深度思考 追根溯源
——以“圓錐曲線中直線過(guò)定點(diǎn)”為例

何 云

(浙江省嵊州中學(xué) 312400)

2022年10月我校參加了浙江十校聯(lián)盟考,本文探究這次數(shù)學(xué)聯(lián)考第21題的來(lái)源和解法．

1 試題呈現(xiàn)

(2022年浙江省十校聯(lián)盟考數(shù)學(xué)卷第21題)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2p,m)(m>0),AF=5．

(1)求p和m的值;(2)點(diǎn)M,N在拋物線C上,且AM⊥AN,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥MN,D為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q,使得DQ為定值．

2 試題特點(diǎn)

本題主要以圓錐曲線中的拋物線為載體考查定點(diǎn)、定值問(wèn)題,這是高考的一大熱點(diǎn).對(duì)這類(lèi)題型學(xué)生并不陌生,題源主要來(lái)自2020年新高考Ⅰ卷理科第22題,題根來(lái)自于人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章復(fù)習(xí)參考題3第10題.第(1)問(wèn)利用拋物線定義求拋物線方程和參數(shù)值,較簡(jiǎn)單.第(2)問(wèn)考查直線與拋物線相交過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,根據(jù)已知條件“AM⊥AN”轉(zhuǎn)化為“kAM·kAN=-1”,兩直線的斜率之積為定值,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)抽象能力;由題目已知條件判斷直線MN過(guò)定點(diǎn),考查邏輯推理能力;解決本題所求定點(diǎn)、定值問(wèn)題,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

3 解法探究

視角1設(shè)直線MN方程(單聯(lián)立)

(1)p=2,m=4.

整理得b2-12b-16(k+2)(k-1)=0,即[b-4(k+2)][b+4(k-1)]=0,所以b=4(k+2)或b=-4(k-1).

點(diǎn)評(píng)此思路簡(jiǎn)單自然,是大部分學(xué)生應(yīng)該掌握的方法,其難點(diǎn)是代數(shù)運(yùn)算的計(jì)算量較大,很多學(xué)生做到一半就放棄了,要完成解答,對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)有較高要求.一定要用韋達(dá)定理嗎?為了打破學(xué)生的慣性思維和簡(jiǎn)化運(yùn)算,需優(yōu)化解法.

視角2設(shè)直線AM,AN的方程(雙聯(lián)立)

點(diǎn)評(píng)設(shè)兩條直線方程,用斜率k表示M,N的坐標(biāo),進(jìn)而得到直線MN的參數(shù)方程,若利用直線方程的兩點(diǎn)式求直線MN方程,尋找定點(diǎn),這種方法比第一種方法的計(jì)算量還大.于是,為了剖析運(yùn)算合理性,提升運(yùn)算效率,筆者就利用“點(diǎn)M,N均在直線MN上”這一同構(gòu)點(diǎn)達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的效果.

視角3齊次化

點(diǎn)評(píng)由題目條件可知“直線MN不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A”,設(shè)直線MN為“s(x-4)+t(y-4)=1”,這樣避開(kāi)直線過(guò)已知定點(diǎn)的問(wèn)題,然后利用曲線方程進(jìn)行齊次化處理,構(gòu)造直線AM與AN斜率滿(mǎn)足的方程,找直線方程中參數(shù)s與t的一次關(guān)系.此法的缺陷是學(xué)生對(duì)直線MN的設(shè)法不熟悉,潛意識(shí)里習(xí)慣性設(shè)直線的斜截式.算法的優(yōu)化直接關(guān)乎運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平,在落實(shí)核心素養(yǎng)的過(guò)程中,追求深度學(xué)習(xí),不搞題海戰(zhàn)術(shù).

視角4先特殊后一般

點(diǎn)評(píng)從特殊情況入手,通過(guò)特殊值求直線所過(guò)定點(diǎn),先尋找使結(jié)論成立的必要條件,再利用“kPM-kPN=0”證明問(wèn)題的充分性.

4 歸本溯源

4.1 課本尋根

(人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章復(fù)習(xí)參考題3第10題)已知直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn),且OA⊥OB,OD⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,1),求p的值.

4.2 高考尋源

4.3 知識(shí)背景

已知點(diǎn)A(x0,y0)在圓錐曲線C上,直線l交曲線C于P,Q兩點(diǎn),記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2.經(jīng)探究,有如下相關(guān)結(jié)論成立[1-2]:

結(jié)論2 若k1+k2=0,則直線l的斜率為定值.

