乘法，真的是加法嗎？

【摘 ? 要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算。”通過(guò)語(yǔ)義分析和歷史考察發(fā)現(xiàn)，像這樣用加法定義乘法是一種偶然，而且并不準(zhǔn)確。除“加法說(shuō)”外，關(guān)于乘法的定義還有“比例說(shuō)”，據(jù)此可提取出乘法運(yùn)算與加法運(yùn)算不同的本質(zhì)屬性，至少包括“以數(shù)生數(shù)、相得乃生和構(gòu)成比例”。由此得出結(jié)論：乘法并非加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，其意義在數(shù)學(xué)課程中是不斷進(jìn)化與拓展的，因此學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程應(yīng)當(dāng)是提升與修正的概念轉(zhuǎn)變過(guò)程，而不是通過(guò)還原為加法，把“多元的意義變?yōu)閱我弧保选岸鄻拥乃惴ㄗ優(yōu)橐粯印?，更不?yīng)讓學(xué)生形成“所有乘法都要還原成加法”以及“所有數(shù)的乘法都一樣”的誤解。

【關(guān)鍵詞】乘法；加法；比例；一致性

小學(xué)數(shù)學(xué)課程通常用加法定義乘法，把乘法運(yùn)算視為相同加數(shù)求和，是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算，這不妨稱作乘法定義的“加法說(shuō)”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）在第一學(xué)段的“學(xué)業(yè)要求”和“教學(xué)提示”中要求學(xué)生描述并理解“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，默認(rèn)了“乘法是加法”的判斷為真命題。然而，通過(guò)語(yǔ)義分析和歷史考察，發(fā)現(xiàn)事實(shí)并非如此。

一、語(yǔ)義分析

“乘法是加法”的表述屬于“A是B ”的句式，當(dāng)A與B分別表示同類事物、事件和人時(shí)，二者的關(guān)系主要有兩種：“同一關(guān)系”和“包含—被包含關(guān)系”。［1］乘法和加法同屬運(yùn)算類，并不符合這樣的語(yǔ)義關(guān)系。

“同一關(guān)系”指的是兩個(gè)不同的名稱所指的是同一對(duì)象或同樣意義。如“中國(guó)的首都是北京”，“中國(guó)的首都（A）”與“北京（B）”是同一城市的兩個(gè)不同名稱，所指對(duì)象和意義相同。此時(shí)主語(yǔ)A與賓語(yǔ)B具有順序的可交換性，“A是B ”與“B是A”具有相同的意義，“中國(guó)的首都是北京”與“北京是中國(guó)的首都”意義相同。數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中類似的例子很多，如“下午3點(diǎn)是15點(diǎn)”。乘法與加法兩種運(yùn)算顯然不是這樣的同一關(guān)系，即乘法不等于加法。

“包含—被包含關(guān)系”指的是將賓語(yǔ)B所指對(duì)象視為一個(gè)集合（屬概念），主語(yǔ)A所指對(duì)象是賓語(yǔ)B中的元素或子集（種概念），所以也叫種屬關(guān)系。如“我們是教師”，“教師（B）”是一個(gè)職業(yè)名稱，是包含很多人的集合，“我們（A）”是被包含于或?qū)儆谶@個(gè)集合的元素或子集。此時(shí)，“A是B ”中的主語(yǔ)和賓語(yǔ)不具有順序的可交換性，也即不能說(shuō)“教師是我們”。正如數(shù)學(xué)中可以說(shuō)“2是質(zhì)數(shù)”，但不能說(shuō)“質(zhì)數(shù)是2”；可以說(shuō)“正方形是長(zhǎng)方形”，但不能說(shuō)“長(zhǎng)方形是正方形”。乘法與加法當(dāng)然也不是這樣的種屬關(guān)系，即乘法不屬于加法。

無(wú)論是同一關(guān)系還是種屬關(guān)系，如果“A是B ”為真，就意味著A要具備B的全部屬性，即“如果是A則是B ”與其逆否命題“如果非B則非A”需要同時(shí)為真。比如，如果“我們是教師”為真，那么“我們”中的任何成員都一定是教師；反之，不是教師的人一定不是“我們”中的成員。再如，因?yàn)椤?是質(zhì)數(shù)”為真，所以不是質(zhì)數(shù)的數(shù)一定不是2。

