模分復(fù)用系統(tǒng)中模式耦合與模式色散的統(tǒng)計(jì)特性研究

郭 瑤,張 霞,杜秋萍,楊震山,李建平

(1.聊城大學(xué) 物理科學(xué)與信息工程學(xué)院,山東 聊城 252059;2.山東省光通信科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東 聊城 252059;3.廣東工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院,廣東 廣州 510006 )

1 引言

模分復(fù)用技術(shù)在利用多個(gè)正交模式有效提升光纖通信系統(tǒng)傳輸容量的同時(shí),也帶來(lái)了一系列亟待解決的問(wèn)題[1-6],比如低損耗光纖的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、高純度模式的激勵(lì)、多個(gè)復(fù)用模式產(chǎn)生的模式耦合和模式色散效應(yīng)以及接收端復(fù)用信號(hào)的性能恢復(fù)等。其中,模式耦合和模式色散是制約模分復(fù)用系統(tǒng)實(shí)用化的主要因素之一[7-12]。模式耦合無(wú)論發(fā)生在傳輸光纖還是模式復(fù)用解復(fù)用器中,都會(huì)導(dǎo)致模分復(fù)用信號(hào)之間發(fā)生串?dāng)_,使接收端信號(hào)的誤碼率增大,而且它還會(huì)從實(shí)質(zhì)上影響模式色散,進(jìn)而限制系統(tǒng)的傳輸距離與容量。模式色散會(huì)造成光脈沖在傳輸過(guò)程中的展寬,導(dǎo)致信號(hào)失真,且隨著傳輸距離的增大以及復(fù)用模式數(shù)量的增加,對(duì)信號(hào)傳輸質(zhì)量的影響也會(huì)越大,這將會(huì)大大增加對(duì)模式色散進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理(Digital Signal Processing,DSP)時(shí)的復(fù)雜度[13]。因此,有必要對(duì)光纖中的模式耦合、模式色散的統(tǒng)計(jì)特性及變化規(guī)律進(jìn)行研究,從而為下一步提取模式耦合和模式色散補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵信息,并有效降低DSP的復(fù)雜度提供理論依據(jù),為模分復(fù)用技術(shù)的實(shí)用化打下理論基礎(chǔ)。

在研究方法方面,傳統(tǒng)上通常采用Stokes理論[14]來(lái)分析光纖中場(chǎng)態(tài)的隨機(jī)演化,在可支持J個(gè)傳播模式的光纖(即J維模式空間)中,采用Stokes理論分析法時(shí),需要借助(J2-1) 個(gè)J×J維的蓋爾曼輔助矩陣[15-16]來(lái)建立描述光場(chǎng)及其傳輸性質(zhì)的(J2-1) 維Stokes矢量。這種方法在分析目前商用的單模傳輸系統(tǒng)(實(shí)際上存在2個(gè)相互垂直的偏振模式)中的偏振效應(yīng)問(wèn)題時(shí)非常直觀(guān)有效[17],但是如果將其應(yīng)用于存在多個(gè)模式的模分復(fù)用系統(tǒng)中時(shí),顯然隨著模式數(shù)目J的增加,Stokes矢量形式將愈加復(fù)雜,并且物理意義也會(huì)變得模糊。因此在模式數(shù)目為J的模分復(fù)用系統(tǒng)中,使用Stokes理論分析模式耦合、模式色散等損傷時(shí)將變得非常困難。前期我們課題組借鑒量子力學(xué)中的方法,提出了一種可描述任意J維模式空間中場(chǎng)態(tài)及其傳輸性質(zhì)的密度矩陣?yán)碚揫18],該理論中用來(lái)描述光場(chǎng)及其傳輸性質(zhì)的相關(guān)算符物理意義明確,構(gòu)建簡(jiǎn)單直接且光場(chǎng)中的所有可觀(guān)測(cè)信息都能夠方便地提取,因此在分析任意維度的模分復(fù)用系統(tǒng)中模式耦合和模式色散等效應(yīng)時(shí)具有極大優(yōu)勢(shì)。

