基于哈密頓力學(xué)的斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)協(xié)同分析

胡啟平, 宋佳樂

(河北工程大學(xué)土木工程學(xué)院, 邯鄲 056038)

斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)作為一種特殊的新型建筑結(jié)構(gòu),其獨(dú)特的結(jié)構(gòu)形式受到越來越多的關(guān)注,應(yīng)用也越來越廣泛,比較著名的建筑有廣州西塔、阿聯(lián)酋首都門以及深圳建成的京基100等[1-4]。

高層斜交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)有斜交網(wǎng)格筒和斜交網(wǎng)格筒-核心筒等結(jié)構(gòu)形式[1]。21世紀(jì)以來,中外學(xué)者逐漸加強(qiáng)了對(duì)斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)的理論研究。Moon等[2]首先提出了斜交網(wǎng)格筒中斜柱截面初步設(shè)計(jì)的方法,并推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的抗側(cè)剛度公式,其主要思路是考慮結(jié)構(gòu)中腹板的抗側(cè)能力,忽略翼緣側(cè)對(duì)抗側(cè)剛度的影響,將斜交網(wǎng)格筒體等效為懸臂梁。滕軍等[5]采用彈塑性動(dòng)力時(shí)程分析法,以鋼管混凝土斜交網(wǎng)格筒-鋼筋混凝土核心筒結(jié)構(gòu)為例,研究結(jié)構(gòu)體系中構(gòu)件的屈服順序及內(nèi)外筒抗震協(xié)同受力性能。史慶軒等[6]從結(jié)構(gòu)的塑性發(fā)展過程、受力情況、變形能力、內(nèi)外筒的抗側(cè)剛度及剪力滯后等方面,對(duì)斜交網(wǎng)格筒-鋼筋混凝土核心筒結(jié)構(gòu)協(xié)同工作的受力性能進(jìn)行了系統(tǒng)的分析。劉成清等[7-8]、方登甲等[9]通過斜交網(wǎng)格筒的抗側(cè)剛度、內(nèi)外筒結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布、結(jié)構(gòu)的倒塌機(jī)制及延性等因素探討結(jié)構(gòu)的抗震性能,并建立相同參數(shù)的框架-剪力墻結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行對(duì)比分析。張鋒等[10]采用等效連續(xù)化方法將斜交網(wǎng)格筒等效為各向異性連續(xù)筒體,基于能量變分原理推導(dǎo)結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)閉合解。通過進(jìn)一步分析得到結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形特征,結(jié)果表明,該類結(jié)構(gòu)的變形是彎曲型和剪切型的疊加,且具有明顯的剪力滯后效應(yīng)。胡啟平等將框筒結(jié)構(gòu)、筒中筒結(jié)構(gòu)等簡(jiǎn)化為具有彎曲變形和剪切變形的懸臂梁,通過哈密頓力學(xué)對(duì)結(jié)構(gòu)的協(xié)同工作性能、二階效應(yīng)及動(dòng)力特性進(jìn)行分析,并采用精細(xì)積分法對(duì)方程進(jìn)行數(shù)值求解,避免了復(fù)雜的公式推導(dǎo)且計(jì)算精度高[11-17]。

擬研究的斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)是由斜交網(wǎng)格筒與開有洞口的鋼筋混凝土核心筒組成的新型筒中筒結(jié)構(gòu)體系,其中斜交網(wǎng)格筒主要通過斜柱的軸向拉壓來承受豎向荷載和側(cè)向荷載,相比于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)體系,該結(jié)構(gòu)體系抗側(cè)承載力高、受力情況復(fù)雜。作為一種新型結(jié)構(gòu)體系,其受力特性和簡(jiǎn)化計(jì)算方法仍需深入研究。為了對(duì)斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)協(xié)同工作性能進(jìn)行研究,往往需對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。采用連續(xù)化方法,考慮外筒的剪力滯后效應(yīng)[18-19]以及內(nèi)外筒的彎曲變形和剪切變形,將斜交網(wǎng)格筒等效為正交各向異性連續(xù)筒體,將開有洞口的鋼筋混凝土剪力墻核心筒簡(jiǎn)化為雙肢剪力墻模型。