對(duì)于乘法與加法兩個(gè)運(yùn)算，如果說(shuō)“乘法是加法”為真，就意味著每一個(gè)乘法運(yùn)算應(yīng)當(dāng)具有加法運(yùn)算的全部屬性，即“如果是乘則是加”與“如果非加則非乘”同時(shí)為真。從算法的角度看，這樣的判斷適用于整數(shù)（自然數(shù)），如乘法算式“2×3”等價(jià)于加法算式“2+2+2”或“3+3”。但類似于“0.2×0.3”以及“[23]×[34]”這樣的小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法，就會(huì)呈現(xiàn)出“乘法未必是加法”的特征。

二、矛盾的出現(xiàn)

如果乘法在整數(shù)范圍內(nèi)是加法，在分?jǐn)?shù)或小數(shù)范圍內(nèi)又不是加法，就出現(xiàn)了“乘法既是加法，又不是加法”的現(xiàn)象。形式邏輯中的“無(wú)矛盾律”要求兩個(gè)相互對(duì)立的判斷在同一系統(tǒng)中不能同時(shí)為真。如果把小學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)視為一個(gè)數(shù)的系統(tǒng)，那么“乘法是加法”與“乘法非加法”同時(shí)為真，就成了邏輯意義的自相矛盾，即乘法運(yùn)算在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中呈現(xiàn)出違背“一致性（consistency）”的“非一致性（inconsistency）”現(xiàn)象，因而成為學(xué)生認(rèn)知上的障礙。

這樣的問(wèn)題實(shí)際是源于乘法運(yùn)算的意義進(jìn)化。隨著學(xué)段的升高，數(shù)學(xué)課程中數(shù)的范圍不斷拓展，乘法運(yùn)算的意義自然也會(huì)隨之變化和延伸。鞏子坤等認(rèn)為：“從運(yùn)算意義的角度而言，所有運(yùn)算都可以還原成加法，加法是所有運(yùn)算的基礎(chǔ)。”［2］并將這一判斷應(yīng)用于整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)乘法運(yùn)算的一致性上，具體做法是利用所謂的“計(jì)數(shù)單位”［3-4］，將分?jǐn)?shù)和小數(shù)這樣的“非整數(shù)”還原為整數(shù)，將分?jǐn)?shù)與小數(shù)“非加法”的乘法運(yùn)算還原為加法。趙莉等將乘法運(yùn)算的一致性表述為：計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位相乘，計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)與計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)相乘。［5］125如小數(shù)乘法“0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06”和分?jǐn)?shù)乘法“[23]×[34]=（2×[13]）×（3×[14]）=（2×3）×（[13]×[14]）=6×[112]=[612]=[12]”的運(yùn)算。她還將這樣的內(nèi)容用在六年級(jí)總復(fù)習(xí)教學(xué)中，并將教學(xué)效果表述為：“非常值得高興的是，課堂上幾乎所有的學(xué)生都恍然大悟，原來(lái)整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的運(yùn)算都是一樣的?！保?］127 然而，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)極易讓學(xué)生形成“所有數(shù)的乘法都一樣”的思維經(jīng)驗(yàn)。試想，如果六年級(jí)學(xué)生形成了“所有數(shù)的乘法都一樣”的認(rèn)識(shí)，他們進(jìn)入中學(xué)面對(duì)諸如[2×3]這樣的無(wú)理數(shù)乘法時(shí)，該如何將其還原為加法進(jìn)行認(rèn)識(shí)與理解呢？

像這樣將“非整數(shù)還原為整數(shù)，非加法還原為加法”的做法，是把“多樣的算法”變?yōu)椤耙粯拥淖龇ā?，僅是對(duì)小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的程序操作和正確性的解釋，具有類似于計(jì)算機(jī)程序的特征，局限于符號(hào)運(yùn)算的程序性和正確性，并未呈現(xiàn)出乘法運(yùn)算的實(shí)際意義和本質(zhì)屬性，而且由此形成的思維定勢(shì)，會(huì)對(duì)今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生加法“固著（fixation）”的負(fù)面影響。

