混雜免疫多目標(biāo)優(yōu)化算法及對動態(tài)經(jīng)濟(jì)環(huán)境調(diào)度問題優(yōu)化

唐湘黔 錢淑渠 武慧虹

摘 要：動態(tài)經(jīng)濟(jì)環(huán)境調(diào)度（DEED）問題是電力系統(tǒng)調(diào)度中一類含大規(guī)模約束的高維多目標(biāo)優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的進(jìn)化算法易于陷入局部最優(yōu)，使得所獲的Pareto前沿分布性和收斂性差。為了充分挖掘免疫系統(tǒng)的克隆選擇原理，提出一種混雜免疫多目標(biāo)優(yōu)化算法（HIMOA）。該算法以傳統(tǒng)進(jìn)化算法為基本框架，面對高維決策變量優(yōu)化易于陷入局部最優(yōu)的缺陷，改進(jìn)外部存檔更新機(jī)制以保存歷代優(yōu)秀的多樣性個體，采用克隆、高斯突變策略強(qiáng)化局部開采能力，有效地迫使算法跳出停滯搜索狀態(tài)。為應(yīng)對大規(guī)模約束，提出逐步微調(diào)機(jī)組出力策略，提高進(jìn)化群體的可行性。數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)以10機(jī)系統(tǒng)為測試算例，將HIMOA與著名的六種算法MODE、NSGA-Ⅱ、IMOEA/D-CH、ADEA、MOHDE_SAT、MONNDE進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明，HIMOA能為DEED問題的10機(jī)系統(tǒng)提供較好的Pareto解，所獲的Pareto前沿收斂性和分布性優(yōu)越于其他算法，各評價指標(biāo)的箱型圖表明HIMOA具有優(yōu)越于其他算法的統(tǒng)計(jì)特征。

關(guān)鍵詞：動態(tài)經(jīng)濟(jì)環(huán)境調(diào)度； 免疫系統(tǒng)； 克隆選擇原理； 大規(guī)模約束； 多目標(biāo)優(yōu)化

中圖分類號：TP304.7?? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）09-024-2720-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.02.0037

Hybrid immune multi-objective optimization algorithm fordynamic emission economic dispatch

Tang Xiangqian1，2， Qian Shuqu2， Wu Huihong2

（1.College of Mathematics & Statistics， Guizhou University， Guiyang 550025， China; 2.School of Mathematics & Computer Sciences， Anshun University， Anshun Guizhou 561000， China）

Abstract：Dynamic economic emission dispatch（DEED） problem in power system is a kind of high-dimensional multi-objective optimization problem with large-scale constraints. The traditional evolutionary algorithm is easy to fall into local optimization， and the distribution and convergence of the obtained Pareto frontier are poor. This paper fully explored the clonal selection principle of immune system， and proposed a hybrid immune multi-objective optimization algorithm（HIMOA） . The proposed algorithm took the traditional evolutionary algorithm as the basic framework. Since the deficiency of falling local optimization for the high-dimensional decision variables optimization， it improved the external archive update mechanism to preserve the excellent individuals from previous generations， and adopted the cloning and Gaussian mutation strategy to strengthen the local exploitation ability， forcing effectively the HIMOA to jump out of the stagnant search state. In order to cope with the large-scale constraints，it designed the fine-turning output power step by step to improve the feasibility of the evolutionary population. In the numerical simulation experiment， taking a 10-unit system as a test example， and compared HIMOA with the famous algorithms MODE， NSGA-Ⅱ， IMOEA/D-CH， ADEA， MOHDE_SAT， MONNDE. The results show that HIMOA can provide a better Pareto solution to the 10-unit system of the DEED problem， and the convergence and distribution of the Pareto frontier obtained are better than other algorithms. The box diagram of each evaluation metric shows that HIMOA has better statistical characteristics than other algorithms.