若點(diǎn)P是不在圓錐曲線上的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P引兩條斜率分別為k1,k2的割線依次交圓錐曲線于A,B,C,D四點(diǎn),線段AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N．經(jīng)過(guò)探究得出以下結(jié)論:

結(jié)論5 若k1+k2=0,則直線MN的斜率為定值.

結(jié)論6 若k1+k2=λ(λ≠0),則直線MN恒過(guò)定點(diǎn).

5 解題反思

現(xiàn)今大多數(shù)學(xué)生的狀況是:會(huì)做的題目的情境、設(shè)問(wèn)方式等稍作改變,他們就不會(huì).這是什么原因呢?解題也是為將來(lái)解決同類(lèi)問(wèn)題乃至其他新問(wèn)題積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程,應(yīng)探索實(shí)現(xiàn)學(xué)生的高路遷移“情境、原理和方法”的策略和方法,促進(jìn)解題經(jīng)驗(yàn)的有效遷移和思維的靈活轉(zhuǎn)換,內(nèi)化、積累數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略,發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

5.1 究竟是什么阻擋了學(xué)生解題的步伐

一是不會(huì)運(yùn)算.不會(huì)算有兩層含義:①對(duì)于算什么目標(biāo)不清晰;②有目標(biāo)但方法不佳.解析幾何題本身計(jì)算量大,運(yùn)算是不少學(xué)生的“弱項(xiàng)”,因此在課堂上教師要重視算法和算理的分析.二是運(yùn)算速度慢.解決策略是平時(shí)注重掌握一些常見(jiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算策略,重視運(yùn)算方法分析,優(yōu)化策略、提升運(yùn)算速度.三是不善于提煉數(shù)學(xué)思想方法.主要成因在于學(xué)生平時(shí)不善于研題,解法單一,因此課堂上應(yīng)多開(kāi)展一題多解或多題一解研討和研究.四是學(xué)生心理素質(zhì)欠佳.學(xué)生遇到計(jì)算量大的題目產(chǎn)生恐慌心理,影響解題速度.解決對(duì)策是教學(xué)中多展示運(yùn)算過(guò)程.五是對(duì)陌生的問(wèn)題情境缺乏判斷方向.教師在教學(xué)中多展示題目的分析過(guò)程,明確運(yùn)算方向.六是忽視解析幾何中的幾何特點(diǎn).教師在教學(xué)中要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透.

5.2 教學(xué)中“多”一定與教學(xué)效果成正比嗎

數(shù)學(xué)題做得“多”一定能考得高嗎?不一定.盲目刷題,缺乏數(shù)學(xué)思想方法的提煉,只會(huì)事倍功半.數(shù)學(xué)解題是經(jīng)驗(yàn)不斷積累和生長(zhǎng)的過(guò)程,應(yīng)注重積累經(jīng)典問(wèn)題的處理方式、熟悉常見(jiàn)問(wèn)題的解題策略.教師講得“多”教學(xué)效果一定好嗎?最典型的“滿(mǎn)堂灌”課堂已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能適應(yīng)當(dāng)前的高考模式,課堂上的適度探究有助于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的提升,實(shí)現(xiàn)教學(xué)相長(zhǎng).上課上得“多”教學(xué)效果一定好嗎?上多少不重要,重在如何設(shè)計(jì)、怎么教.

5.3 究竟怎樣利用教材提高學(xué)生的解題能力

高三復(fù)習(xí)階段中,大部分學(xué)生盲目地做試卷,脫離教材,認(rèn)為教材上的內(nèi)容太簡(jiǎn)單,導(dǎo)致這一現(xiàn)象的部分原因是教師沒(méi)有帶著學(xué)生充分利用好教材.高考人才選拔重在對(duì)考生能力的考查,高考真題源于教材又高于教材,教師帶著學(xué)生在教材上尋根,在往年真題上尋源,通過(guò)深度變式探究、深挖知識(shí)背景、解法探討、情境轉(zhuǎn)換等方式看透問(wèn)題本質(zhì).在教學(xué)中,教師充分用好教材素材、真題素材、拓展研究、豐富解法手段是很重要的.通過(guò)變化講透思想方法的本質(zhì),深刻理解不同方法的適用范圍,這就是立足課堂的創(chuàng)新教學(xué).