采用哈密頓力學(xué)的方法,根據(jù)勒讓德變換引入對(duì)偶變量,推導(dǎo)協(xié)同分析的哈密頓正則方程,結(jié)合精細(xì)積分法求解結(jié)構(gòu)的側(cè)移和內(nèi)力分布。將本文方法與有限元方法進(jìn)行對(duì)比,以驗(yàn)證本文方法的正確性,通過進(jìn)一步分析得出斜柱不同參數(shù)變化對(duì)斜柱軸力及內(nèi)外筒結(jié)構(gòu)協(xié)同工作性能的影響。該方法給斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)的力學(xué)求解提供了一種新思路、新方法,為工程初步設(shè)計(jì)及后續(xù)理論研究提供參考。

1 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化計(jì)算模型

斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)是由斜交網(wǎng)格筒與核心筒兩種類型的抗側(cè)力單元組成,內(nèi)外筒結(jié)構(gòu)在梁板的約束和協(xié)調(diào)作用下共同抵抗側(cè)向荷載。等效連續(xù)化方法是高層建筑結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化計(jì)算常用的分析方法,采用連續(xù)化方法將斜交網(wǎng)格筒等效為連續(xù)筒體,將開有洞口的鋼筋混凝土剪力墻核心筒簡(jiǎn)化為雙肢剪力墻模型,同時(shí)考慮內(nèi)外筒的彎曲變形和剪切變形,將連接內(nèi)外筒的樓板等效為剛性連桿?；谝陨戏椒?該結(jié)構(gòu)協(xié)同分析的空間模型可簡(jiǎn)化為平面模型,計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖1所示,簡(jiǎn)化分析采用如下基本假定:①樓板自身平面內(nèi)剛度無限大,平面外剛度忽略不計(jì),內(nèi)外筒通過剛性樓板連接,樓板的作用沿高度連續(xù)化,兩者水平變形協(xié)調(diào)一致;②考慮斜交網(wǎng)格筒與核心筒的彎曲變形和剪切變形,將其等效為兩根均勻連續(xù)的鐵摩辛柯懸臂梁;③不考慮結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)效應(yīng);④斜交網(wǎng)格筒與核心筒各層剛度保持不變。在實(shí)際工程應(yīng)用中,當(dāng)各層剛度變化不大時(shí),宜采用加權(quán)平均值。

q為外荷載;H為結(jié)構(gòu)樓層高度圖1 高層斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.1 Sketch for calculation of high-rise diagonal intersecting grid cylinder-core cylinder structure

采用文獻(xiàn)[10]中的連續(xù)化方法將斜交網(wǎng)格筒中斜柱和環(huán)梁組成的穩(wěn)定三角形單元等效為均勻的正交異性板,形成一個(gè)由若干正交異性板圍成的實(shí)腹薄壁筒體,如圖2所示。等效連續(xù)化模型計(jì)算的關(guān)鍵是求出等效筒體的等效彈性模量和等效剪切模量。采用連續(xù)板單元與斜交網(wǎng)格單元的豎向剛度和剪切剛度相等原則,推導(dǎo)等效連續(xù)體的等效彈性模量Eequ與等效剪切模量Gequ,其表達(dá)式分別為

(1)

(2)

(3)

式中:Ed、Ad分別為斜交網(wǎng)格筒中斜柱的彈性模量和截面面積;b和t分別為連續(xù)板殼單元的寬度和厚度;α為斜柱與水平面的夾角;l為斜柱間距。

內(nèi)筒采用開有洞口的鋼筋混凝土核心筒,其中洞口將核心筒劃分為4片各自獨(dú)立的“L”型剪力墻,通過連梁將它們連在一起。參考高層建筑中剪力墻的分類[20],可按照雙肢剪力墻模型計(jì)算。為簡(jiǎn)化分析,采用文獻(xiàn)[21]中雙肢剪力墻等效抗彎剛度E2I2和等效抗剪剛度G2A2的計(jì)算方法,其中,E2為核心筒的彈性模量,I2為核心筒的慣性矩,G2為核心筒的剪切模量,A2為核心筒的橫截面面積,具體推導(dǎo)過程可參閱文獻(xiàn)。

