基于壓縮曲線的非線性彈性地基上結(jié)構(gòu)內(nèi)力與沉降分析

高興和 張 峰 呂 犇 李 燦

（1.江蘇省太湖水利規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院有限公司，江蘇蘇州 215100；2.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇南京 210000）

0 引言

地基沉降，尤其是過(guò)大的不均勻沉降會(huì)給建筑物帶來(lái)較大的危害[1]，如上部結(jié)構(gòu)開(kāi)裂、建筑物傾斜、倒塌等。因此，在水利、市政、道橋等工程設(shè)計(jì)時(shí)，必須根據(jù)建筑物等級(jí)、地質(zhì)狀況對(duì)地基的沉降變形進(jìn)行驗(yàn)算，并視驗(yàn)算結(jié)果采取相應(yīng)的工程措施來(lái)保證建筑物在后期管理運(yùn)行過(guò)程中不發(fā)生過(guò)大的沉降和沉降差。

彈性地基上的梁板計(jì)算是水利工程中重要的問(wèn)題，水工建筑物必須建筑在地基上，因此結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)離不開(kāi)對(duì)基礎(chǔ)梁板的設(shè)計(jì)。然而基礎(chǔ)梁板的計(jì)算是非常復(fù)雜的問(wèn)題[2]，主要體現(xiàn)在彈性地基的變形，尤其是不均勻沉降對(duì)上部結(jié)構(gòu)的影響。

針對(duì)地基土體的應(yīng)力變形計(jì)算，各國(guó)學(xué)者提出了較多土體本構(gòu)模型，從最初的線彈性模型到非線性彈性的鄧肯-張非線性模型與劍橋模型，再到莫爾-庫(kù)侖等彈塑性模型[3-6]。計(jì)算經(jīng)驗(yàn)顯示，若直接采用線彈性模型，則無(wú)法考慮土體變形的非線性，計(jì)算結(jié)果偏差較大。而精細(xì)的本構(gòu)模型往往因工程試驗(yàn)條件和成本的原因，在使用上受到了限制。

壓縮曲線（e-p曲線或e-lgp曲線）是土工試驗(yàn)最直接的成果，因其積累了大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，并且本身就能直觀地體現(xiàn)土體的非線性，具有足夠的精度，國(guó)內(nèi)現(xiàn)行規(guī)范[7-9]基本上推薦基于壓縮曲線的分層總和法作為沉降計(jì)算的基本方法。孫明正等[10]基于土體的e-p曲線，給出計(jì)算鄧肯-張模型參數(shù)的簡(jiǎn)單方法，并用于彈性地基的計(jì)算，取得了較好的結(jié)果。蔣忠信[11]針對(duì)深圳市地基沉降計(jì)算中因壓縮參數(shù)取值而造成沉降結(jié)果差值較大的問(wèn)題進(jìn)行了討論。

本文從彈性理論進(jìn)行推導(dǎo)，通過(guò)壓縮曲線獲取土體在不同應(yīng)力條件下的切線模量，采用有限元進(jìn)行地基土體的數(shù)值計(jì)算，較為方便和準(zhǔn)確地獲得土體的應(yīng)力變形。該方法既可以快速簡(jiǎn)便地求解土體沉降，又可以通過(guò)地基-結(jié)構(gòu)整體計(jì)算，獲得彈性地基上結(jié)構(gòu)的應(yīng)力變形，有一定的應(yīng)用價(jià)值。

1 壓縮曲線和切線彈模

1.1 e-p 曲線與分層總和法

土的壓縮性指標(biāo)通常由室內(nèi)側(cè)限固結(jié)試驗(yàn)獲得。通過(guò)該試驗(yàn)可獲取各級(jí)壓力與其對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定孔隙比之間的關(guān)系，即e-p曲線或e-lgp曲線。壓縮曲線反映了土體的孔隙比和所受壓力的關(guān)系，直觀體現(xiàn)了土體的壓縮性質(zhì)和變形的非線性。

對(duì)于分層總和法[12-13]，當(dāng)前各設(shè)計(jì)規(guī)范規(guī)定略有差別，但總體計(jì)算步驟類(lèi)似：

（1）計(jì)算壓縮層的自重應(yīng)力和附加應(yīng)力，自重應(yīng)力可直接由公式得到，附加應(yīng)力采用查表或者布辛內(nèi)斯克（Boussinesq）解得到豎向附加應(yīng)力分布；

