求軌跡方程常用的方法

南廣明

(甘肅省康縣第一中學(xué),甘肅 隴南 746500)

所謂求軌跡方程就是尋求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系式. 解答這類題的關(guān)鍵是分析形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)和已知條件的內(nèi)在聯(lián)系,利用題設(shè)中的幾何條件,用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系,選擇最便于反映這種聯(lián)系的形式,建立等式.

1 直接法

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后,設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x,y),根據(jù)幾何條件尋求x,y之間的關(guān)系式,此法稱為直接法.

例1設(shè)A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離的比為定值a(a>0),求點(diǎn)P的軌跡.

化簡(jiǎn),得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0.

當(dāng)a=1時(shí),化簡(jiǎn)得x=0.

點(diǎn)評(píng)用直接法求出軌跡方程后,如果方程中有參數(shù),要注意對(duì)參數(shù)的討論,看其是否滿足某種曲線對(duì)方程的特定要求.“軌跡”和“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念,求軌跡方程只需要求出方程即可,而求軌跡則應(yīng)先求出軌跡方程,再說(shuō)明軌跡的形狀.若題設(shè)條件有明顯的等量關(guān)系,或者可運(yùn)用平面幾何的知識(shí)推導(dǎo)出等量關(guān)系,則可以通過(guò)“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)”五個(gè)步驟直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡.

2 定義法

如果所給幾何條件正好符合已學(xué)曲線(例如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義,則可直接利用這些已知曲線的方程寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,此法稱為定義法.

例2 已知三點(diǎn)A(-7,0),B(7,0),C(2,-12),橢圓過(guò)A、B兩點(diǎn)且以C為其中一個(gè)焦點(diǎn),求此橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡方程.

分析解答本題可先根據(jù)橢圓的第一定義,再考慮另一個(gè)焦點(diǎn)的幾何特征即可解決.

解析設(shè)另一個(gè)焦點(diǎn)為M(x,y),則根據(jù)橢圓的定義,有|AC|+|AM|=|BC|+|BM|.

所以|MB|-|MA|=|AC|-|BC|=2.

又|AB|=14>2,所以|MB|-|MA|<|AB|,即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為中心,A,B為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的左支.

點(diǎn)評(píng)求曲線的軌跡方程時(shí),盡可能地利用幾何條件探究軌跡的曲線類型,從而再利用待定系數(shù)法求出軌跡的方程,這樣可以減少運(yùn)算量,提高解題的速度與質(zhì)量.在用雙曲線的定義時(shí),應(yīng)特別注意定義中的條件“差的絕對(duì)值”,弄清所求軌跡是整條雙曲線還是雙曲線的一支,若是一支,則是哪一支?以確保軌跡的純粹性和完備性.

3 參數(shù)法

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不容易直接找到,也沒(méi)有相關(guān)信息可用時(shí),可考慮將x,y均用中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù),得到動(dòng)點(diǎn)軌跡的普通方程,此法稱為參數(shù)法.

分析設(shè)G(x,y),∠AOB=θ,首先表示B,C兩點(diǎn)坐標(biāo),再利用重心坐標(biāo)公式列參數(shù)方程,消去θ即得點(diǎn)G的軌跡方程.

由重心的坐標(biāo)公式,得點(diǎn)G的坐標(biāo)為

故所求的軌跡方程為

點(diǎn)評(píng)本題是與角有關(guān)的軌跡問(wèn)題,顯然可以用參數(shù)法來(lái)求解,在引入?yún)?shù)時(shí)要考慮參數(shù)的取值范圍.

4 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)

利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系,把所求動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)換為已知?jiǎng)狱c(diǎn).具體地說(shuō),就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo),并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足的曲線方程,由此可求得動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系,此法稱為代入法.

例4 從雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線l:x+y=2的垂線,垂足為點(diǎn)N,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.

分析設(shè)P(x,y),因?yàn)镻是QN的中點(diǎn),為此需用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后代入雙曲線方程即可.

解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0).因?yàn)辄c(diǎn)P是線段QN的中點(diǎn),所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2x-x0,2y-y0).

又點(diǎn)N在直線x+y=2上,

所以2x-x0+2y-y0=2.

即x0+y0=2x+2y-2.

①

即x0-y0=x-y.

②

由①②,得

又因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線上,

所以線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程為

點(diǎn)評(píng)本題中動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q相關(guān),而點(diǎn)Q的軌跡確定,故解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出P,Q兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系,用相關(guān)點(diǎn)法求解.

5 交軌法

在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到求兩動(dòng)曲線的交點(diǎn)的軌跡方程問(wèn)題,我們先列出兩動(dòng)曲線的方程,再設(shè)法消去曲線中的參數(shù)即可得到交點(diǎn)的軌跡方程,此法稱為交軌法.

分析與y軸平行的直線設(shè)為x=x1,點(diǎn)P和P′的縱坐標(biāo)設(shè)為y1和-y1,寫出直線AP和A′P′的方程,可以求其交點(diǎn),再利用點(diǎn)(x1,y1)在橢圓上,消去x1,y1即可得到軌跡方程.

①

當(dāng)x1≠±2時(shí),直線AP和A′P′的方程分別為

②

③

因?yàn)榻稽c(diǎn)Q滿足②③,由②×③得

④

⑤

當(dāng)x1=±2時(shí),y=0,滿足⑤,

點(diǎn)評(píng)本題是用交軌法求得軌跡方程的.如果所求軌跡是由兩條動(dòng)曲線(包括直線)的交點(diǎn)所得,其一般解法是恰當(dāng)?shù)匾M(jìn)一個(gè)參數(shù),寫出兩條動(dòng)曲線的方程,消去參數(shù),即得所求的軌跡方程.

6 幾何法

根據(jù)曲線的某些顯著的幾何特征和性質(zhì),通過(guò)推理列出等式求出軌跡方程,這種求軌跡的方法叫做幾何法.

分析利用三角形外心的性質(zhì)及含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解.

點(diǎn)評(píng)借助于平面幾何的有關(guān)定理、性質(zhì)等,從而分析出其數(shù)量關(guān)系,這種借助幾何定理的方法是求動(dòng)點(diǎn)軌跡的重要方法.

7 待定系數(shù)法

凡是已知曲線類型,只需利用已知條件,求出曲線方程中的待定系數(shù)就可以求出曲線方程,這種求軌跡的方法叫做待定系數(shù)法.

例7 已知圓C在x軸上的一個(gè)截距為-2,在y軸上的截距為1和3,求圓C的方程.

點(diǎn)評(píng)求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出所求圓過(guò)三點(diǎn)的坐標(biāo).

8 設(shè)而不求法

求弦的中點(diǎn)的軌跡方程,常常運(yùn)用“設(shè)而不求”的技巧,通過(guò)中點(diǎn)坐標(biāo)及斜率的代換,達(dá)到求出軌跡方程的目的[1],這種求軌跡方程的方法叫做設(shè)而不求法,也稱做“平方差法”“點(diǎn)差法”“差分法”等.

分析利用弦的兩端點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)在已知的二次曲線上,將P,Q的坐標(biāo)代入方程,然后相減,利用平方差公式可得含x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的關(guān)系式,再利用其他條件代入整理即可得到軌跡方程.

兩式相減,得

又因?yàn)閤1+x2=4,y1+y2=2,

即18x+25y-61=0.

點(diǎn)評(píng)設(shè)而不求法求軌跡方程的步驟:(1)設(shè)點(diǎn);(2)代入;(3)相減;(4)求解.運(yùn)用此法要注意限制軌跡方程中變量可能的取值范圍.