2 位移場(chǎng)函數(shù)及拉格朗日函數(shù)

選取等效連續(xù)筒體的側(cè)移v1(z)、截面轉(zhuǎn)角θ1(z)、翼緣和腹板的最大縱向位移差函數(shù)W1(z)和W2(z)作為廣義位移,考慮斜交網(wǎng)格筒的剪力滯后效應(yīng),假設(shè)結(jié)構(gòu)中翼緣與腹板的縱向位移場(chǎng)函數(shù)分別為二次曲線和三次曲線,構(gòu)造等效筒體翼緣和腹板的縱向位移場(chǎng)函數(shù)為

(4)

式(4)中:wf為等效連續(xù)筒的翼緣側(cè)Z方向位移場(chǎng);z、y為坐標(biāo);ww為腹板側(cè)Z方向位移場(chǎng);a為翼緣側(cè)寬度的1/2;b為腹板側(cè)寬度的1/2。

等效連續(xù)筒體的應(yīng)變能可表示為

(5)

式(5)中:Ef、Gf分別為翼緣等效彈性模量和等效剪切模量;εzf為翼緣側(cè)正應(yīng)變;A為積分區(qū)域面積;γxz為翼緣側(cè)剪切應(yīng)變;Ew、Gw為腹板等效彈性模量和等效剪切模量;εzw為腹板側(cè)正應(yīng)變;γyz為腹板側(cè)剪切應(yīng)變;A1為斜交網(wǎng)格筒的積分區(qū)域。

將核心筒簡(jiǎn)化為雙肢剪力墻,不考慮剪力滯后效應(yīng)。選取核心筒的側(cè)移v2(z)、截面轉(zhuǎn)角θ2(z)作為廣義位移,剪力墻的縱向位移符合平截面假定,位移場(chǎng)為

w=-yθ2(z)

(6)

核心筒的應(yīng)變能為

(7)

式(7)中:A2為核心筒的積分區(qū)域;E2為核心筒的彈性模量;εz為核心筒的正應(yīng)變;G2為核心筒的剪切模量;γz為核心筒的剪切應(yīng)變。

由于剛性樓板的作用,內(nèi)外筒兩個(gè)抗側(cè)力體系水平變形協(xié)調(diào),即v(z)=v1(z)=v2(z)。

當(dāng)結(jié)構(gòu)上作用沿高度變化的側(cè)向荷載q(z)時(shí),結(jié)構(gòu)的外力勢(shì)能為

(8)

結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能為

Π=Π1+Π2+Π3

(9)

結(jié)構(gòu)的總勢(shì)能密度表達(dá)式即為斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)協(xié)同分析的拉格朗日函數(shù)為

(10)

式(10)中的應(yīng)變分量可由位移場(chǎng)函數(shù)和彈性力學(xué)的幾何方程求出,整理后拉格朗日函數(shù)的矩陣表達(dá)式為

(11)

3 哈密頓對(duì)偶體系

通過勒讓德變換,引入廣義位移q的對(duì)偶變量p,p的物理意義即為廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。其表達(dá)式為

(12)

將問題由拉格朗日力學(xué)體系轉(zhuǎn)變到哈密頓力學(xué)體系,導(dǎo)出哈密頓函數(shù)為

(13)

由式(13),得到哈密頓正則方程[22]為

(14)

4 結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算

通過對(duì)實(shí)腹筒體斷面應(yīng)變積分,求出斜柱相交節(jié)點(diǎn)位置的內(nèi)力,再利用相交節(jié)點(diǎn)的平衡關(guān)系可以得到斜柱的軸力。翼緣側(cè)平面相交節(jié)點(diǎn)的豎向力Nz與水平力Qz可分別表示為

(15)

式(15)中:xj為翼緣側(cè)相交斜柱的平面節(jié)點(diǎn)位置;lf為翼緣側(cè)相交斜柱柱距。

腹板側(cè)平面相交節(jié)點(diǎn)的豎向力與水平力為

(16)

式(16)中:yj為腹板側(cè)相交斜柱的平面節(jié)點(diǎn)位置;lw為腹板側(cè)相交斜柱柱距。

利用式(15)和式(16),結(jié)合節(jié)點(diǎn)平衡條件,求出高度z處的斜柱軸力為

(17)