（2）獲取壓縮層的孔隙比e，由每個(gè)壓縮層的附加應(yīng)力及自重應(yīng)力在壓縮曲線上得到對(duì)應(yīng)的孔隙比；

由此可以看出，分層總和法屬于手算方法，涉及查表、插值、疊加求和，計(jì)算較為繁瑣，同時(shí)只能一次計(jì)算一個(gè)點(diǎn)的沉降，結(jié)果離散且不直觀。

1.2 切線彈性模量

根據(jù)彈性理論，彈性模量E和壓縮模量Es滿(mǎn)足式（1）關(guān)系：

式中：μ為泊松比，一般為0.2～0.4。

現(xiàn)假設(shè)e-p曲線滿(mǎn)足式（2）函數(shù)關(guān)系：

進(jìn)一步可求得任意壓力所對(duì)應(yīng)的切線壓縮模量Es，其一般形式滿(mǎn)足式（4）：

則切線彈模的一般形式滿(mǎn)足式（5）：

由式（5）可知，切線彈模E與泊松比 μ、豎向壓力p有關(guān)，而泊松比一般變化較小，可以取固定值或者采用相應(yīng)擬合得到[14]。由此建立的應(yīng)力變形的非線性關(guān)系可體現(xiàn)地基在高應(yīng)力下的壓硬性，且直接由壓縮曲線推導(dǎo)獲得，因此認(rèn)為具有相對(duì)較高的精度。在分層總和法中，泊松比 μ與計(jì)算過(guò)程并沒(méi)有直接的關(guān)聯(lián)，而泊松比實(shí)質(zhì)反映了側(cè)向位移對(duì)于沉降的影響，出于簡(jiǎn)化，分層總和法并沒(méi)有直接對(duì)側(cè)向位移進(jìn)行考慮，所以分層總和法實(shí)際可等效為單向壓縮模型，對(duì)應(yīng)的泊松比 μ為零。令 μ=0，此時(shí)切線彈模與壓縮模量等價(jià)。因切線模量計(jì)算公式考慮了泊松比，相當(dāng)于考慮了水平位移的影響，因此將得到比分層總和法更為切合實(shí)際的計(jì)算結(jié)果。

1.3 計(jì)算實(shí)現(xiàn)

由于切線彈模E與壓力p的非線性關(guān)系，此時(shí)求解為典型的非線性問(wèn)題。經(jīng)有限元的離散之后，可轉(zhuǎn)化為求解以下非線性方程組：

式中：剛度矩陣K(δ)與位移向量δ 相關(guān)。

采用荷載增量法，在對(duì)R分解成若干荷載增量后，非線性方程轉(zhuǎn)換為：

式中：K(δm)由δm確定，為常數(shù)矩陣；ΔRm為第m個(gè)增量荷載矢量；Δδm為該增量荷載矢量作用所產(chǎn)生的位移增量矢量。

在有限元法計(jì)算自重應(yīng)力場(chǎng)時(shí)，初始計(jì)算的彈性參數(shù)E、μ可取經(jīng)驗(yàn)值，確定初始的剛度矩陣K0，后續(xù)可以根據(jù)計(jì)算結(jié)果更新彈性模量并迭代。計(jì)算顯示彈性參數(shù)對(duì)于地基應(yīng)力影響不大。同時(shí)，土體的壓縮特性由當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)和固結(jié)應(yīng)力共同決定，通過(guò)前期固結(jié)應(yīng)力判斷是否處于超固結(jié)狀態(tài)，從判斷選用回彈-再壓縮曲線或者原始?jí)嚎s曲線確定切線彈性模量。

2 算例及分析

2.1 算例一：條基的沉降

（1）算例介紹

某墻下條形基礎(chǔ)[15]，如圖1 所示，其寬度為2.0 m，上部結(jié)構(gòu)傳至基礎(chǔ)的荷載為100 kN/m，埋置深度為1.2 m，地下水位在基底以下0.6 m，壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 不同壓力下的孔隙比

圖1 條形基礎(chǔ)

（2）計(jì)算結(jié)果

根據(jù)分層總和法規(guī)定取地基沉降計(jì)算深度為6.4 m，為進(jìn)行對(duì)比分析，對(duì)有限元模型取同樣厚度進(jìn)行計(jì)算，得到條基中點(diǎn)處的沉降為50.2 mm，整體y方向位移（即豎向的沉降）云圖見(jiàn)圖2。