Key words：dynamic economic emission dispatch; immune system; clonal selection principle; large-scale constraints; multi-objective optimization

0 引言

動態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度（dynamic economic dispatch，DED）是電力系統(tǒng)調(diào)度中一類復(fù)雜的單目標(biāo)優(yōu)化問題，該問題的目標(biāo)是確定調(diào)度周期內(nèi)各機(jī)組的最優(yōu)輸出功率［1，2］，以滿足負(fù)載需求及線路功率傳輸損失。由于DED考慮了發(fā)電機(jī)組的爬坡率約束，使得其非常適合實(shí)際電力調(diào)度場景，這對電力公司的機(jī)組調(diào)度具有較大的指導(dǎo)價值。然而，DED未考慮發(fā)電機(jī)組在燃煤過程中的污染排放，這與企業(yè)和政府越來越關(guān)注的人類健康環(huán)境問題背道而馳。因此，近年來許多研究工作將污染排放納入動態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度模型的構(gòu)建，從而衍生出一種更為復(fù)雜的動態(tài)經(jīng)濟(jì)環(huán)境調(diào)度（dynamic economic emission dispatch，DEED）模型。該模型同時優(yōu)化發(fā)電成本和污染排放，并考慮機(jī)組爬坡率、負(fù)荷需求等約束［3，4］，使得該問題屬一類含大規(guī)模約束的高維多目標(biāo)優(yōu)化問題。鑒于該問題的復(fù)雜性和實(shí)用性，開發(fā)高效的求解算法以獲得滿意的調(diào)度方案顯得尤為重要，這對實(shí)際工程問題的求解和實(shí)現(xiàn)我國“雙碳”目標(biāo)具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

求解多目標(biāo)DEED模型的傳統(tǒng)優(yōu)化方法是通過權(quán)重法將其轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)問題，采用拉格朗日乘子［5］、梯度［6］、二次規(guī)劃［7］和動態(tài)規(guī)劃［8］等數(shù)學(xué)規(guī)劃方法獲取最優(yōu)調(diào)度方案。這些方法充分利用梯度信息搜索起始點(diǎn)附近的最優(yōu)解。然而，由于機(jī)組頻繁啟停產(chǎn)生損耗劇增的閥點(diǎn)效應(yīng)，考慮閥點(diǎn)效應(yīng)成本的DEED模型具有多個局部最優(yōu)解且目標(biāo)函數(shù)非凸和非光滑，而數(shù)學(xué)優(yōu)化方法對選取的起始點(diǎn)極為敏感，往往難以有效處理這類含多個局部最優(yōu)解的復(fù)雜問題優(yōu)化。所以，許多智能優(yōu)化方法被開發(fā)來解決DEED問題，如進(jìn)化算法（evolutionary algorithm，EA）［9］、粒子群優(yōu)化（particle swarm optimization，PSO）［10，11］、差分進(jìn)化（differential evolutionary，DE）［12，13］、和諧搜索算法［14］、教學(xué)優(yōu)化［15］、生物地理優(yōu)化［16］等。在文獻(xiàn)［9］中，基于非支配排序遺傳算法Ⅱ（NSGA-Ⅱ），提出一種二次多項(xiàng)式求根法獲得滿足功率平衡約束的機(jī)組功率分配策略。然而，該方法獲得的第N個發(fā)電機(jī)的功率水平仍可能超出機(jī)組的功率上下界。文獻(xiàn)［12］針對DEED問題開發(fā)了一種多目標(biāo)差分進(jìn)化（multi-objective differential evolutionary，MODE）算法，采用上述約束處理機(jī)制，以10機(jī)系統(tǒng)測試表明，MODE所獲的Pareto前沿（pareto frontier，PF）優(yōu)于NSGA-Ⅱ。文獻(xiàn)［17］提出了一種模糊自適應(yīng)修正θ粒子群優(yōu)化算法。文獻(xiàn)［18］設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的θ多目標(biāo)教學(xué)優(yōu)化算法，利用模糊聚類技術(shù)對知識庫的規(guī)模進(jìn)行處理，從決策者的角度獲得可行的調(diào)度方案。文獻(xiàn)［2］開發(fā)了一種非優(yōu)勢DE算法，采用比例動態(tài)調(diào)整變量法調(diào)節(jié)機(jī)組功率范圍的差異以處理功率平衡約束。文獻(xiàn)［19］提出一種基于精英克隆的局部搜索DE算法，為提高算法開采和探索能力，增設(shè)精英群的克隆和突變機(jī)制，有效增強(qiáng)算法的全局搜索能力。文獻(xiàn)［20］提出了一種自適應(yīng)多目標(biāo)差分進(jìn)化算法，通過設(shè)計(jì)自適應(yīng)的current to best/1交叉算子，有效地提高了傳統(tǒng)進(jìn)化算法的探索與開采能力。