5 計(jì)算實(shí)例

某外筒采用斜交網(wǎng)格筒,內(nèi)筒采用開洞的鋼筋混凝土核心筒的筒中筒高層建筑結(jié)構(gòu)共54層,層高為3.9 m,總高度為210.6 m。外筒平面尺寸為36 m×36 m,斜柱柱距為9 m,與水平面夾角α=69°,截面為箱形,尺寸為800 mm(寬)×800 mm(高)×20 mm(壁厚)×20 mm(壁厚),環(huán)梁截面也為箱形,尺寸為300 mm(寬)×800 mm(高)×20 mm(壁厚)×20 mm(壁厚),外筒材料彈性模量Ed為206 GPa。內(nèi)筒平面尺寸為18 mm×18 mm,墻肢寬度為8 m,連梁高度為1 m,墻肢厚度為0.4 m,混凝土采用C60;結(jié)構(gòu)承受頂點(diǎn)集中荷載101.4 kN。

按2～4節(jié)的方法算出簡(jiǎn)化計(jì)算模型對(duì)應(yīng)的各個(gè)物理量后,即可確定式(14)。利用MATLAB編程采用精細(xì)積分算法可以快速計(jì)算出廣義位移和廣義力,進(jìn)而得到協(xié)同分析所需的結(jié)構(gòu)側(cè)向位移及各項(xiàng)內(nèi)力。

為了驗(yàn)證本文方法的正確性,采用ETABS軟件對(duì)高層結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析。在有限元程序中,采用剛架單元模擬斜柱和環(huán)梁,墻單元模擬核心筒剪力墻。兩種方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖3～圖6所示。兩種方法計(jì)算結(jié)果除少數(shù)數(shù)據(jù)外,相對(duì)誤差都小于5%。

圖3 結(jié)構(gòu)側(cè)向位移Fig.3 Lateral displacement of structure

由圖3的側(cè)移可以發(fā)現(xiàn),斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)的側(cè)向變形為“彎曲型”。

斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)樓層彎矩分布如圖4所示,內(nèi)外筒的樓層最大彎矩均作用在基底處,且隨著樓層的增加而減小,外筒各樓層彎矩明顯大于內(nèi)筒,因此外筒承擔(dān)更多的彎矩,為結(jié)構(gòu)的主要抗彎構(gòu)件。結(jié)構(gòu)樓層剪力分布如圖5所示,有限元方法分析得到的內(nèi)外筒樓層剪力存在起伏變化。而由于本文方法采用連續(xù)化假定,無法反映實(shí)際受力狀態(tài)下樓層剪力的突變,因此內(nèi)外筒剪力沒有起伏變化,計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)剪力近似為定值。結(jié)構(gòu)中內(nèi)筒的最大剪力作用在基底處,隨著樓層的增加而減小,外筒的剪力隨樓層的增加而增大,除底部少數(shù)樓層外,外筒承擔(dān)更多的剪力,為結(jié)構(gòu)主要的抗剪構(gòu)件。

圖5 結(jié)構(gòu)樓層剪力分布Fig.5 Shear force distribution of structural floors

標(biāo)高z=11.7 m處節(jié)點(diǎn)力與斜柱軸力分布如圖6所示?？梢钥闯?本文方法與有限元計(jì)算結(jié)果吻合良好。在側(cè)向荷載作用下,結(jié)構(gòu)中的斜柱主要承受軸力作用,腹板側(cè)存在受壓區(qū)與受拉區(qū),兩區(qū)域相互重疊,導(dǎo)致內(nèi)力圖中腹板側(cè)斜柱軸力存在起伏變化。翼緣側(cè)斜柱內(nèi)力是由腹板側(cè)斜柱內(nèi)力通過角部相交斜柱傳遞而來,內(nèi)力的傳遞途徑在轉(zhuǎn)角處發(fā)生轉(zhuǎn)折,傳遞而來的軸力交叉分配到翼緣側(cè)的斜柱上。基于相交節(jié)點(diǎn)豎向力對(duì)斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)剪力滯后效應(yīng)進(jìn)行研究,整個(gè)分析過程簡(jiǎn)便,更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的整體內(nèi)力分布。從圖6中可以看出,斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)具有明顯的剪力滯后效應(yīng)。