圖2 y 方向位移云圖（單位：m）

按照分層總和法對(duì)條基的沉降進(jìn)行計(jì)算。地基可分為7層，基礎(chǔ)中心處的沉降為49.4 mm，略小于本文數(shù)值方法的結(jié)果，差值為0.8 mm，差值率為1.61%。

（3）結(jié)果分析

1）附加應(yīng)力：對(duì)比有限元數(shù)值計(jì)算中的附加豎向應(yīng)力與分層總和法查表結(jié)果（見(jiàn)表2），可見(jiàn)二者有一定的差別，但數(shù)值上差距不大，其原因?yàn)榻馕龇ńY(jié)果與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果的差別。另外，查表中的插值也會(huì)出現(xiàn)一定的誤差。

表2 附加應(yīng)力對(duì)比

2）地基厚度：根據(jù)有限元計(jì)算經(jīng)驗(yàn)可知，地基厚度對(duì)有限元沉降計(jì)算影響較大，為此取不同厚度地基對(duì)沉降進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 不同地基厚度下的沉降

由結(jié)果可見(jiàn)，地基厚度較小時(shí)，沉降變化較為迅速，在厚度到6 m 之后，沉降的變化趨勢(shì)明顯減緩，到8～10 m 階段，沉降基本穩(wěn)定，表明采用本文方法的沉降計(jì)算結(jié)果是穩(wěn)定的。這也可以從e-p曲線上得到解釋?zhuān)趐值達(dá)到120 kPa 之后，曲線變得較為平緩，其斜率也變得較小，壓縮模量和切線彈模變得較大，因此本文計(jì)算方法能較好地體現(xiàn)出土體變形的非線性和壓硬性，其結(jié)果也較為合理。

3）有限元網(wǎng)格：進(jìn)一步研究程序的計(jì)算精度，調(diào)整單元大小，分別取網(wǎng)格尺寸大小0.1 m、0.2 m、0.3 m、0.4 m 和0.5 m，地基厚度取值6.4 m，最終基礎(chǔ)中心點(diǎn)的沉降值見(jiàn)表4。

表4 不同網(wǎng)格尺寸下的沉降

可見(jiàn)，網(wǎng)格的精細(xì)程度對(duì)于沉降的影響較小。網(wǎng)格大小為0.1 m 時(shí)的沉降與網(wǎng)格大小為0.5 m 時(shí)的沉降，也僅相差1.1 mm，差值率約為2%。值得說(shuō)明的是，當(dāng)網(wǎng)格尺寸為0.5 m（與地基分層厚度相近）時(shí)，得到的解與分層總和法近乎相同，由此可見(jiàn)分層總和法本質(zhì)上為一種粗網(wǎng)格有限元（層）法，說(shuō)明本文的數(shù)值方法與分層總和法本質(zhì)是一樣的，圖2計(jì)算結(jié)果略大于分層總和法，可以從有限元理論上進(jìn)行解釋?zhuān)弘S著網(wǎng)格的加密，有限元的位移解從下方收斂于精確解。

2.2 算例二：閘室的沉降計(jì)算及內(nèi)力分析

有限深度彈性地基模型借助有限元等數(shù)值方法，能克服文克勒地基模型不能考慮地基中的剪應(yīng)力，以及半無(wú)限地基模型只能計(jì)算彈性模型及無(wú)法分層等缺點(diǎn)[16-17]，具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)。但其也有自身的弱點(diǎn)，如精細(xì)的土體本構(gòu)模型需要較為復(fù)雜的土工試驗(yàn)[18-19]，代價(jià)較大，而線彈性模型過(guò)于粗糙，計(jì)算失真。這里采用本文方法，通過(guò)壓縮曲線來(lái)體現(xiàn)彈性地基的應(yīng)力變形及對(duì)上部結(jié)構(gòu)的影響。通常有限元計(jì)算只能得到應(yīng)力，文獻(xiàn)[20]提供了內(nèi)力的獲得方法，使得平面問(wèn)題通過(guò)應(yīng)力積分得到構(gòu)件內(nèi)力。

軟土地基上某景觀水閘閘室，橫斷面如圖3 所示，地基經(jīng)概化分3層，由下而上分別為黏土、淤泥質(zhì)粉質(zhì)黏土和重粉質(zhì)壤土。這里僅考慮施工期荷載（主要為結(jié)構(gòu)自重及上部荷載），施工期水位為0.20 m（地基高程為2.90 m）。