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究中對(duì)“乘法是加法”的質(zhì)疑和反對(duì)的聲音很多。美國(guó)著名哲學(xué)家、教育家約翰·杜威（John Dewey）等早在19世紀(jì)出版的《數(shù)的心理學(xué)》中就明確指出：“如果有人堅(jiān)持說(shuō)乘法是加法，就請(qǐng)他用加法說(shuō)明為什么[2×3=6]?！保?］美國(guó)20世紀(jì)著名心理學(xué)家愛(ài)德華·李·桑代克（Edward Lee Thorndike，1874—1949），在1922年出版的《算術(shù)心理學(xué)》中說(shuō)：“研究表明，乘法源于計(jì)數(shù)（counting），而不是像許多教科書所說(shuō)的，乘法源于加法?！保?］

杜威與桑代克是從心理學(xué)研究的角度證明乘法與加法的思維過(guò)程和方式是不同的。美國(guó)哈佛大學(xué)的凱斯·德芙林（Keith Devlin）則于2008年發(fā)文，從數(shù)學(xué)專業(yè)的視角反對(duì)乘法定義的“加法說(shuō)”，并強(qiáng)烈呼吁停止用加法定義乘法。［8］加拿大卡爾加里大學(xué)研究數(shù)學(xué)教育的布倫特·戴維斯（Brent Davis），于2011年在美國(guó)《科學(xué)》雜志中刊文指出，“乘法是加法”只在小學(xué)低年級(jí)適用，稍高年級(jí)就會(huì)發(fā)生變化，并用實(shí)例提出質(zhì)疑：

l 圓的直徑[d]與圓周率[π]相乘等于圓周長(zhǎng)：[π×d]怎么是加法呢？

l 負(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算：（-1）×（-1）= +1怎么是加法呢？［9］

事實(shí)上，諸如此類都是“乘法是加法”這一命題的反例。著名數(shù)學(xué)哲學(xué)家馬克·斯坦納（Mark Steiner，1942—2020）把“加法說(shuō)”的乘法定義稱為“偽定義（pseudo definition）”，它混淆了乘法的“應(yīng)用（application）”與乘法的“定義（definition）”。［10］也就是說(shuō)，相同加數(shù)求和可以用乘法僅是乘法的一個(gè)應(yīng)用，并不意味著“乘法是加法”這一命題為真。由此看來(lái)，從語(yǔ)義、思維、數(shù)學(xué)和邏輯等方面看，“乘法是加法”和“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”的說(shuō)法都缺乏依據(jù)，至少是不準(zhǔn)確的表述，試圖用其解決乘法運(yùn)算的一致性問(wèn)題自然是不可能實(shí)現(xiàn)的，因此需要從歷史的視角進(jìn)一步考察：

l 乘法定義的“加法說(shuō)”是如何形成與發(fā)展的？

l 乘法運(yùn)算的實(shí)際意義和本質(zhì)屬性究竟是什么？

三、歷史考察

（一）加法說(shuō)

不可否認(rèn)，乘法定義的“加法說(shuō)”是有歷史傳承的，古今中外普遍存在。我國(guó)歷史上最為經(jīng)典的是清代數(shù)學(xué)家焦循（1763—1820）在《加減乘除釋》第三卷中的說(shuō)法：“乘以馭加之繁，除以馭減之繁?！保?1］英國(guó)19世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家?jiàn)W古斯丁·德·摩根（Augustus de Morgan，1806—1871）所著的《算術(shù)原本》中也有類似的表述。［12］

究其根源，這樣的認(rèn)識(shí)源于古希臘歐幾里得《幾何原本》的第一個(gè)英譯本，出版時(shí)間為1570年，譯者是曾任英國(guó)倫敦市長(zhǎng)的亨利·比林斯利（Henry Billingsley，1538—1606），他將希臘原文定義中的“συντεθ”譯為英文的“自身相加（added to itself）”。［13］后人經(jīng)考證，發(fā)現(xiàn)這是誤譯，希臘原文的本義是幾何圖形“放在一起（placed together）”（如圖1）。況且《幾何原本》中的乘法定義出現(xiàn)于第7卷，之前的6卷中從未出現(xiàn)過(guò)加法概念及其定義，按照《幾何原本》嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理風(fēng)格，不可能用未定義的加法定義乘法。［14］

