大小比較引思考模型對比覓通法

四川省成都市玉林中學(xué)(610041)周翔

1 引言

近幾年高考的選擇題中頻繁出現(xiàn)大小比較問題,主要在于能夠多角度考查各種基本初等函數(shù)[1]如指對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的運(yùn)算及其單調(diào)性和不等式性質(zhì)問題.這類問題隨著時(shí)代發(fā)展和運(yùn)算工具的變化,考查的切入點(diǎn)豐富了起來,即以提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]為導(dǎo)向,綜合考查基本初等函數(shù)的運(yùn)算與轉(zhuǎn)化,構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性,以及對基本初等函數(shù)的估值等能力,對學(xué)生綜合能力要求較高.2022年新高考Ⅰ卷第7題和全國甲卷文理科第12 題均出現(xiàn)大小比較問題,分別以指對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)為數(shù)學(xué)模型考查學(xué)生的邏輯推理、運(yùn)算求解、推理論證等能力[3].下面將以高考題為這兩類數(shù)學(xué)模型的案例,追根溯源,研究這類題的解法,從而探討解決這類問題的統(tǒng)一方法,并提出一些自己的思考.

2 案例分析

2.1 案例1 以指對數(shù)函數(shù)為數(shù)學(xué)模型

題目1(2022年新高考Ⅰ卷第7 題)設(shè)a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,則( )

A.a

回歸教材普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-2·A 版》(人民教育出版社,2007年1 月第2 版)第32 頁習(xí)題1.3.B 第1(3)題:利用函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式ex >x+1,x0,并通過函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證.實(shí)際上,通過研究下凸函數(shù)f(x)=ex的圖象,發(fā)現(xiàn)f(x)在x=0 處的切線恰好是y=x+1,而且除了(0,1),f(x)的圖象都在y=x+1圖象的上方.類似的,可以得出ln(1+x)≤x(x>-1).

點(diǎn)評類似于解答題中含指對數(shù)函數(shù)的不等式證明問題,指對數(shù)的大小比較問題關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù),把大小比較的問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小.類似的題目在2022年高考全國甲卷文科第12 題也出現(xiàn)了,這里不再贅述.

2.2 案例2 以三角函數(shù)為數(shù)學(xué)模型

題目2(2022年高考全國甲卷理科第12 題)已知?jiǎng)t( )

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

回歸教材普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·必修4·A 版》(人民教育出版社,2007年1 月第2 版)第16 到17頁談到了三角函數(shù)線.由三角函數(shù)的正弦線與正切線,易得以下結(jié)論(以下簡稱銳角正弦正切值的放縮):若則sinx

點(diǎn)評解法1 是類比指對數(shù)大小比較問題的解法,構(gòu)造輔助函數(shù)并通過求導(dǎo)研究其單調(diào)性再比較大小.然而該題以三角函數(shù)為函數(shù)模型,從單調(diào)性以及極值方向出發(fā)往往較復(fù)雜(比較b與a,c與a時(shí)都用到二階導(dǎo)數(shù)),另外構(gòu)造輔助函數(shù)時(shí)需將分母的的分母)等價(jià)變成乘式(否則求導(dǎo)都很復(fù)雜).解法2 是利用三角函數(shù)本身與其自變量的大小關(guān)系(銳角正弦正切值的放縮)先將c與b相除并借助該放縮比較c與b的大小,再利用放縮結(jié)論的推論來比較b與a,c與a的大小.相較于解法1,由于使用了三角函數(shù)放縮的推論,解答過程簡化了不少.綜合考慮這兩種不同的函數(shù)模型,我們有沒有統(tǒng)一的方法來解決這類大小比較問題呢?

3 解法引申

對于基本初等函數(shù)(包括三角函數(shù))大小比較問題我們除了利用函數(shù)本身單調(diào)性比較,往往想到“估算”的方法(估值法).為了找尋統(tǒng)一的方法解決大小比較問題,需要引入一點(diǎn)高等數(shù)學(xué)的知識即泰勒展開.

根據(jù)泰勒定理,可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=0 處的泰勒展開式為:其中f(n)(x)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù),等號后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f(x)在x=0 處的泰勒展開式,剩余的o(xn)是泰勒公式的余項(xiàng),是xn的高階無窮小.

由此可得函數(shù)y=ex,y=ln(x+1),y=sinx,y=cosx在x=0 處的泰勒展開式分別為:

根據(jù)上述展開式,可以用兩個(gè)多項(xiàng)式的值去逼近這些基本初等函數(shù)的值(也可以看作對這些基本初等函數(shù)的估值),由此我們得到一系列重要不等式:當(dāng)x ∈(0,1)時(shí),

下面對前兩個(gè)不等式給予證明:

一方面,根據(jù)泰勒展開式得兩個(gè)不等式中間的基本初等函數(shù)與不等式左側(cè)的多項(xiàng)式相減都為正數(shù),所以不等式的左測不等號成立;

對案例1,由1.105 a > c; 對案例2,由得c>b>a.