圖3 水閘閘室計(jì)算模型

采用本文方法進(jìn)行計(jì)算，得到閘室底板的沉降分布及彎矩圖如圖4 和圖5 所示，可見(jiàn)由于閘室橫向剛度較大，基底位移較為均勻，最大值約為21.4 mm，兩側(cè)荷載基本對(duì)稱(chēng)，沉降差最大不到1.5 mm；施工期底板上部受拉，中部彎矩值較大，達(dá)到1870 kN·m。

圖4 閘室底板底部沉降分布（單位：m）

圖5 底板彎矩圖（單位：kN·m）

獲取地基中的彈性模量分布，隨著深度增大，地基應(yīng)力增大，土體的彈性模量有較大幅度的增長(zhǎng)，基底約為4000～5000 kPa，模型底部的彈性模量為72000 kPa，約為基底的16 倍。由于加載后地基中應(yīng)力增大，其彈性模量較加載前有所增加。在計(jì)算閘壩等結(jié)構(gòu)物時(shí)，為體現(xiàn)地基彈性對(duì)結(jié)構(gòu)應(yīng)力影響，文獻(xiàn)[21]中建議將地基的厚度取為結(jié)構(gòu)物底寬的1～2倍，同時(shí)計(jì)算實(shí)踐也顯示彈性地基的厚度對(duì)計(jì)算結(jié)果影響較大。這里討論這一因素的影響，將閘室地基厚度取為（0.25～4.0）d，其中閘室底寬d為39 m，采用本文方法計(jì)算，獲取底板中心的彎矩及沉降，其結(jié)果見(jiàn)圖6。

圖6 不同地基厚度下的沉降及彎矩

由圖6 中的計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，底板中心的沉降在地基厚度較小的時(shí)候（＜0.75d）有較大的變幅，地基厚度取值影響較大，可壓縮的地基厚度考慮太少，當(dāng)?shù)鼗穸却笥?.75d之后沉降區(qū)域穩(wěn)定，增值為1.41 mm，該值僅占最終結(jié)果的約7%；彎矩結(jié)果趨勢(shì)類(lèi)似于沉降；地基厚度達(dá)到1.0d時(shí)彎矩值為1.87×103kN·m，與厚度為4.0d的結(jié)果所差無(wú)幾?？梢?jiàn)采用本文方法計(jì)算可以取得較為理想的結(jié)果，當(dāng)?shù)鼗疃冗_(dá)到一定深度之后，相比于簡(jiǎn)單的線彈性模型，本文方法模型的沉降及應(yīng)力變形計(jì)算結(jié)果更穩(wěn)定，不再產(chǎn)生較大的變幅。

3 結(jié)論

在傳統(tǒng)分層總和法的基礎(chǔ)之上，基于有限元法發(fā)展了一種地基計(jì)算的新方法，該方法以e-p曲線描述地基土體的應(yīng)力應(yīng)變特性，通過(guò)有限元法計(jì)算可迅速的獲得地基沉降和地基上梁板的內(nèi)力。通過(guò)具體算例與工程實(shí)踐驗(yàn)證，得出以下結(jié)論：

（1）本文方法與規(guī)范推薦的分層總和法本質(zhì)上相同，但省去了查表、插值等繁雜的手算過(guò)程，同時(shí)基于電算的有限元數(shù)值方法較大程度上提高了計(jì)算的速度及精度，具有較好的適用性。

（2）相比于分層總和法每次計(jì)算只能獲得一個(gè)點(diǎn)的沉降值，結(jié)果單一離散，本文方法計(jì)算結(jié)果豐富，可以得到平面上任意一點(diǎn)的沉降，結(jié)果全面且直觀，可以較為方便地?cái)U(kuò)展為三維分析，應(yīng)用前景更為廣泛。

（3）與土體的眾多本構(gòu)模型相比，e-p曲線的獲取相對(duì)容易，并且能直接反映土體的變形特性。本文方法采用e-p曲線描述地基的應(yīng)力變形特性具有較好的精度，對(duì)于彈性地基上結(jié)構(gòu)內(nèi)力與沉降的計(jì)算也更為方便和經(jīng)濟(jì)。

本文方法已應(yīng)用于水工分析系統(tǒng)Autobank，作為分層總和法的發(fā)展，以其較強(qiáng)的實(shí)用性和精度，具有較好的應(yīng)用前景。