比林斯利翻譯的《幾何原本》英譯本廣為流傳，使“乘法是加法”的說(shuō)法影響廣泛，后續(xù)許多《幾何原本》的英譯本都沿襲了比林斯利英譯本的表述，自然也影響到了《幾何原本》的中文譯本。蘭紀(jì)正等依據(jù)20世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的希思（Thomas Little Heath，1861—1940）英譯評(píng)注本所翻譯的中譯本中，將乘法定義表述為：“所謂一個(gè)數(shù)乘一個(gè)數(shù)，就是被乘數(shù)自身相加多少次而得出的某數(shù)，這相加的個(gè)數(shù)是另一數(shù)中單位的個(gè)數(shù)?！保?5］這樣的表述與比林斯利英譯本中的表述意義一致。由此看來(lái)，乘法定義的“加法說(shuō)”是一種歷史的偶然，而非必然。

（二）比例說(shuō)

進(jìn)一步考察發(fā)現(xiàn)，歷史上對(duì)乘法還有一種“以數(shù)生數(shù)”的定義。［16］17世紀(jì)英國(guó)藝術(shù)家、詩(shī)人愛(ài)德華·柯克爾（Edward Cocker，1631—1676）所著的《柯克爾算術(shù)（Cocker Arithmetick）》［17］在當(dāng)時(shí)的歐洲影響廣泛，書中對(duì)乘法的定義為：“乘法是從兩個(gè)數(shù)生成①第三個(gè)數(shù)的運(yùn)算，生成的第三個(gè)數(shù)與其中一個(gè)數(shù)的比，等于另一個(gè)數(shù)與單位的比?！保?8］用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述為：[a×b=c]是由[a和b]生成[c]的運(yùn)算，生成的[c]與[a和b]的關(guān)系為：[c：a=b：1]或[c：b=a：1]。17世紀(jì)偉大的科學(xué)家、數(shù)學(xué)家牛頓所著的《通用算術(shù)（Universal Arithmetic）》中對(duì)乘法意義的表述與此類似。［19］

這樣的認(rèn)識(shí)與“加法說(shuō)”不同，是將乘法運(yùn)算看作“以數(shù)生數(shù)”的過(guò)程，生與被生的數(shù)構(gòu)成比例關(guān)系，因此這樣的乘法定義可以叫作“比例說(shuō)”。按照美國(guó)著名數(shù)學(xué)史學(xué)家大衛(wèi)·史密斯（David Eugene Smith，1860—1944）的考證，乘法定義的“比例說(shuō)”源于東方的印度，在歐洲首次出現(xiàn)于1300年出版的用拉丁文介紹印度十進(jìn)制記數(shù)與計(jì)算的小冊(cè)子《十進(jìn)制的技術(shù)（The Crafte of Nombrynge）》中。［20］

我國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭（1811—1882）與英國(guó)傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie，1815—1887）合作翻譯的《幾何原本》第7卷中，也是用“比例說(shuō)”定義乘法的：“甲乘乙既生丙，則乙度丙得若干，與甲中之若干一等?！保?1］其中的“度”就是“比”的意思，即甲乘乙生成丙，乙與丙的比等于甲與一的比。李善蘭與偉烈亞力在譯本中沒(méi)有具體指明譯文依據(jù)的底本，但從乘法定義的表述看，與比林斯利的英譯本明顯不同。

利用“以數(shù)生數(shù)”表達(dá)乘法在我國(guó)歷史上屢見(jiàn)不鮮。清代數(shù)學(xué)家梅文鼎（1633—1721）所著《筆算》中對(duì)乘法的定義為：“以數(shù)生數(shù)，是之謂乘，數(shù)不能自生，相得乃生，故乘亦曰因。生則不窮，故乘有升義，生則曰積，故乘有載義?！保?2］偉烈亞力在所著《數(shù)學(xué)啟蒙》中對(duì)乘法的表述為：“乘者生數(shù)也，以數(shù)生數(shù)，有生生不已之義焉?！保?3］ 此后，汪香祖（1815—不詳）的《中算斠》［24］ 以及民國(guó)時(shí)期出版的《增刪校正算法統(tǒng)宗》［25］中 ，都有類似的說(shuō)法。