雖然智能優(yōu)化方法能獲得DEED問題的有效解，但仍存在一些亟待解決的問題，如所獲Pareto解的收斂性、分布性和多樣性難于協(xié)調(diào)統(tǒng)一等問題。正如文獻(xiàn)［21］所述，混合策略可能是解決復(fù)雜的DEED問題的更有效方法。文獻(xiàn)［22］提出一種基于克隆選擇的PSO算法，以傳統(tǒng)的PSO算法為基本框架，嵌入克隆選擇算子，從而加速算法的收斂性。本文為克服傳統(tǒng)EA難以處理多個局部最優(yōu)解以及收斂性差等問題，提出一種混雜免疫多目標(biāo)優(yōu)化算法（hybrid immune multiobjective optimization algorithm，HIMOA）解決帶有閥點(diǎn)效應(yīng)的DEED問題。處理該問題的難點(diǎn)在于決策空間高維性和約束的大規(guī)模性，致使已有算法直接求解易于陷入局部搜索或無法獲取可行的非支配解，故解決該問題的策略是提高算法的搜索和開采能力，以獲取更多的可行解，而克隆選擇機(jī)制具有局部搜索和開采能力，能利用克隆機(jī)制產(chǎn)生大量的有潛力的解，并通過高斯變量擾動后，提高開采復(fù)雜區(qū)域的能力，同時采用修復(fù)機(jī)制對不可行的個體進(jìn)行修復(fù)，從而提升種群中個體的可行性。故在HIMOA中，為了提升算法在高維決策空間的收斂速度，充分保存歷代多樣性的非支配解，選取存檔中優(yōu)秀個體進(jìn)行克隆，采用改進(jìn)的高斯突變策略對克隆體突變，實(shí)現(xiàn)收斂與開采的平衡。同時改進(jìn)Deb［23］的可行性規(guī)則對存檔中的個體進(jìn)行更新，確保存檔中非支配個體的多樣性和分布均勻性。另外，為了應(yīng)對功率平衡等式約束，提出一種逐步修復(fù)策略微調(diào)部分機(jī)組的出力，以提高群體中個體的可行性。數(shù)值實(shí)驗(yàn)以DEED問題的10機(jī)系統(tǒng)測試HIMOA的性能。結(jié)果表明，與同類算法相比，HIMOA獲得PF的分布均勻性和延展性更具有優(yōu)勢，且近似于真實(shí)PF的程度更高。

本文的主要貢獻(xiàn)是：a）構(gòu)建了求解具有閥點(diǎn)效應(yīng)的DEED問題的混雜多目標(biāo)免疫優(yōu)化算法框架；b）研究了HIMOA在處理大規(guī)模約束時的運(yùn)行機(jī)制；c）設(shè)計(jì)了功率平衡方程的修復(fù)策略，以獲得更多可行的解；d）以考慮閥點(diǎn)效應(yīng)成本的10機(jī)系統(tǒng)為算例驗(yàn)證了HIMOA的求解能力，并與同類算法進(jìn)行了比較，驗(yàn)證了本文算法的優(yōu)越性。

1 DEED問題模型

電力系統(tǒng)DEED模型屬一類含大規(guī)模約束的多目標(biāo)優(yōu)化問題，其目標(biāo)是在滿足大量的等式和不等式約束下，使發(fā)電成本和污染排放盡可能小。

然而，由HIMOA、MODE和NSGA-Ⅱ獲得的最好折中值是不可比較的，但由HIMOA的污染排放2.9774×105相對于MODE的污染排放2.9642×105增加了1.32×103個單位，增加率為0.44%小于1，而HIMOA的成本2.5188×106相對于MODE的成本2.5463×106減少了2.75×104個單位，降低率為1.09%大于1。類似地，對于NSGA-Ⅱ，HIMOA的污染排放2.9774×105相對于NSGA-Ⅱ的污染排放2.9588×105增加了1.86×103個單位，增加率為0.63%，而HIMOA的成本2.5188×106相對于NSGA-Ⅱ的成本2.5414×106減少了2.26×104個單位，降低率為0.90%，HMIOA所獲的折中解以增大少量的污染排放換取更低的發(fā)電成本。

