走進直觀想象下的高考圖象試題
——以2022、2023高考試題為例

王慧嫻

(江蘇省啟東市東南中學,江蘇 啟東 226200)

《普通高中數學課程標準(2017版2022修訂)》中提出數學是研究數量關系和空間形式的一門科學.其學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現,數學學科核心素養(yǎng)包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數學分析[1].下面將結合近兩年的高考圖象試題,梳理下直觀想象對圖象試題解題的作用.

1 案例展示

直觀想象是指通過觀察和感知來理解和解釋數學概念、定理、圖象和公式的過程.圖象是高中數學重要內容之一,其優(yōu)點是借助圖象的幾何直觀性來闡明與數之間某種關系.這類題目在高考中層出不窮,其考查多以應用為主,主要體現在數形結合上.考查方式多以小題出現,重在培養(yǎng)考生借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化.

1.1 直觀想象下的識圖

在直觀想象下,識圖是指通過觀察和理解圖象內容來識別物體、場景或概念的能力.這種能力是我們大腦中視覺皮層的功能,使我們能夠將視覺信息轉化為有意義的認知.高考中的圖象試題主要表現是建立形與數的聯(lián)系,利用給出圖形結合題目中的信息解決問題.那么讀懂圖象就是解決問題的關鍵.

圖1 例1函數圖象

圖2 例2函數圖象

圖3 圓與拋物線示意圖

通過上面的題目我們可以發(fā)現,識圖可從以下四個方面入手:(1)預處理——函數的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數的值域,判斷圖象的上下位置;通過定義域、值域也就是確定了函數圖象的大致框架.(2)特征提取——函數的單調性,判斷圖象的變化趨勢.通過函數的單調性確定圖象的發(fā)展走向.(3)模式匹配——函數的奇偶性,判斷圖象的對稱性.即通過函數的奇偶性確定圖象的整體性.(4)語義推理——函數的特征點,排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項.

教師在教學中應注重培養(yǎng)學生的圖形感知能力和空間想象能力,讓學生能夠快速準確地識別各種圖形的特征和屬性.具體而言,可以通過以下幾個方面來培養(yǎng)學生的識圖能力:(1)強化基本圖形知識的掌握.學生需要掌握各種基本圖形的定義、性質和特征,如點、線、面、角、圓等.只有掌握了這些基本圖形,才能更好地進行后續(xù)的圖形辨認和處理.(2)加強圖形變換的訓練.學生需要熟悉各種圖形的變換方式,如平移、旋轉、縮放等,并能夠靈活運用這些變換方式來解決問題.(3)培養(yǎng)觀察力和想象力.學生需要具備較強的觀察力和想象力,能夠通過觀察和想象來識別和處理各種圖形.

1.2 直觀想象下的用圖

直觀想象是發(fā)現和提出問題、分析和解決問題的重要手段,因此在解題中我們要學會用圖.用圖,就是在解題過程中,根據題目的內容,畫出圖形,幫助考生直觀認識問題,使抽象的問題具體化,復雜的問題簡單化.

例3(2023·天津)過原點的一條直線與圓C:(x+2)2+y2=3相切,交曲線y2=2px(p>0)于點P,若|OP|=8,則p的值為6.

例4(2023·上海卷)空間中三個點A、B、C滿足AB=BC=CA=1,在空間中任取2個不同的點,使得它們與A、B、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點,則不同的取法有種.

例5(2023·新課標全國I卷)已知函數f(x)=cosωx-1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個零點,則ω的取值范圍是.

通過上面的題目我們可以發(fā)現,在解題過程中,數形結合是用圖的重要體現.數形結合是一種非常重要的策略,這種策略的核心理念是將抽象的數學概念和具體的圖形形象相結合,以便更好地理解和解決問題.通過將問題轉化為圖形,我們可以直觀地觀察和分析問題的性質,從而找到解決問題的關鍵所在.同時,我們還可以通過繪制圖形來展示解決方案,使得解題過程更加清晰和易于理解.