通過(guò)以上考察可以得出結(jié)論，乘法定義的“加法說(shuō)”出自《幾何原本》，但并非是《幾何原本》中乘法的本義。除此之外，還存在類似于“比例說(shuō)”的其他認(rèn)識(shí)。從“比例說(shuō)”的視角看乘法運(yùn)算，可以提取出乘法運(yùn)算的本質(zhì)屬性，主要表現(xiàn)為：以數(shù)生數(shù)、相得乃生和構(gòu)成比例。在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步分析乘法與加法在實(shí)際意義方面的差異。

四、實(shí)際意義

從廣義的視角看，運(yùn)算是一種“動(dòng)作（operation）”，既有發(fā)生于現(xiàn)實(shí)世界具象的意義，也有發(fā)生于符號(hào)世界和思維世界抽象的意義。通過(guò)現(xiàn)實(shí)世界的具身動(dòng)作、符號(hào)世界的程序操作和思維世界的推理想象三者之間的聯(lián)系與交互，就構(gòu)成了形成與理解運(yùn)算意義的“概念域（conceptual field）”。［26］因此，對(duì)于乘法運(yùn)算實(shí)際意義的形成與理解，僅局限于抽象符號(hào)的程序操作是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“搭配問(wèn)題”為例，說(shuō)明乘法與加法實(shí)際意義的不同。

l 問(wèn)題：2件上衣和3條褲子，可以搭配出多少套衣服？

這一問(wèn)題可以用抽象符號(hào)的乘法運(yùn)算2×3=6得到“6套衣服”的答案。但從現(xiàn)實(shí)世界的具象意義看，此時(shí)2×3=6的意義并非“3個(gè)2”或“2個(gè)3”相加。數(shù)字符號(hào)“2”和“3”分別指現(xiàn)實(shí)世界的上衣和褲子，“3個(gè)2”是2件上衣重復(fù)3次，結(jié)果應(yīng)當(dāng)是6件上衣；同樣，“2個(gè)3”是3條褲子重復(fù)2次，即6條褲子?？梢?jiàn)，結(jié)果都不是“6套衣服”。因此把2×3=6看作加法，就無(wú)法實(shí)現(xiàn)符號(hào)世界與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系與交互，自然也就無(wú)法形成并理解2×3=6的實(shí)際意義。

事實(shí)上，問(wèn)題中的“搭配”體現(xiàn)的是乘法運(yùn)算“以數(shù)生數(shù)”的意義，是現(xiàn)實(shí)世界“無(wú)中生有的制造”。給定的是“上衣”和“褲子”，此時(shí)現(xiàn)實(shí)世界中并不存在“1套衣服”，是人依據(jù)主觀意愿無(wú)中生有地制造出來(lái)的概念。將1件上衣和1條褲子搭配成“一對(duì)”，成為一個(gè)新對(duì)象，命名為“1套衣服”，相當(dāng)于制造了一個(gè)新對(duì)象的單位，用符號(hào)表示為：

l 1件上衣[×]1條褲子=1套衣服

如果把上衣和褲子視為產(chǎn)生整套衣服的原因，那么“搭配問(wèn)題”還體現(xiàn)出思維世界“雙因一果”的推理：給定1件上衣和1條褲子，使得“1套衣服”隨之確定；那么給定2件上衣和3條褲子，可以確定多少套衣服？用符號(hào)表示為：

l 2件上衣=2[×]（1件上衣）

l 3條褲子=3[×]（1條褲子）

l 2件上衣[×]3條褲子=2[×]［3[×]（1件上衣[×]1條褲子）］=6（套）

此時(shí)2[×]3運(yùn)算中的數(shù)字符號(hào)“2”和“3”所指的不再是上衣和褲子，而是抽象為思維世界的“倍”。運(yùn)算過(guò)程是兩次加倍，第一次是1套的3倍等于3套，第二次是3套的2倍等于6套（如圖2）。

