數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下的教學(xué)思考
——以“圓錐曲線”習(xí)題課為例

王紅芳 顧燕紅

(江蘇省沙溪高級(jí)中學(xué) 215421)

文[1]通過對(duì)學(xué)生的問卷調(diào)查和教師的訪談后發(fā)現(xiàn):在解題教學(xué)中,由于教師缺失“本質(zhì)理解”,導(dǎo)致學(xué)生缺乏知識(shí)的應(yīng)用與遷移能力．圓錐曲線問題往往將方程、函數(shù)、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)和方法統(tǒng)一起來,要求學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．本文以一節(jié)圓錐曲線習(xí)題課為例,探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視域下的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)實(shí)踐,為如何在圓錐曲線的教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出相關(guān)的建議．

1 基本情況

1.1 前期準(zhǔn)備

在已有相關(guān)研究的基礎(chǔ)上,依據(jù)教科書,結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)中有關(guān)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)容,進(jìn)行了認(rèn)真的備課,并與同行交流探討,完成了一份基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的圓錐曲線的教學(xué)設(shè)計(jì)．

1.2 授課對(duì)象

學(xué)生來自江蘇省四星級(jí)高中三年級(jí)的一個(gè)普通班,數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總體較好,具備一定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

2 教學(xué)過程

2.1 活動(dòng)1:自主試探

課堂開始,教師向?qū)W生展示了一道圓錐曲線的題目,讓學(xué)生自主完成并請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)進(jìn)行展示．

例1在一張紙上有一個(gè)圓C:(x+2)2+y2=r2(r>0)與點(diǎn)M(m,0)(m≠-2),折疊紙片,使圓C上某一點(diǎn)M′恰好與點(diǎn)M重合,每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕PQ．設(shè)折痕PQ與直線M′C的交點(diǎn)為T,則下列說法正確的是( )．

A．當(dāng)-2-r

C．當(dāng)m=2,1≤r≤2時(shí),點(diǎn)T的軌跡對(duì)應(yīng)曲線的離心率取值范圍為[2,4]

設(shè)計(jì)意圖本題考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想,也考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．學(xué)生通過自主探索發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合在解決圓錐曲線問題中的重要性,同時(shí)意識(shí)到在解決軌跡問題時(shí)要尋找運(yùn)動(dòng)中不變的量．

2.2 活動(dòng)2:例題探究

完成例1后教師進(jìn)行歸納,說明數(shù)形結(jié)合在解決圓錐曲線問題中的重要性,同時(shí)向?qū)W生指出軌跡問題中要尋找不變的量．

(1)求C的方程;(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,點(diǎn)D為垂足,證明:存在定點(diǎn)Q,使得DQ為定值．

學(xué)生分組討論后進(jìn)行交流．

生1:我們組發(fā)現(xiàn),AD⊥MN,點(diǎn)D為垂足,DQ為定值,問題可以轉(zhuǎn)化為求直線MN所過的定點(diǎn),只要求到MN所過的定點(diǎn),點(diǎn)Q即為點(diǎn)A與此定點(diǎn)的中點(diǎn)．

師:為什么點(diǎn)Q即為點(diǎn)A與此定點(diǎn)的中點(diǎn)?

生1:這個(gè)點(diǎn)我們看成點(diǎn)F,△ADF是直角三角形,直角三角形垂足D與斜邊中點(diǎn)F連線的長度是斜邊的一半．

師:所以本題我們轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)問題,注重形在解析幾何中的應(yīng)用．

教師板書生1的方法．

數(shù)學(xué)運(yùn)算能力需要學(xué)生在解題過程中親身經(jīng)歷而得以提升．因此,在解析幾何的教學(xué)中,教師要向?qū)W生展示解題的具體過程,幫助學(xué)生經(jīng)歷具體的運(yùn)算過程．同時(shí),圓錐曲線問題往往與平面幾何內(nèi)容相關(guān)聯(lián),充分利用平幾知識(shí)有助于提升幾何直觀素養(yǎng)．

師:還有沒有別的方法?