本文研究了隨機(jī)擾動(dòng)下六模光纖中模式耦合和模式色散的統(tǒng)計(jì)規(guī)律及特性。首先將基于密度矩陣?yán)碚摰哪Ｊ今詈吓c模式色散的統(tǒng)計(jì)模型應(yīng)用于六模光纖,借助數(shù)值模擬得到了由模式耦合引起的光場(chǎng)能量分布和相干性變化的規(guī)律、模式色散對(duì)光脈沖展寬的影響以及一階和二階模式色散的概率密度分布等,最后對(duì)同一統(tǒng)計(jì)樣本下,典型的光纖通信波段1 548 nm ～ 1 553 nm內(nèi)的模式色散性質(zhì)進(jìn)行了仿真分析,相關(guān)結(jié)果將能夠直接應(yīng)用于模分復(fù)用系統(tǒng)數(shù)字信號(hào)處理模塊中模式耦合和模式色散的均衡補(bǔ)償。

2 模式耦合與模式色散的密度矩陣?yán)碚摷敖y(tǒng)計(jì)模型

本節(jié)將重點(diǎn)闡述密度矩陣?yán)碚揫18],為下節(jié)中光纖模式耦合和色散的研究分析提供基本理論方法。頻率為ω、在傳播方向上z點(diǎn)處的單色電磁波的電場(chǎng)幅度為E(x,y,z)eiωt,可借用量子力學(xué)中的右矢|ψ(z,ω)〉表示(忽略時(shí)諧因子eiωt)。在J模光纖中,模式空間為J維,|ψ〉由J個(gè)正交歸一的模式(基矢量)展開(kāi)

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2.1 密度矩陣?yán)碚?/h3>

在密度矩陣?yán)碚撝?為了統(tǒng)一地描述相干光(純態(tài))和部分相干光(混合態(tài)),借用量子力學(xué)中的密度矩陣算符表示電磁場(chǎng)狀態(tài)

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而光場(chǎng)在模式|j〉和|j′〉之間的相干性為

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τpj(ω)≡?τpj(ω)/?ω=[?τpj(ω+δω)-?τpj(ω)]/δω,

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式中

ρpj,ω(ω)≡?(|pj;ω〉〈pj;ω|)/?ω=(|pj;ω+δω〉〈pj;ω+δω|-|pj;ω〉〈pj;ω|)/δω。

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式(13)～(15)定量描述了光纖中的群時(shí)延及模式主態(tài)隨頻率的變化,即二階模式色散。

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式中〈〉表示以主態(tài)模式能量分布{Pj,j=1,2,..,J}為權(quán)重的平均。類(lèi)似的,光場(chǎng)的群時(shí)延均方值和方差分別為

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物理上,均值〈τ〉對(duì)應(yīng)于輸出脈沖中心的時(shí)間延遲,〈Δτ2〉表示輸出脈沖的時(shí)間展寬。

2.2 統(tǒng)計(jì)模型

在實(shí)際的傳輸鏈路中,光纖不可避免地會(huì)受到隨機(jī)擾動(dòng),使得光場(chǎng)的傳輸成為隨機(jī)過(guò)程,為了更好的理解信號(hào)在傳輸過(guò)程中受到的損傷,需要引入統(tǒng)計(jì)模型才能進(jìn)行分析。為便于之后的數(shù)值模擬,我們選定一組基矢量,將密度矩陣?yán)碚撝械乃惴孟鄳?yīng)的矩陣來(lái)表示。

在受隨機(jī)擾動(dòng)的光纖中,LMP矩陣Z可以寫(xiě)為

Z(z,ω)=(ω/c)N(z,ω)=(ω/c){NID(ω)+ΔN(z)},

(19)

式中N為光纖的局域“有效折射率(Effective refractive index, ERI)”矩陣,NID(假定與z無(wú)關(guān))和ΔN(與ω?zé)o關(guān))分別為理想光纖的ERI矩陣和隨機(jī)變化部分。ΔN服從朗之萬(wàn)隨機(jī)微分方程[19,20]