因此，“搭配問(wèn)題”體現(xiàn)的是乘法運(yùn)算“以數(shù)生數(shù)”的實(shí)際意義，表現(xiàn)為現(xiàn)實(shí)世界“無(wú)中生有的制造”以及思維世界“雙因一果的推理”。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)[×]寬”與“長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)[×]寬[×]高”，其乘法運(yùn)算的實(shí)際意義都與此類似［27］，依據(jù)的都是乘法定義的“比例說(shuō)”，而不是“加法說(shuō)”。

乘法運(yùn)算與加法運(yùn)算的不同還表現(xiàn)為因數(shù)之間的“相得乃生”，即因數(shù)與因數(shù)相互關(guān)聯(lián)和相互作用的生數(shù)過(guò)程。對(duì)于加法算式ɑ+b=c，如果其中的加數(shù)b發(fā)生變化，比如增加1變?yōu)椤癰+1”，另一個(gè)加數(shù)ɑ保持不變，那么運(yùn)算結(jié)果c隨之增加1，變?yōu)椤癱+1”，即ɑ+（b+1）=c+1。運(yùn)算結(jié)果c的變化與加數(shù)b的變化一致，與加數(shù)ɑ沒(méi)有關(guān)系，這說(shuō)明加法運(yùn)算不具備“相得乃生”的屬性。

乘法算式ɑ[×]b=c與加法運(yùn)算不同，如果因數(shù)b增加1變?yōu)椤癰+1”，相當(dāng)于作用于另一個(gè)因數(shù)ɑ的方式改變，運(yùn)算結(jié)果從c變?yōu)椤癱+ɑ”，即ɑ[×]（b+1）=c+ɑ。運(yùn)算結(jié)果的變化與另一個(gè)因數(shù)ɑ是相關(guān)的，兩個(gè)因數(shù)ɑ與b是相互關(guān)聯(lián)、相互作用的，具有“相得乃生”的意義。在“搭配問(wèn)題”中，如果3條褲子增加1條變?yōu)?條，相當(dāng)于增加了與上衣數(shù)相同的搭配方式，因此總套數(shù)就變?yōu)?套（如圖3）。

由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)中的加法與乘法兩種運(yùn)算從實(shí)際意義方面看，并非“同一關(guān)系”或“包含—被包含關(guān)系”，當(dāng)然也就不應(yīng)將二者關(guān)系簡(jiǎn)單地表述為“乘法是加法”或“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”。因而“所有運(yùn)算都可以還原成加法”這一命題也不成立。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一個(gè)顯著特征是意義的進(jìn)化與拓展，因而數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的目標(biāo)之一是讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷“概念轉(zhuǎn)變”的過(guò)程。概念轉(zhuǎn)變是理解過(guò)程中的修正與提升，需要經(jīng)歷的是“從否認(rèn)到確認(rèn)”，而不是還原。［28］因此，需要進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一致性，謹(jǐn)防誤解。

五、謹(jǐn)防誤解“一致性”

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與教學(xué)所追求的“一致性”，并非把不同的內(nèi)容變?yōu)橄嗤?，而是在承認(rèn)進(jìn)化與拓展的前提下，追求邏輯意義的“無(wú)矛盾性（consistency）”和認(rèn)知上的“貫通性（coherence）”，讓數(shù)學(xué)課程內(nèi)容成為“無(wú)縫的序列（seamless sequence）”。［29］