為了可視化各算法25次獨(dú)立執(zhí)行所獲的最好折中解在目標(biāo)空間的分布情況，圖2給出了基于模糊決策方法的各算法在25次運(yùn)行中得到的最好折中解分布，其中approximative PF為近似的Pareto前沿（PF）。由圖2（d）可以看出，HIMOA得到的25個最好折中解非常接近于近似的PF中心位置，這表明HIMOA每次執(zhí)行能獲得非常好的收斂性和分布性。然而，由圖2（a）和（c）可以看出，MODE和NSGA-Ⅱ得到的最好折中解偏向于成本目標(biāo)方向，特別是MODE的25個最好折中解遠(yuǎn)離近似的PF中心位置，且接近近似的PF程度時遠(yuǎn)時近，這表明MODE處理大規(guī)模約束DEED問題的穩(wěn)定性和收斂性非常差。觀察圖2（b）發(fā)現(xiàn)，IMOEA/D-CH獲得的25個最好折中解能位于近似的PF中部，然而其分布空間區(qū)域非常大且遠(yuǎn)離近似PF，這表明IMOEA/D-CH處理該問題時在某些次獨(dú)立運(yùn)行中能獲得較好的收斂性，但一致收斂性差、穩(wěn)定性弱。由上述比較分析表明，新提出的HIMOA在處理該問題時能表現(xiàn)出較穩(wěn)定的搜索能力和較強(qiáng)的收斂性能。

為了觀察各算法所獲的PF效果，選取25次獨(dú)立執(zhí)行獲得的PF中IGD指標(biāo)值最小的一次PF進(jìn)行比較。圖3展示了各算法所獲的PF分布。

由圖3（d）可以明顯看出，HIMOA得到的PF在目標(biāo)空間中呈現(xiàn)出均勻的分布性，且分布范圍非常廣，所獲的PF接近近似PF的程度非常高，這表明HIMOA所獲的Pareto解多樣性和收斂性非常好。由圖3（a）和（c）可以看出，MODE和NSGA-Ⅱ所獲的PF分布范圍非常狹窄，這是由于該算法所獲的最后Pareto解收斂于某一區(qū)域，陷入了局部最優(yōu)，非支配解的多樣性非常差，表明這兩種算法難以處理這類復(fù)雜的優(yōu)化問題，特別是MODE在接近近似PF方面表現(xiàn)非常差，這表明其對復(fù)雜的解空間開采能力弱，進(jìn)化種群發(fā)生早熟現(xiàn)象。觀察圖3（b）發(fā)現(xiàn)，IMOEA/D-CH所獲的PF分布性具有一定的均勻性，但PF的分布范圍相對于HIMOA顯得短窄，且在成本目標(biāo)方向收斂性優(yōu)于污染排放目標(biāo)方向，這表明IMOEA/D-CH不能很好地平衡兩個目標(biāo)收斂性。由以上分析表明，HIMOA呈現(xiàn)較強(qiáng)的搜索和開采能力，能獲得分布均勻且范圍廣和收斂性優(yōu)越的PF，NSGA-Ⅱ和MODE的性能較差，僅能獲得局部的PF，且收斂性弱。

為了從不同角度分析各算法25次獨(dú)立執(zhí)行所獲性能指標(biāo)HV、IGD、CR和SP的統(tǒng)計(jì)性能，圖4給出這四種評價指標(biāo)的箱型圖。