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式中zi和LC分別為初始位置和關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度,g(z)為表征白噪聲過(guò)程的厄米矩陣,滿(mǎn)足E[g(z)]=0,式中,E[]代表統(tǒng)計(jì)樣本的均值(以區(qū)別于上一小節(jié)中以光場(chǎng)能量分布為權(quán)重的均值〈〉)。厄米矩陣g(z)中所有對(duì)角元素(gjj)及對(duì)角線(xiàn)以上的元素(gjj′,j

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以上數(shù)值計(jì)算中,最基本的步驟為從ρ(zm-1,ω)、Ω(zm-1,z0;ω)、Ωω(zm-1,z0;ω)和ΔN(zm-1)求ρ(zm,ω)、Ω(zm,z0;ω)、Ωω(zm,z0;ω)和ΔN(zm)。首先,根據(jù)方程(6),(11),(12),有

ρ(zm,ω)=U(zm,zm-1;ω)ρ(zm-1,ω)U?(zm,zm-1;ω),

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Ω(zm,z0;ω)=Ω(zm,zm-1;ω)+U(zm,zm-1;ω)Ω(zm-1,z0;ω)U?(zm,zm-1;ω),

(23)

Ωω(zm,z0;ω)=Ωω(zm,zm-1;ω)+U(zm,zm-1;ω)Ωω(zm-1,z0;ω)U?(zm,zm-1;ω)
-i[Ω(zm,zm-1;ω),Ω(zm,z0;ω)],

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式中

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Ω(zm,zm-1;ω)=iUω(zm,zm-1;ω)U?(zm,zm-1;ω),

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從而完成從zm-1到zm的步驟。

3 六模光纖中模式耦合與模式色散的統(tǒng)計(jì)規(guī)律及特性

本節(jié)中,我們利用2.2節(jié)中的統(tǒng)計(jì)模型對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)條件下六模光纖中的模式耦合和模式色散進(jìn)行數(shù)值模擬。設(shè)真空波長(zhǎng)λ=1 550 nm,關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度LC=50 m,樣本總數(shù)Q=20 000,理想的ERI矩陣和“隨機(jī)沖撞”因子γjj′(j≤j′)分別為

NID=10-5diag(1,1,0,0,-1,-1),

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式中“diag”表示對(duì)角矩陣,其括號(hào)里的值為對(duì)角線(xiàn)上的元素。這里,理想光纖的6種自由模式{|j〉,j=1,2,3,4,5,6}可分為各包含兩個(gè)具有相同ERI的理想簡(jiǎn)并模的三組{|1〉,|2〉}、{|3〉,|4〉}、{|5〉,|6〉},而不同組之間模式的ERI有相對(duì)較大的差別,其中,{|1〉,|2〉}與{|3〉,|4〉}兩組的ERI差為0.5×10-6、{|3〉,|4〉}與{|5〉,|6〉}兩組的ERI差為0.5×10-6、{|1〉,|2〉}與{|5〉,|6〉}兩組的ERI差為0.7×10-6。

基于上述參數(shù)條件,可以得到六模光纖中的密度矩陣樣本集合、模式色散矩陣及其頻率導(dǎo)數(shù)的樣本集合

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3.1 光場(chǎng)能量分布及相干性

圖1 不同初態(tài)下光場(chǎng)的能量分布和相干性隨傳輸距離(z-z0)的變化曲線(xiàn)。自上而下分別對(duì)應(yīng)3個(gè)初態(tài)左右兩列分別對(duì)應(yīng)組內(nèi)尺度lintra和組間尺度linter下的變化曲線(xiàn)。