邏輯意義的“無(wú)矛盾性”是同中之異在思維中的并存與契合，是矛盾的雙方在一定條件下的相互轉(zhuǎn)化，是“對(duì)立統(tǒng)一”辯證思維的表現(xiàn)。［30］比如計(jì)數(shù)過(guò)程中的自然數(shù)“3”，同時(shí)具有“第三”的序數(shù)意義和“三個(gè)”的基數(shù)意義，前者表示的“第三”是“一個(gè)”，后者表示的“三個(gè)”是“多個(gè)”，同一個(gè)數(shù)字符號(hào)出現(xiàn)了“既是一個(gè)，也非一個(gè)”或“既是三個(gè)，也非三個(gè)”的歧義現(xiàn)象，這是無(wú)法改變的現(xiàn)實(shí)。課程與教學(xué)設(shè)計(jì)首先需要承認(rèn)這樣的現(xiàn)實(shí)，進(jìn)而通過(guò)課程與教學(xué)設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)不同意義并存與契合的對(duì)立統(tǒng)一。又如，小學(xué)數(shù)學(xué)中的“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”表明[13]=[26]是正確的，但在中學(xué)指數(shù)運(yùn)算中就會(huì)出現(xiàn)不適用的情況，[（-8）13與（-8）26]就不是相等關(guān)系。［31］因此，出現(xiàn)了[13]=[26]有時(shí)成立有時(shí)不成立的現(xiàn)象。要解決此類問(wèn)題，首先需要承認(rèn)現(xiàn)實(shí)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探究分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)在指數(shù)運(yùn)算中的新的意義，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)[（a）13與（a）26]相等所需要的條件，逐步感悟到數(shù)學(xué)中所有真命題都是有條件的。

與此類似，如果在認(rèn)識(shí)乘法之初就把乘法視為加法，那么在更大數(shù)域范圍內(nèi)，自然會(huì)出現(xiàn)乘法不是加法的情況。因此，處理的方式不應(yīng)是通過(guò)“復(fù)古式的還原”消滅矛盾，而應(yīng)是通過(guò)“進(jìn)化式的拓展”探尋新的意義，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)概念意義進(jìn)化過(guò)程中的概念轉(zhuǎn)變。這就需要樹立課程與教學(xué)設(shè)計(jì)中的動(dòng)態(tài)觀念，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)課程內(nèi)容并非一成不變、確信無(wú)疑的，而是具有時(shí)間和空間意義的可變與可誤的非確定性。正如偉大的科學(xué)家愛(ài)因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）在一次演講中所說(shuō)：“如果數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界（reality）相關(guān)，那它就不是確定的；如果數(shù)學(xué)是確定的，那它就與現(xiàn)實(shí)世界無(wú)關(guān)?！保?2］將這樣動(dòng)態(tài)與變化的數(shù)學(xué)觀融入數(shù)學(xué)課程與教學(xué)，自然有益于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)：

l 用差異與發(fā)展的眼光看待現(xiàn)實(shí)世界；

l 用多元與靈活的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；

l 用豐富與準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

總之，相同加數(shù)求和可以用乘法計(jì)算僅僅是乘法運(yùn)算的一個(gè)應(yīng)用，并不意味著“乘法是加法的簡(jiǎn)便運(yùn)算”。學(xué)生對(duì)乘法運(yùn)算的認(rèn)知始于加法，但不能止于加法?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中所說(shuō)的“數(shù)與運(yùn)算的一致性”應(yīng)當(dāng)理解為，是在數(shù)與運(yùn)算意義進(jìn)化與拓展的前提下，在不同意義中思維的聯(lián)系與貫通［33］，而不是把“多元的意義變?yōu)閱我弧保选岸鄻拥乃惴ㄗ優(yōu)橐粯印?，更不?yīng)讓學(xué)生形成“所有乘法都要還原成加法”，以及“所有數(shù)的乘法都一樣”的誤解。課程內(nèi)容與教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)重點(diǎn)突出乘法與加法的差異，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步感悟到：雖然相同加數(shù)求和可以用乘法，但乘法真的不是加法！

參考文獻(xiàn)：

［1］徐盛桓.“A是B”的啟示：再談外延內(nèi)涵傳承說(shuō)［J］.中國(guó)外語(yǔ)，2010，7（5）：22-29.

［2］鞏子坤，史寧中，張丹.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運(yùn)算的一致性［J］.課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

［3］郜舒竹，魏衛(wèi)霞，程曉紅.謹(jǐn)防誤解“分?jǐn)?shù)單位”［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（6）：4-7，28.

［4］郜舒竹，羅玉曉，王璐佳. 十進(jìn)制：計(jì)數(shù)，還是記數(shù)？［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（7/8）：4-9.