生2:可通過平移坐標(biāo)系來簡化運(yùn)算過程．

師:如何平移,為什么這樣平移?

生2:以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立,構(gòu)造齊次式方程解決圓錐曲線,能夠簡化運(yùn)算過程．

齊次式體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美與和諧美,而圓錐曲線就是這兩種美的化身．構(gòu)造齊次式方程解決圓維曲線問題,不僅新穎別致,而且能簡化運(yùn)算過程,減元增效．基本轉(zhuǎn)化法、整體消元法、同構(gòu)轉(zhuǎn)化法、齊次處理法實(shí)現(xiàn)了設(shè)而不求．這幾種方法在解題中相輔相成,學(xué)生需要體驗(yàn)其中的內(nèi)涵才能提升解題能力．設(shè)而不求在解析幾何解題中經(jīng)常使用,是聯(lián)系解析幾何與函數(shù)、方程、不等式等相關(guān)內(nèi)容的紐帶和橋梁．將齊次式、整體消元等運(yùn)算方法介紹給學(xué)生有利于提高其數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

生3:還可以先求特殊情況再求一般情況．

師:對(duì),我們先求斜率不存在的情況,再過渡到一般情況．

2.3 活動(dòng)3:變式訓(xùn)練

圖1

(1)求橢圓C的方程;(2)若點(diǎn)D是線段AP的中點(diǎn),直線OD與直線FQ相交于點(diǎn)T,求證:點(diǎn)T在一條定曲線上運(yùn)動(dòng)．

設(shè)計(jì)意圖例3考查了定點(diǎn)問題,通過變式訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟其中的內(nèi)涵．

3 教學(xué)建議

結(jié)合上述教學(xué)片段,筆者從邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)三個(gè)方面給出相關(guān)的教學(xué)建議和思考．

(1)圓錐曲線的教學(xué)既要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,也要強(qiáng)調(diào)邏輯推理,這樣才能讓學(xué)生順暢地掌握新的知識(shí)．教師要將解題思維和解題方法盡可能地展現(xiàn)出來,而不是單純地講解解題過程．如在講解例2時(shí),目標(biāo)是找到定點(diǎn)Q,需要分析題干中哪些是有效的信息、針對(duì)這些信息應(yīng)該想到哪些知識(shí)點(diǎn)、考慮哪些幾何關(guān)系,這些都是對(duì)學(xué)生邏輯推理的培養(yǎng)．

(2)在處理圓錐曲線問題時(shí)要讓學(xué)生養(yǎng)成作圖的習(xí)慣,在圖形中尋找各個(gè)變量之間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．在具體的解題過程中,學(xué)生經(jīng)常陷入“找到了路”而“走不出路”的尷尬境地,從而導(dǎo)致很多學(xué)生對(duì)圓錐曲線問題望而生畏,甚至有學(xué)生調(diào)侃:不被圓錐曲線的運(yùn)算所虐,不足以談人生．但是,教師清楚地知道:從定義的視角出發(fā),依托平面幾何等知識(shí)對(duì)題目中的幾何特征進(jìn)行剖析,即把問題適當(dāng)?shù)貛缀位?讓定義與幾何相結(jié)合,往往能使解題思路豁然開朗．具體地說,在解決問題時(shí)動(dòng)中求靜,尋找定點(diǎn)和定值,能避免機(jī)械的運(yùn)算,從而為解題找到一個(gè)合理的突破口．

(3)圓錐曲線問題變量多、運(yùn)算量大,需要不斷地挖掘題目中的不變量(定點(diǎn)、定直線、定值等),發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口,以簡化運(yùn)算．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,而圓錐曲線是運(yùn)算訓(xùn)練的重要載體．在圓錐曲線問題的解決中,不僅僅需要大量的運(yùn)算,而且需要學(xué)生仔細(xì)觀察式子的結(jié)構(gòu)特征．其實(shí),在運(yùn)算過程中,對(duì)于每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)都要認(rèn)真地審視式子結(jié)構(gòu)的幾何特征,從而調(diào)整運(yùn)算方向,使問題迎刃而解．