學中，要讓學生感悟數(shù)的概念本質上的一致性，體會數(shù)的運算在本質上的一致性。數(shù)的概念是運算和數(shù)量關系的基礎，數(shù)的概念教學是整個“數(shù)與代數(shù)”領域的根基，只有讓學生感悟數(shù)的概念的一致性，才能促進學生數(shù)感、符號意識、運算能力的發(fā)展，有效落實核心素養(yǎng)。

一、源起：基于真實學情的問題現(xiàn)狀分析

在日常教學中，如果教師忽視了數(shù)的概念一致性，不注重基礎內容教學，就像房子沒有打好地基，在后續(xù)的教學中會遇到很多問題。如學生在解決“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”和“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”等問題時，難免出現(xiàn)理解障礙。有的教師則會簡單用“單位‘1’已知用乘法、單位‘1’未知用除法”的口訣解釋，短期內看效果似乎不錯，學生能快速解決此類問題。至于為什么單位“1”已知用乘法、單位“1”未知用除法，學生不明白。

數(shù)的概念是基礎，運算和數(shù)量關系是進階，因此，無論是概念教學還是計算教學，都應注重算理和算法的雙線教學。在實際教學中，教師或許遇到過這樣的情況：在根據教材單獨教學分數(shù)乘法或分數(shù)除法時，學生都能結合具體情境，通過畫一畫、涂一涂等操作活動，理解具體的算理和算法，但當問題以綜合題組出現(xiàn)，學生卻不能準確解決問題。

這時，我們不妨打破學段間的壁壘，將復雜抽象的新知和學生熟練掌握的舊知聯(lián)系起來，做到新舊融合。比如，一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍，反過來說就是另一個數(shù)是這個數(shù)的幾分之幾，讓學生體會“倍”和“幾分之幾”都是用來描述兩個量之間的關系（如圖1），感悟數(shù)的一致性。

圖1

基于對上述現(xiàn)狀的思考，筆者嘗試對分數(shù)的意義進行再教學，強調分數(shù)同整數(shù)、小數(shù)一樣，都是由計數(shù)單位不斷累加而得到的。

二、再設計：基于數(shù)的概念一致性的教學實踐

“分數(shù)的意義”的教學目標是讓學生初步理解分數(shù)的意義和分數(shù)單位，知道把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)叫分數(shù)，表示這樣一份的數(shù)叫分數(shù)單位。通過折一折、分一分、比一比的學習活動，經歷度量分數(shù)的過程，體會分數(shù)不僅可以分出來，還可以數(shù)出來。初步理解假分數(shù)的意義，從而把握數(shù)的本質，感悟分數(shù)、整數(shù)、小數(shù)的一致性。因此，筆者在“分數(shù)的意義”單元第一課時的基礎上進行教學。

1.真實情境引發(fā)認知沖突——初步經歷度量分數(shù)

活動要求1（出示圖2）：黃紙條到底有多長？

圖2

生1：我先對折一次，再對折一次，打開后發(fā)現(xiàn)平均分成了4份，從而找到粉紙條的。

生2：我是比出來的，粉紙條比黃紙條多出來一部分，恰好是粉紙條的。

生3：都是以粉紙條作為標準平均分。

2.變式突破建構分數(shù)意義——初步感知假分數(shù)

活動要求2（出示圖3）：以粉紙條為標準，藍紙條和綠紙條分別有多長？

圖3

師：這3 張長度不同的紙條都是以誰為標準進行測量的？

生1：都是以粉紙條為標準。

師：在測量紙條的過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：藍紙條和綠紙條都比作為標準的粉紙條要長。

生3：有幾個幾分之一就是幾分之幾。

師：分數(shù)單位不斷累加就能度量出所有分母相同的不同分數(shù)。這些數(shù)也可以在數(shù)軸上表示出來。以1為標準，仔細觀察這些分數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：有的分數(shù)比1大，有的分數(shù)比1小。

3.多元表征豐富分數(shù)內涵——進一步認識假分數(shù)

師（出示一個圓）：如果以這個圓作為標準，平均分成5份，每份是多少呢？

師：其中的2份占這個圓的幾分之幾？3份呢？4份呢？5份呢？

生4：再往下數(shù)需要再添一個圓。

師：你能給它們分分類嗎？

生7：分子比分母小的歸為一類，分子比分母大的歸為一類。

師：分子比分母小的分數(shù)叫真分數(shù)。分子比分母大的或者分子和分母相同的分數(shù)叫假分數(shù)。

師：仔細看數(shù)軸，真分數(shù)在哪里？假分數(shù)呢？

生8：真分數(shù)在1 的左邊，假分數(shù)在1 的右邊，1也是假分數(shù)。

師：真分數(shù)和假分數(shù)有什么特點呢？

生9：真分數(shù)比1小，假分數(shù)大于或等于1。

三、感悟：對數(shù)的概念一致性教學的反思

為什么學生對分數(shù)的分數(shù)單位的理解不似整數(shù)、小數(shù)般熟練？從蘇教版教材編排來看，分數(shù)單位的地位和作用不夠凸顯，學生首次接觸分數(shù)單位后，第二課時就進入“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾的實際問題”的學習中，對分數(shù)單位的認識缺少連續(xù)性和系統(tǒng)性，盡管在后續(xù)學習分數(shù)加減法時強調了“分數(shù)單位相同時才能直接相加減”，但仍不如“分母相同，分子相加減”的口訣深入人心。久而久之，分數(shù)單位的概念和作用逐漸被學生淡忘。

