脆性各向同性材料的強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式研究

孔 洋，汪璋淳，張桂榮，張 賢，梅聚福，劉中儀

(南京水利科學(xué)研究院巖土工程研究所，江蘇 南京 210024)

0 引 言

在巖石強度準(zhǔn)則研究中，線性摩爾-庫倫(M-C)準(zhǔn)則適用于較低應(yīng)力水平情形，較高圍壓工況下其描述的巖石強度隨圍壓線性增大的特征與實際巖石力學(xué)試驗結(jié)果不符[1]；胡克-布朗(H-B)準(zhǔn)則能反映巖石強度隨圍壓非線性增長的特征，但存在一定程度的高應(yīng)力條件下過高估計巖石強度的問題[2-3]。除經(jīng)典M-C準(zhǔn)則與H-B準(zhǔn)則外，常用的巖石強度準(zhǔn)則還有指數(shù)型強度準(zhǔn)則[4]與冪函數(shù)形式強度準(zhǔn)則(如Bieniawski準(zhǔn)則[5]、Balmer準(zhǔn)則[6-7]等)，各強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)表達形式不一，其適用性應(yīng)根據(jù)巖石類型、節(jié)理裂隙發(fā)育情況、圍壓工況以及是否考慮抗拉強度指標(biāo)等具體分析。

國內(nèi)外學(xué)者基于巖石臨界狀態(tài)或巖石臨界圍壓概念，對經(jīng)典M-C準(zhǔn)則與H-B準(zhǔn)則進行了改進研究[8-9]，認為巖石進入臨界狀態(tài)后其剪切應(yīng)力及對應(yīng)的偏應(yīng)力不再隨圍壓發(fā)生變化，巖石進入臨界狀態(tài)所對應(yīng)的圍壓即臨界圍壓[1]。針對不同類型的巖石，雖然臨界狀態(tài)圍壓取值差異性較大，但既有研究成果均依據(jù)圍壓增大到一定量值時偏應(yīng)力趨近于常數(shù)概念進行狀態(tài)判定。

筆者采用1stOpt軟件并基于共軛梯度法CGM+全局優(yōu)化算法研究發(fā)現(xiàn)，修正M-C準(zhǔn)則[10]與修正H-B準(zhǔn)則[11]在數(shù)據(jù)擬合過程中參數(shù)極易出現(xiàn)負數(shù)項，表明利用臨界圍壓狀態(tài)概念改進后的強度準(zhǔn)則參數(shù)穩(wěn)定性較低，在脆性類巖石材料方面的適用性存在一定不足之處。為此，本文針對一種用于研究完整玄武巖塊體力學(xué)行為的典型脆性各向同性材料[12-14]，探究了H-B準(zhǔn)則、Power Curve準(zhǔn)則與單參數(shù)Bieniawski準(zhǔn)則等3類巖石經(jīng)典非線性強度準(zhǔn)則與Singh拋物線型強度準(zhǔn)則的適用性，基于臨界圍壓概念引入?yún)?shù)n，對Singh拋物線型強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式進行了修正。

1 脆性類巖石水泥砂漿材料

制備一種脆性各向同性質(zhì)量比為水泥∶河砂∶水∶減水劑=1∶0.5∶0.4∶0.002的試樣[12-14]，試樣制備與試驗方案參照GB/T 50266—2013《工程巖體試驗方法標(biāo)準(zhǔn)》，采用MTS311.31S型電液伺服試驗機開展單軸壓縮與巴西劈裂試驗，采用Hoek三軸試驗裝置開展不同圍壓工況下的三軸壓縮試驗。試驗預(yù)設(shè)9組圍壓工況，分別為0、1.5、3.0、4.5、6.0、6.4、7.5、10.5 MPa和14.0 MPa。實測水泥砂漿材料的平均單軸抗壓強度為70.40 MPa，平均抗拉強度為4.43 MPa，基于前3組圍壓工況計算得到內(nèi)摩擦角為31.26°，材料壓拉比為15.89。