通過(guò)以上分析可知,組內(nèi)、組間的能量耦合會(huì)發(fā)生在不同的尺度下,這是因?yàn)榫哂邢嗤珽RI的組內(nèi)模式耦合比具有不同ERI的組間模式耦合強(qiáng)得多,在以往的研究中通常會(huì)根據(jù)能量耦合強(qiáng)度對(duì)模式信號(hào)采用分組處理的方式[13,21],這在能量耦合和相干性變化發(fā)生在相同的傳播尺度下是合適的,然而,如上所述,在我們所研究的系統(tǒng)中,隨機(jī)微擾會(huì)導(dǎo)致所有模式間(包括組內(nèi)和組間)的相干性Cjj′均在較短(小于2LC)的尺度下迅速衰減為0,此時(shí),需要同時(shí)考慮光場(chǎng)中的能量耦合強(qiáng)度與相干性變化以作全局處理,根據(jù)所有模式的耦合與色散統(tǒng)計(jì)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的恢復(fù)補(bǔ)償。

3.2 模式色散的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

光纖的模式色散會(huì)使得光脈沖在傳輸過(guò)程中發(fā)生展寬和變形,從而影響光信號(hào)的傳輸質(zhì)量。本節(jié)將對(duì)模式色散的變化規(guī)律進(jìn)行研究,并分析脈沖展寬、模式主態(tài)、差分群時(shí)延及相關(guān)物理量的統(tǒng)計(jì)特性。

圖2 不同初態(tài)下脈沖展寬隨傳輸距離的變化曲線(xiàn)。注:1st、2nd、3rd、4th、5th、6th分別對(duì)應(yīng)六個(gè)初態(tài)(|1〉+|2〉)(〈1|+〈2|)/2、(|1〉+|3〉)(〈1|+〈3|)/2,(|1〉+|5〉)(〈1|+〈5|)/2、(|3〉+|4〉)(〈3|+〈4|)/2、(|3〉+|5〉)(〈3|+〈5|)/2。

圖3給出了6模光纖中最大群時(shí)延差Δτmax及其一階頻率導(dǎo)數(shù)Δτmax,ω和主態(tài)變化趨勢(shì)TP的概率密度函數(shù)(Probability Density Function,PDF)的數(shù)值模擬結(jié)果(條形圖部分)。由圖可見(jiàn),Δτmax、Δτmax,ω和TP分別分布在2 100 ps,0ps2和3×106ps2周?chē)?且分布寬度分別為400 ps、2×105ps2和2×106ps2左右。由于|Δτω|遠(yuǎn)小于Tp,因此統(tǒng)計(jì)上TP和Δτmax,ω分別是二階模式色散的大、小分量,這與偏振模色散中的對(duì)應(yīng)物理量(二階PMD的平行與垂直分量)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)[17]類(lèi)似。同時(shí),通過(guò)數(shù)值擬合發(fā)現(xiàn),六?？臻g中Δτmax、Δτmax,ω和TP的概率分布能夠由修正的偏振模色散公式來(lái)描述

PDF: Probability Density Function 概率密度函數(shù)圖3 概率密度函數(shù)圖:(a) 最大群時(shí)延差Δτmax;(b) 最大群時(shí)延差一階頻率導(dǎo)數(shù)Δτmax,ω;(c) 主態(tài)變化趨勢(shì)TP

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多模光纖中,除了最大群時(shí)延差Δτmax,各個(gè)主態(tài)之間的群時(shí)延差也會(huì)影響脈沖的展寬。圖4(a)～(e)給出了相鄰主態(tài)(主態(tài)按群時(shí)延由大到小順序排列)間群時(shí)延差Δτj j+1=τpj-τpj+1的概率密度函數(shù)的數(shù)值模擬結(jié)果(條形圖部分)。與Δτmax一樣,Δτj j+1的概率分布也能夠用公式(32)進(jìn)行擬合,如圖(a)～(e)中的實(shí)線(xiàn)部分所示,每個(gè)圖中所取的α1、α2和τ0值見(jiàn)表1。圖4(f)給出了所有主態(tài)群時(shí)延τpj的概率密度函數(shù)(以模式平均群時(shí)延為原點(diǎn)),可以看到,盡管理想光纖中只有三種群時(shí)延(對(duì)應(yīng)于三個(gè)ERI值),但光纖受到隨機(jī)擾動(dòng)后,原本具有相同ERI的模式會(huì)解除簡(jiǎn)并,由此形成按原點(diǎn)呈中心對(duì)稱(chēng)分布的六個(gè)不同的群時(shí)延。