圖6 頂點(diǎn)集中荷載作用下內(nèi)力結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of internal force results under concentrated load at the vertex

本文方法得到斜柱區(qū)段標(biāo)高處的剪力和彎矩如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)的剪力和彎矩Table 1 Structural shear force and bending moment

6 協(xié)同工作影響因素分析

斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)作為一種新型的雙重抗側(cè)力結(jié)構(gòu),其受力機(jī)理與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同,斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)具有較強(qiáng)的彎曲剛度和剪切剛度。通過理論研究發(fā)現(xiàn),斜交網(wǎng)格筒和核心筒的彎曲剛度與剪切剛度對(duì)結(jié)構(gòu)的側(cè)向位移及內(nèi)力影響較為明顯。外筒剛度的控制因素為斜柱角度和斜柱的截面尺寸,本節(jié)通過改變斜柱截面尺寸來研究斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)協(xié)同工作性能的影響。

對(duì)上述算例模型中斜交網(wǎng)格筒的斜柱截面進(jìn)行調(diào)整,截面由原始的800 mm(寬)×800 mm(高)×20 mm(壁厚)×20 mm(壁厚)改變?yōu)? 000 mm(寬)×1 000 mm(高)×40 mm(壁厚)×40 mm(壁厚)和600 mm(寬)×600 mm(高)×20 mm(壁厚)×20 mm(壁厚),分析結(jié)果如表2所示。

表2 不同斜柱截面下結(jié)構(gòu)的側(cè)移和內(nèi)力Table 2 Side displacement and internal force of the structure under different inclined column sections

從表2數(shù)據(jù)中可以看出,當(dāng)斜柱截面面積減小25%時(shí),結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)側(cè)移增大13%。隨著斜柱截面面積的減小,斜交網(wǎng)格筒的剛度逐漸減小,結(jié)構(gòu)的整體彎曲側(cè)移和剪切側(cè)移增大。當(dāng)斜柱截面面積較小時(shí),基底的彎矩和剪力主要由核心筒承擔(dān)。相反地,當(dāng)斜柱截面面積增大59%時(shí),結(jié)構(gòu)的頂點(diǎn)側(cè)移減小49%。隨著斜柱截面面積的增加,斜交網(wǎng)格筒承擔(dān)的彎矩和剪力逐漸增大,成為結(jié)構(gòu)中主要的抗彎構(gòu)件和抗剪構(gòu)件。研究表明,斜柱截面面積對(duì)斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)的協(xié)同工作性能有顯著影響。

7 結(jié)論

(1)哈密頓力學(xué)提出斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)協(xié)同分析新方法,并采用精細(xì)積分法求解出高精度數(shù)值解,理論推導(dǎo)過程便捷。與有限元方法對(duì)比,數(shù)值吻合良好,一般相對(duì)誤差不超過5%,驗(yàn)證了本文方法的正確性。該方法可在結(jié)構(gòu)初步設(shè)計(jì)階段對(duì)結(jié)構(gòu)方案進(jìn)行快速分析驗(yàn)證。

(2)斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)在水平荷載作用下的側(cè)向變形呈“彎曲型”。區(qū)別于一般的框架-核心筒結(jié)構(gòu),斜交網(wǎng)格筒-核心筒大部分的樓層剪力和彎矩由斜交網(wǎng)格筒承擔(dān)。除底部少數(shù)樓層外,其余樓層剪力沿高度變化不大。

(3)斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)具有明顯的剪力滯后效應(yīng),本文方法能夠較準(zhǔn)確地分析剪力滯后效應(yīng)的影響。

(4)分析了斜交網(wǎng)格筒-核心筒結(jié)構(gòu)的斜柱截面面積對(duì)內(nèi)外筒結(jié)構(gòu)協(xié)同工作的影響。結(jié)果表明,當(dāng)斜柱的截面面積增大,側(cè)移將明顯減小,斜交網(wǎng)格筒承擔(dān)的彎矩和剪力增大,成為結(jié)構(gòu)的主要抗彎構(gòu)件和抗剪構(gòu)件。