基于脆性類巖石水泥砂漿材料三軸試驗結(jié)果，可將強度指標(biāo)整理成如圖1所示的3級圍壓段摩爾圓及其切線簇。圖1中，圍壓段1為0～3.0 MPa，圍壓段2為4.5～6.4 MPa，圍壓段3為7.5～14.0MPa。相似模型材料平均單軸抗壓強度為70.4 MPa，其中3.0～4.5 MPa圍壓區(qū)間內(nèi)包含5%峰值抗壓強度點3.52 MPa，6.4～7.5 MPa圍壓區(qū)間內(nèi)包含10%峰值抗壓強度點7.04 MPa。從圖1可以看出，不同圍壓段內(nèi)近似線性的強度包絡(luò)線差異較大，表明脆性類巖石水泥砂漿材料不同圍壓下，強度包絡(luò)線切點斜率是連續(xù)變化的曲線，即表現(xiàn)出典型強度演化非線性特征。

圖1 摩爾圓及其切線簇

2 經(jīng)典巖石強度準(zhǔn)則適用性研究

根據(jù)國內(nèi)外研究成果，選取H-B準(zhǔn)則、Power Curve準(zhǔn)則與單參數(shù)Bieniawski準(zhǔn)則等3類經(jīng)典巖石強度準(zhǔn)則，探究其對脆性類巖石水泥砂漿材料的適用性，利用非線性最小二乘優(yōu)化方法確定強度準(zhǔn)則參數(shù)，以擬合值與試驗值的殘差平方和RSS[15]最小作為定量評價依據(jù)，強度準(zhǔn)則參數(shù)通過RocData軟件計算或1stOpt軟件非線性回歸分析得到。

為克服H-B準(zhǔn)則在工程應(yīng)用中的不足與局限性，Hoek與Brown多次對強度準(zhǔn)則進行了補充與修正，得到廣義H-B準(zhǔn)則的表達式，即

σ1=σ3+σc(mbσ3/σc+s)κ

(1)

式中，σ1為最大主應(yīng)力；σ3為最小主應(yīng)力；σc為巖石類材料單軸抗壓強度；mb為描述巖體強度特征的折減材料參數(shù)；s為經(jīng)驗參數(shù)，對于完整巖石材料取1；κ為材料常數(shù)。

大量試驗結(jié)果表明黏土、堆石料與節(jié)理巖體等巖土材料失效包絡(luò)線是非線性的，特別是在較低法向應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)下，非線性特征比較顯著，該類型強度包絡(luò)線對應(yīng)的剪應(yīng)力τ與法向應(yīng)力σn的關(guān)系符合Power Curve模型形式，即

τ=a(σn+d)b

(2)

式中，a、b與d為試驗參數(shù)。

1974年Bieniawski提出了冪函數(shù)形式強度準(zhǔn)則，用以評估巖石的強度參數(shù)，即

(3)

式中，e為試驗參數(shù)。

3類經(jīng)典非線性巖石強度準(zhǔn)則對9組圍壓工況試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果見圖2。從圖2可知，3類強度準(zhǔn)則擬合結(jié)果中，單參數(shù)Bienianski準(zhǔn)則RSS值僅為0.019，為最優(yōu)擬合模型，可較好反映脆性類巖石材料非線性強度特征，但單參數(shù)Bienianski準(zhǔn)則無拉應(yīng)力象限，故無法考慮抗拉強度對強度指標(biāo)的影響；H-B準(zhǔn)則與Power Curve準(zhǔn)則均能反映抗壓強度指標(biāo)的非線性特征，但兩者均過高估計了抗拉強度值，即基于H-B準(zhǔn)則的抗拉強度擬合值為9.39 MPa，基于Power Curve準(zhǔn)則的抗拉強度擬合值為6.09 MPa，實測值為4.43 MPa。

圖2 經(jīng)典非線性巖石強度準(zhǔn)則試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

3 Singh拋物線型強度準(zhǔn)則修正研究

3.1 Singh拋物線型強度準(zhǔn)則基本形式

對于各向同性的干燥巖石材料，M. Singh與B. Singh于2005年提出了一種形式簡單、非線性的拋物線型強度準(zhǔn)則[16]，即

(4)

式中，(σ1-σ3)為偏應(yīng)力；A0、B0與C0為試驗參數(shù)，可由下述邊界條件計算得到，即

假定當(dāng)σ3=σc時巖石進入臨界狀態(tài)，即臨界狀態(tài)圍壓值σcrt=σc，則Singh拋物線型強度準(zhǔn)則的具體形式可表示為

式中，B0=-2A0σc，C0=σc，此時σc為試驗已知值，僅有的未知項A0可由下式推算

(7)