表1 α1,α2,τ0的取值

PDF: Probability Density Function 概率密度函數(shù)圖4 概率密度函數(shù)圖:(a)～(e) 相鄰主態(tài)群時(shí)延差 Δτj j+1;(f) 所有主態(tài)群時(shí)延τpj

最后,我們計(jì)算了典型的光纖通信波段1 548 nm ～ 1 553 nm內(nèi)不同波長(zhǎng)處的Δτmax、Δτmax,ω和TP,并將結(jié)果示于圖5。由圖可見(jiàn),Δτmax、Δτmax,ω和TP隨波長(zhǎng)做很不規(guī)則的變化,變化范圍分別約為1 608 ～2 334 ps、-1.63×105～1.36×105ps2、1.70×106～4.43×106ps2,并與圖3中的概率密度函數(shù)所給出的范圍大致相符。這實(shí)際上反映了以上物理量在波長(zhǎng)上的各態(tài)歷經(jīng)性,因此,在分析模式色散的統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí),既可以取不同時(shí)刻的數(shù)據(jù)樣本,也可以取同一時(shí)刻不同波長(zhǎng)的數(shù)據(jù)樣本,通常,后者描述的測(cè)量方式會(huì)更為簡(jiǎn)單和方便。

圖5 (a) Δτmax 隨波長(zhǎng)的變化曲線(xiàn);(b) Δτmax,ω隨波長(zhǎng)的變化曲線(xiàn);(c) TP隨波長(zhǎng)的變化曲線(xiàn)

4 結(jié)論

本文將基于密度矩陣?yán)碚摰哪Ｊ今詈吓c模式色散的統(tǒng)計(jì)模型應(yīng)用于六模光纖,借助數(shù)值模擬對(duì)受隨機(jī)擾動(dòng)的光纖中由模式耦合引起的光場(chǎng)能量分布和相干性變化的規(guī)律、模式色散對(duì)光脈沖展寬的影響、以及與一階和二階模式色散相關(guān)的各物理量的統(tǒng)計(jì)分布等進(jìn)行了研究。光場(chǎng)能量和相干性的研究結(jié)果表明,光纖的隨機(jī)擾動(dòng)會(huì)造成光場(chǎng)在不同模式之間的相干性于很短的傳輸距離內(nèi)迅速衰減為零,因此在相干光通信系統(tǒng)中進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理時(shí),不能僅依據(jù)模式間的能量耦合強(qiáng)度對(duì)模式進(jìn)行分組,還必須計(jì)及模式間相干性的變化;利用密度算符和模式色散算符,計(jì)算給出了輸入信號(hào)所包含的模式組合與輸出信號(hào)脈沖展寬之間的定量關(guān)系,并通過(guò)分析模式主態(tài)、相應(yīng)的差分群時(shí)延以及它們隨頻率變化的統(tǒng)計(jì)性質(zhì),發(fā)現(xiàn)六模光纖的一階和二階模式色散的概率分布能夠用修正的偏振模色散公式加以描述,這些結(jié)果為多模光纖中模式色散的研究提供了有效的分析途徑;最后對(duì)同一統(tǒng)計(jì)樣本下,典型的光纖通信波段1 548～1 553 nm內(nèi)的模式色散性質(zhì)進(jìn)行了模擬分析,驗(yàn)證了模式色散在波長(zhǎng)上的各態(tài)歷經(jīng)性,為模式色散的測(cè)量提供了一種等效且更加簡(jiǎn)單的方式。本文的工作為模分復(fù)用光信號(hào)的性能恢復(fù)提供理論依據(jù),并有效推動(dòng)模分復(fù)用技術(shù)的實(shí)用化進(jìn)程。