教師在教學中應注重培養(yǎng)學生的圖形運用能力和問題解決能力,讓學生能夠在實際問題中靈活運用所學的知識.具體而言,可以通過以下幾個方面來培養(yǎng)學生的用圖能力:(1)強化圖形與數量關系的聯(lián)系.學生需要了解各種圖形與數量之間的關系,如面積、周長、體積等,并能夠將這些關系應用到實際問題中.(2)加強圖形與函數關系的聯(lián)系.學生需要了解各種圖形與函數之間的關系,如直線方程、曲線方程等,并能夠將這些關系應用到實際問題中.(3)培養(yǎng)綜合運用能力.學生需要具備較強的綜合運用能力,能夠將所學的各種知識有機地結合起來,解決復雜的實際問題.

1.3 直觀想象下的譯圖

利用圖形表述、分析數學問題,建立形與數的聯(lián)系.譯圖,就是根據給出圖象,要求考生根據圖形讀出解決問題所需要的信息,使問題得到解決.

例6(2023·天津)函數f(x)的圖象如圖4所示,則f(x)的解析式可能為( ).

圖4 函數f(x)的圖象

圖5 函數f(x)=sin(ωx+φ)的圖象

通過上面的題目我們可以發(fā)現,譯圖,即圖形的翻譯,是將一個幾何圖形表示的內容解讀出來.總之,直觀想象在高中數學中具有重要作用,它可以幫助學生更好地理解和掌握譯圖這一概念,提高學生的解題能力和創(chuàng)新能力.

教師在教學中應注重培養(yǎng)學生的圖形表達能力和文字描述能力,讓學生能夠清晰準確地表達自己的思路和解題過程.具體而言,可以通過以下幾個方面來培養(yǎng)學生的譯圖能力:(1)強化圖形語言的應用.學生需要熟練掌握各種圖形語言的表達方式,如幾何語言、向量語言等,并能夠將其應用到實際問題的解決過程中.(2)加強文字描述的能力.學生需要具備較強的文字描述能力,能夠清晰準確地描述自己的思路和解題過程.(3)培養(yǎng)邏輯思維能力.學生需要具備較強的邏輯思維能力,能夠理清思路、分析問題、推導結論,并能夠用簡潔明了的語言表達出來.

2 總結

高考圖象試題為我們的教學提供了豐富的啟示.這些試題不僅僅是對學生圖象知識的檢驗,更是對我們教學方法和策略的反思.首先,它們強調了圖象在高中數學教學中的重要性.圖象是數學的一種直觀表達方式,它能夠幫助學生更好地理解抽象的概念和復雜的問題.因此,教師應該重視圖象的教學,將圖象融入到課堂教學中,使學生在實踐中掌握圖象的知識.其次,高考圖象試題要求學生具備較強的空間想象能力和幾何直覺.這就要求我們在教學過程中注重培養(yǎng)學生的空間觀念和幾何思維能力.教師可以通過設計一些富有創(chuàng)意和趣味性的課堂活動,激發(fā)學生的學習興趣,提高他們的空間想象和幾何直覺.此外,高考圖象試題還關注學生的綜合運用能力.這意味著我們在教學過程中不僅要教授圖象知識,還要引導學生學會將圖象知識與其他知識相互聯(lián)系,形成系統(tǒng)的知識體系.教師可以通過組織學生進行小組討論、合作研究等活動,培養(yǎng)學生的綜合運用能力.最后,高考圖象試題還提醒我們關注學生的個體差異.每個學生的學習能力和興趣都有所不同,因此在教學過程中,我們應該關注每個學生的特點,因材施教,幫助他們找到適合自己的學習方法和策略.同時,教師還應該關注學生的心理健康,給予他們充分的關愛和支持,幫助他們建立自信,克服學習中的困難和挑戰(zhàn).

總之,高考圖象試題為我們的教學提供了寶貴的啟示.我們應該從中汲取經驗教訓,不斷改進和完善教學方法和策略,為培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和實踐能力的高素質人才作出貢獻.