1.強調數(shù)的概念的一致性：計數(shù)單位的累加

建構數(shù)的概念的前提是要理解數(shù)的建構方式，所有的數(shù)都是通過計數(shù)單位的不斷累加而來。認識整數(shù)時，我們先認識了1（個），10 根小棒捆成一捆，就是10（十），10 個十是100（百）……強調十進制。在教學分數(shù)概念時，我們也要強調數(shù)的概念的一致性，將同樣的認知方法遷移到認識分數(shù)中，按照計數(shù)單位累加的計數(shù)規(guī)則建構分數(shù)。將本課的核心確定為當標準1 不能直接測量時，如何在標準中找到合適的分數(shù)單位進行測量。學生在找、量、數(shù)的過程中感悟分數(shù)單位的計數(shù)屬性，體會數(shù)的概念的一致性。

核心素養(yǎng)時代的課堂教學對教師提出了更高的要求，教師不能只做教材的“搬運工”，而應將每一節(jié)課放到大單元、大領域中進行整體布局，打通知識的前后脈絡。在單元復習中，教師通過引導學生回憶整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位和計數(shù)方法，讓學生感知分數(shù)的寫法雖然和整數(shù)、小數(shù)不一樣，但建構規(guī)則是一樣的，都是基于相同計數(shù)單位的不斷累加。通過溝通整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的聯(lián)系，強調數(shù)的概念的一致性，感悟數(shù)的概念的本質。

2.強調教學內容的一致性：多元表征聚焦分數(shù)本質

除了教學常用中的折一折、比一比、分一分等操作活動，筆者還設計了數(shù)分數(shù)的活動，學生在觀察、思考、猜測、驗證的活動中，逐步提煉出真分數(shù)、假分數(shù)的概念，進一步認識分數(shù)。學生在不同形式、不同內容、不同對象的數(shù)分數(shù)中，感悟真分數(shù)和假分數(shù)的概念及內涵。對于分數(shù)而言，這些不同的表示形式是具有共性的，即相同分數(shù)的不同表示形式，不管是具體的實物還是抽象的圖形，都可以表示出幾分之一，進而不斷累加得到不同的分數(shù)，當超過1時就產生了假分數(shù)。

不同形式、不同大小的數(shù)都能在數(shù)軸上體現(xiàn)出來，數(shù)的概念的建立離不開數(shù)軸。筆者設計了兩個不同層次的觀察數(shù)軸的活動：第一次把度量紙條過程中產生的分數(shù)寫到數(shù)軸上，感悟分數(shù)是通過相同計數(shù)單位的不斷累加得到的，它可以用來表示比1小的數(shù)，也可以表示比1 大的數(shù)；第二次把圓片平均分并用分數(shù)表示，將對應的分數(shù)寫到數(shù)軸上，學生通過數(shù)軸上不同分數(shù)所在的位置就能理解真分數(shù)都比1 小，假分數(shù)大于等于1。讓學生直觀感受到分數(shù)也是數(shù)的一種，它具有和整數(shù)、小數(shù)相同性質的表達方式和計數(shù)規(guī)則。學生在不同圖形、不同活動、不同手段的教學中感受數(shù)的一致性。

3.強調學習方法的一致性：逐步養(yǎng)成“三會”核心素養(yǎng)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》明確指出，通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生逐步會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界（簡稱“三會”）。引導學生思考如何表示紙條的長度，當不能再用以往經驗解決問題時，啟發(fā)學生動手操作、觀察比較如何找到更合適的方式準確表達測量對象的長度，并掌握數(shù)學結論和方法。

要培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神的學生，教師應當設計能讓學生經歷再創(chuàng)造的活動，讓學生在自主探究、不斷思考、辨證反思的過程中發(fā)展素養(yǎng)，在探究數(shù)學本質的過程中感悟數(shù)學的抽象性和嚴謹性，感悟數(shù)學之美。

在以核心素養(yǎng)為教育導向的背景下，數(shù)學課程內容應當立足學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，注重課程內容結構化，即對教學內容進行結構化整合，構建發(fā)展學生核心素養(yǎng)的路徑，體現(xiàn)數(shù)學學科的育人價值。