采用多項(xiàng)式的值去“逼近”,是對基本初等函數(shù)的值很好的“估計(jì)”,這正是解決這類以基本初等函數(shù)為模型的大小比較問題的統(tǒng)一方法.這種方法的來源恰是我們所熟知的“極限”思想,也是高等數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)銜接.然而,這種方法也受限于“泰勒展開式”屬于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,大部分高中生未必能接觸到加之如果放縮的不恰當(dāng)(“過大”或者“過小”)都得不出相應(yīng)的大小結(jié)論.

4 教學(xué)建議

回歸教材,夯實(shí)基礎(chǔ)基本初等函數(shù)(指對冪函數(shù)和三角函數(shù))是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,也是高考的熱點(diǎn).從近幾年高考試題來看,以這類函數(shù)模型為載體結(jié)合函數(shù)相關(guān)知識的考題出現(xiàn)的頻率越來越高,由于此類問題在教材中有相應(yīng)的原型,這就要求我們在平時(shí)的教學(xué)中回歸教材,夯實(shí)基礎(chǔ),從教材例習(xí)題出發(fā)適當(dāng)引申,注重知識的本質(zhì).

關(guān)注本質(zhì),把握規(guī)律回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)是高考命題的必然趨勢,因此,關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)應(yīng)是教學(xué)上的重中之重.關(guān)注知識的本質(zhì)特征,關(guān)注知識間的內(nèi)在聯(lián)系,關(guān)注公式定理的形成過程,應(yīng)成為教學(xué)過程中的核心內(nèi)容.通過對近幾年高考試題的分析可以發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律:典型函數(shù)模型的考查如指對數(shù)函數(shù)模型和三角函數(shù)模型頻繁出現(xiàn)在選填題和大題的各個(gè)位置,難度可大可小,著重考查這些函數(shù)模型的運(yùn)算、轉(zhuǎn)換、圖象、函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用,蘊(yùn)含了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等思想方法.看起來花樣繁多,但萬變不離其宗,如果能從基本的函數(shù)模型入手,深刻理解其定義及其圖象特征,再借助相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法,就為破解此類問題提供了較好的途徑.另外,不要僅注重一題多解,而忽視多題一解.注重通性通法,淡化技巧,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì),才是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的,才能讓學(xué)生形成數(shù)學(xué)思維,增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力.

注重銜接,鍛煉思維教學(xué)中不僅要教會學(xué)生如何應(yīng)對考試中的各種題型,還要讓學(xué)生學(xué)會思考高考題目的設(shè)計(jì)意圖.這就要求教師要用新高考的標(biāo)準(zhǔn)審視常規(guī)教學(xué),提高自己的教育科研能力,注重“高觀點(diǎn)”下的中學(xué)數(shù)學(xué)銜接問題.隨著新一輪課改在全國如火如荼的進(jìn)行,隨著數(shù)學(xué)建模包括統(tǒng)計(jì)模型這些原來在大學(xué)才接觸的知識滲透到高中教材,高考作為高等學(xué)校招生的選拔性考試,對其中較難的試題采用高等數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)結(jié)合的方法解決也無可厚非.這類題目往往就是考查學(xué)生的知識遷移能力和綜合分析解決問題的能力,所以作為高中教師不僅要通過選修課或者第二課堂拓寬學(xué)生的知識面,更要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

落實(shí)課堂,培育素養(yǎng)高考中的大小比較問題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理等能力.在實(shí)際教學(xué)過程中,教師除了關(guān)注往年高考題中已經(jīng)出現(xiàn)的與指對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)有關(guān)的大小比較問題,還應(yīng)注意函數(shù)模型本身的概念與性質(zhì)以及各種函數(shù)模型的綜合應(yīng)用.2022年高考全國甲卷和新高考Ⅰ卷均在選擇題靠后位置出現(xiàn)了大小比較的問題.這也提醒教師在教學(xué)過程中應(yīng)更注重教材內(nèi)容的適當(dāng)融合,強(qiáng)調(diào)知識之間的聯(lián)系.與此同時(shí),鼓勵(lì)學(xué)生勤動(dòng)手、勤反思,多運(yùn)算、多思考,培育學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

結(jié)語這類大小比較的高考試題,以素養(yǎng)為落腳點(diǎn),考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本方法的掌握程度,考查學(xué)生對重要數(shù)學(xué)思想方法的理解程度,考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識橫向縱向的綜合能力,蘊(yùn)含著“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)的思維思考世界,用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的精神內(nèi)涵.