圖4（a）的HV箱型圖顯示，與MODE、IMOEA/D-CH和NSGA-Ⅱ相比，HIMOA實(shí)現(xiàn)超體積大的概率高，而MODE最差，這表明HIMOA所獲的PF接近真實(shí)PF的概率高，而MODE所獲的25次PF或遠(yuǎn)離真實(shí)PF，或PF的范圍狹窄。對于CR指標(biāo)，圖4（b）顯示HIMOA獲得最好的CR統(tǒng)計(jì)特征，而NSGA-Ⅱ最差，這表明HMIOA所獲的PF覆蓋率大的概率高，而NSGA-Ⅱ所獲得的25次PF或狹窄，或僅能得到部分非支配解。圖4（c）箱型圖表明，HIMOA獲得IGD值較小的概率高，MODE獲得大的IGD值概率高，這表明HIMOA所獲得的PF均勻性和收斂性優(yōu)于其他算法的概率大，其他算法中MODE獲效果差的概率高。對于SP評價指標(biāo)，圖4（d）表明獲SP最大的概率為IMOEA/D-CH，其次為HIMOA，這表明對于SP指標(biāo)IMOEA/D-CH比HIMOA優(yōu)越，這是由于IMOEA/D-CH所獲的PF廣度較HIMOA的概率高。

為了給出每臺發(fā)電機(jī)組在HIMOA優(yōu)化下的功率輸出，選取HIMOA最好折中解時10臺機(jī)組的各時段輸出功率（表2），燃料成本為2.5188E+6（美元），污染排放為2.9774E+5（磅）。表2的最后列出了考慮傳輸損失的各時間段的傳輸損失（loss）。由表2可以看出，對于考慮傳輸損耗的10機(jī)系統(tǒng)的多目標(biāo)DEED優(yōu)化，各時段各機(jī)組的出力都得到了控制，各機(jī)組的爬坡率也得到了適當(dāng)?shù)臐M足。

4.4 策略分析及討論

為了分析算法HIMOA中改進(jìn)策略的優(yōu)越性，本節(jié)以10機(jī)系統(tǒng)DEED問題作為測試實(shí)例，分析不同的約束閾值、不同的變異策略、不同的存檔更新策略、有/無修復(fù)策略對算法收斂性能的影響。實(shí)驗(yàn)中HIMOA獨(dú)立執(zhí)行25次循環(huán)，每次循環(huán)的最大迭代數(shù)為2 000，計(jì)算每代所獲PF與理論P(yáng)F的IGD平均值，形成IGD隨迭代數(shù)的變化曲線，分析改進(jìn)的策略對算法收斂性和所獲PF上點(diǎn)的分布性的影響。

圖5給出了約束閾值ε取0、0.05、0.1、0.15和0.2五種情況時HIMOA對10機(jī)系統(tǒng)優(yōu)化所獲的IGD隨迭代數(shù)的變化曲線。IGD是刻畫算法所獲PF收斂真實(shí)PF的程度，由圖5的IGD變化曲線獲知，ε取0時收斂性能最差，但ε在0.05～0.2較為相似，具體為：在ε取0.1時表現(xiàn)初始收斂速度快，隨后陷入局部搜索；ε取0.15和0.2時初始收斂速度稍微慢，但最終與ε取0.05表現(xiàn)相當(dāng)。圖6分析了對克隆體采用三種不同的變異策略獲得的IGD隨迭代數(shù)的變化曲線。由圖6可知，非均勻突變和多項(xiàng)式突變策略在初始階段表現(xiàn)出快速的收斂，但非均勻突變到500代左右陷入了局部搜索，而多項(xiàng)式突變到600代左右收斂速度減慢，隨后下降速度緩慢并一直保持平衡趨勢。高斯突變初始下降速度具有一定的波動，并表現(xiàn)弱于其他兩種變異策略，在1 000代左右所獲的IGD值開始低于其他兩種變異策略。這是由于本文采取的高斯突變表達(dá)式為uij=wij+1/g·N（0，1），其中第2項(xiàng)中1/g使得變異量隨迭代數(shù)增大而變小，動態(tài)調(diào)整該系數(shù)使得算法具有精準(zhǔn)的探索能力，N（0，1）為均值為0，方差為1的高斯變量。

圖7給出了NSGA-Ⅱ中原始存檔更新策略所獲的IGD變化曲線與本文改進(jìn)的存檔更新策略下的IGD變化曲線。由變化曲線明顯可知，改進(jìn)的存檔更新策略獲得了更好的收斂速度，這表明改進(jìn)的存檔更新策略能有效提高算法對10機(jī)系統(tǒng)DEED問題的優(yōu)化效果。這是由于改進(jìn)的存檔更新策略既能加大算法對可能空間的探索與開采能力，又能提升存檔中非支配解的多樣性，確保存檔中非支配解的均勻分布。