3.2 Singh拋物線型強度準(zhǔn)則適用性研究

本文選用的脆性類巖石水泥砂漿材料屬于標(biāo)準(zhǔn)的各向同性材料，同時在試樣制備階段進行了充分干燥，故基于Hoek三軸試驗結(jié)果式(4)中C0項應(yīng)取為試驗值70.40 MPa，A0項由式(7)計算，為-0.106，則B0項應(yīng)為14.883，則依據(jù)本文試驗結(jié)果，式(4)應(yīng)表述為

(8)

Singh拋物線型強度準(zhǔn)則試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果見圖3。從圖3可知，式(8)所述曲線與試驗值偏差明顯，B0=-2A0σc項是導(dǎo)致曲線數(shù)值偏大的主要原因，故M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強度準(zhǔn)則假定巖石材料進入臨界狀態(tài)的圍壓σ3=σc的設(shè)想是值得商榷的，應(yīng)對強度準(zhǔn)則進行修正。

圖3 Singh拋物線型強度準(zhǔn)則試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

3.3 Singh拋物線型強度準(zhǔn)則的修正形式

式(4)在數(shù)據(jù)處理時，可等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項式數(shù)據(jù)擬合，筆者得到脆性類巖石水泥砂漿材料的修正Singh拋物線型強度準(zhǔn)則試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果見圖4。圖4中，σ3i為試驗材料進入臨界狀態(tài)的圍壓值；σcrti為臨界狀態(tài)圍壓計算值。從圖4可以看出：

圖4 修正Singh拋物線型強度準(zhǔn)則試驗數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

(1)式(4)中，C0項本應(yīng)取為試驗值70.40 MPa，但二次多項式擬合預(yù)估值約為69.95 MPa，與試驗值相對誤差絕對值僅為0.64%，偏差較小，故將Singh拋物線型強度準(zhǔn)則等效為二次多項式擬合，并取擬合值C0項進行研究是合理的。

(2)將Singh拋物線型強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項式，數(shù)據(jù)擬合相關(guān)系數(shù)R2=0.976 1、殘差平方和RSS=55.47，擬合效果較好；僅在1.5 MPa與3.0 MPa低圍壓數(shù)據(jù)點存在一定偏差。

M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強度準(zhǔn)則假定巖石材料進入臨界狀態(tài)的圍壓σ3=σc，實際臨界圍壓值遠比σc值??；可引入?yún)?shù)n表征巖石進入臨界狀態(tài)時圍壓σcrt=nσc，對Singh拋物線型強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式進行了改進，將式(5)修正為

將式(4)代入式(9)，可得修正的Singh拋物線型強度準(zhǔn)則具體數(shù)學(xué)表達式為

式中，B0=-2A0nσc，C0=σc，此時σc可取試驗已知值或強度準(zhǔn)則公式數(shù)據(jù)擬合值，A0與n可由試驗數(shù)據(jù)進行二次多項式擬合得到。

4 結(jié) 語

本文針對可模擬完整玄武巖塊體力學(xué)行為的脆性各向同性材料，探究了胡克-布朗(H-B)準(zhǔn)則、Power Curve準(zhǔn)則與單參數(shù)Bieniawski準(zhǔn)則等3類巖石經(jīng)典非線性強度準(zhǔn)則與Singh拋物線型強度準(zhǔn)則的適用性，并對Singh拋物線型強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式進行了修正，得到以下結(jié)論：

(1)單參數(shù)Bienianski準(zhǔn)則可較好反映脆性類巖石水泥砂漿材料非線性強度特征，數(shù)學(xué)形式擬合值與試驗值的殘差平方和(RSS)最小，但Bienianski準(zhǔn)則無拉應(yīng)力象限；H-B準(zhǔn)則與Power Curve準(zhǔn)則均能反映抗壓強度指標(biāo)的非線性特征，但兩者均過高估計抗拉強度值。

(2)將Singh拋物線型強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式等效為因變量(σ1-σ3)與自變量σ3的二次多項式，數(shù)據(jù)擬合效果較好，得到脆性類巖石水泥砂漿材料進入臨界狀態(tài)的圍壓σcrt=0.314σc。

(3)M. Singh與B. Singh給出的拋物線型強度準(zhǔn)則假定巖石材料進入臨界狀態(tài)的圍壓σ3=σc，實際臨界圍壓值遠比σc值??；通過引入?yún)?shù)n表征巖石進入臨界狀態(tài)時圍壓σcrt=nσc，得到了改進的Singh拋物線型強度準(zhǔn)則數(shù)學(xué)形式。