［5］趙莉，吳正憲，史寧中.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算一致性的研究與實(shí)踐：以“數(shù)與運(yùn)算”總復(fù)習(xí)為例［J］.課程·教材·教法，2022，42（8）.

［6］MCLELLAN J A，DEWEY J. The psychology of number and its applications to methods of teaching arithmetic［M］. New York：D. Appleton & Company，1895：99.

［7］THORNDIKE A L. The psychology of arithmetic［M］. New York：The Macmillan Company，1922：4.

［8］DEVLIN K. It ain’t no repeated addition［EB/OL］.（2008-06-01）［2020-07-26］.https：//www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_06_08.html.

［9］DAVIS B. Mathematics teachers’ subtle，complex disciplinary knowledge［J］. Science，2011，332：1506-1507.

［10］STEINER M. Mathematics：Application and applicability［M］//SHAPIRO S.The Oxford handbook of philosophy of mathematics and logic. New York：Oxford University Press，2005：632.

［11］吳裕賓.焦循與《加減乘除釋》［J］.自然科學(xué)史研究，1986（2）：120-128.

［12］DE MORGAN A. The elements of arithmetic （Fourth edition） ［M］. London： Taylor and Walton，1854：24.

［13］BILLINGSLEY H. The elements of geometrie of the most auncient philosopher Euclide of Megara［M］. London：Iohn Daye，1570：429.

［14］JOANNE F， WELLER J. A new model of multiplication via Euclid［J］. Vinculum，2016，53（2）：16-19，21.

［15］歐幾里得. 歐幾里得·幾何原本［M］.蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯. 西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003：193.

［16］邵啟昌.中國(guó)數(shù)學(xué)若干概念漢語(yǔ)詞義研究［J］.四川師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1998，19（2）：230-238.

［17］SLEIGHT E R. Arithmetic according to Cocker［J］. National mathematics magazine，1943，17（6）：248-257.

［18］COCKER E. Cocker’s arithmetick［M］.London：W. Richardson，1702：38.

［19］NEWTON I. Universal arithmetic ［M］. London： W. Johnston，1720：4.

［20］SMITH D E. The first printed arithmetic（Treviso，1478）［J］. ISIS，1924，6（3）：311-331.

［21］李民芬.關(guān)于李善蘭翻譯《幾何原本》的研究［D］.呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013.

［22］何磊，紀(jì)志剛.梅文鼎與《歐羅巴西鏡錄》［J］.內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)漢文版），2019，48（6）：516-522.

［23］偉烈亞力.數(shù)學(xué)啟蒙［M］.上海：上海墨海書館，1853：35.

［24］劉耀鴻. 汪香祖及其《中算斠》研究［D］.天津：天津師范大學(xué)，2013：13.

［25］程大位.增刪校正算法統(tǒng)宗［M］.上海：上海錦章圖書局，1914：25.

［26］VERGNAUD G. Cognitive and developmental psychology and research in mathematics education：Some theoretical and methodological issues［J］. For the learning of mathematics，1982，3（2）：31-41.

［27］郜舒竹，李娟.“長(zhǎng)×寬”為什么等于“長(zhǎng)方形的面積”［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（6）：4-9，14.

［28］郜舒竹，李娟.平行四邊形的面積：從否認(rèn)到確認(rèn)［J］.教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2022（12）：4-8，17.

［29］WITTMANN E C. Connecting mathematics and mathematics education： Collected papers on mathematics education as a design science［M］. Gewerbestrasse：Springer Nature，2021：277.

［30］郜舒竹.雞兔同籠問(wèn)題中的辯證思維［J］.課程·教材·教法，2019，39（9）：88-93.

［31］劉瑩，郜舒竹.關(guān)于“[（-8）13]”的跨國(guó)討論［J］.教學(xué)月刊·中學(xué)版（教學(xué)參考），2018（5）：49-53.

［32］EINSTEIN A.Ideas and opinions［M］. New York： Bonanza Books，1954：232-245.

［33］BLANCHETTE P A. Frege and Hilbert on consistency［J］. The journal of philosophy，1996，93（7）：317-336.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院）