圖8給出了25次獨(dú)立執(zhí)行所獲PF分布。對比圖8（a）和（b）明顯可以看出，改進(jìn)的更新策略25次所獲PF均能保持很好的收斂性和分布性，而原始的更新策略僅能獲得局部的PF，每次執(zhí)行所獲PF分布性和收斂性不統(tǒng)一。

圖9分析了修復(fù)策略對算法HIMOA搜索性能的影響。其中圖9（a）比較了有/無修復(fù)策略情況下進(jìn)化種群中個體的非可行性比率隨迭代數(shù)的變化曲線。由圖9（a）可知，無修復(fù)策略時，種群中個體的非可行性比率隨迭代數(shù)增加呈現(xiàn)下降趨勢，但運(yùn)行到2 000代時仍未達(dá)到0，這表明種群中還存在不可行的個體。而含修復(fù)策略情況下，在算法運(yùn)行到1 000代左右時，個體的非可行性比率已達(dá)到0，這充分表明修復(fù)算子對提升個體的可行性比率有重大影響。圖9（b）為有/無修復(fù)策略所獲IGD隨迭代數(shù)的變化曲線。由圖9可知，含修復(fù)策略情況下算法所獲的IGD變化曲線明顯下降速度快，這表明算法的收斂性能好。

5 結(jié)束語

動態(tài)環(huán)境經(jīng)濟(jì)調(diào)度優(yōu)化是計(jì)算機(jī)、管理學(xué)交叉學(xué)科中一類極具挑戰(zhàn)性的研究課題，該問題具有多個局部最優(yōu)點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)非光滑和非凸，傳統(tǒng)的進(jìn)化算法難以尋找全局最優(yōu)解。本文提出了一種混合免疫多目標(biāo)優(yōu)化算法（HIMOA），并以10機(jī)系統(tǒng)的DEED問題進(jìn)行測試。在算法設(shè)計(jì)中，采用修復(fù)方案處理功率平衡等式約束，提高了進(jìn)化種群的可行性。為了增強(qiáng)傳統(tǒng)EA的收斂能力，設(shè)計(jì)外部存檔集保存非支配個體并提出新的裁剪策略更新外部存檔，選擇存檔中優(yōu)秀個體進(jìn)行克隆，然后采用高斯策略對克隆體進(jìn)行突變。將該算法作為一種搜索方法處理10機(jī)系統(tǒng)DEED問題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相對于最新文獻(xiàn)報道的方法，本文算法能夠獲得更好的性能，評價指標(biāo)統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明本文算法具有更好的統(tǒng)計(jì)性能。

與此同時，本文的工作還有待進(jìn)一步的研究，以便應(yīng)用于更復(fù)雜的DEED模型求解，如將所開發(fā)的框架引入模擬退火、蟻群、魚群等其他搜索機(jī)制，應(yīng)用于含其他能源的混雜DEED問題。另外，本文只在HIMOA中選取了一組固定的算法參數(shù)，而沒有對本文算法進(jìn)行參數(shù)調(diào)節(jié)或自適應(yīng)設(shè)計(jì)，這將為開發(fā)自適應(yīng)算法提供后期研究思路。

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收稿日期：2023-02-02；修回日期：2023-03-27? 基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（62241301，61762001）；貴州省教育廳創(chuàng)新群體重大研究資助項(xiàng)目（黔教合KY字［2019］069）；貴州省教育廳青年科技人才成長資助項(xiàng)目（黔教合KY字［2020］131號）；安順學(xué)院研究生創(chuàng)新專項(xiàng)資助項(xiàng)目（asxysrt（202223）號）

作者簡介：唐湘黔（1994-），男，貴州遵義人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化算法及應(yīng)用；錢淑渠（1978-），男（通信作者），安徽樅陽人，教授，碩導(dǎo)，博士，主要研究方向?yàn)橛?jì)算智能、系統(tǒng)建模與控制（shuquqian@163.com）；武慧虹（1980-），女，山西太原人，教授，碩士，主要研究方向?yàn)橹悄軆?yōu)化算法、群與圖．