數(shù)學(xué)建模方法在施工管理中的應(yīng)用分析

宮驚立(安徽三建工程有限公司建設(shè)工程研究院，安徽 合肥 230000)

0 引言

數(shù)學(xué)作為跨越人生教育十年以上的基礎(chǔ)教育學(xué)科，其本質(zhì)是揭示自然界各種量之間的變化關(guān)系。數(shù)學(xué)的誕生和發(fā)展就是為了給人類在生產(chǎn)實際中遇到的問題進(jìn)行解答。隨著計算機(jī)分析軟件的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模研究不僅在工程技術(shù)、自然科學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮著越來越重要的作用，而且迅速向經(jīng)濟(jì)、管理、金融、生物、醫(yī)學(xué)、環(huán)境、地質(zhì)、人口、交通等各類領(lǐng)域滲透，數(shù)學(xué)分析技術(shù)正在成為重要工具。但另一方面，在建筑施工決策領(lǐng)域，大部分工程管理人員從一開始就失去了對數(shù)學(xué)的興趣，認(rèn)為數(shù)學(xué)就等于考試，一定程度上阻礙了數(shù)學(xué)成為建筑企業(yè)生產(chǎn)建設(shè)決策領(lǐng)域有力分析的工具。

1 淺談數(shù)學(xué)建模

所謂數(shù)學(xué)建模，就是把各類應(yīng)用題細(xì)節(jié)化、全面化、現(xiàn)實化，運(yùn)用量與量之間的變化關(guān)系去模擬分析事物的變化規(guī)律。數(shù)學(xué)建模思想方法在各生產(chǎn)制造領(lǐng)域的理論研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，很多政府層面的政策研究和制定就是建立在數(shù)學(xué)建模的分析上，但在施工管理決策領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用還尚未得到應(yīng)有的重視。相比BIM 技術(shù)的實體建模而言，它是一種虛擬的理論建模分析技術(shù)，其本質(zhì)就是根據(jù)各類事物的運(yùn)行規(guī)律去挖掘條件，自己提出問題，定量分析得出一定的最優(yōu)解決方案，當(dāng)然這對管理分析者的數(shù)學(xué)功底和邏輯思維水平提出了較高的要求。全國各理工類高校都有數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)，國家每年也舉辦數(shù)學(xué)建模競賽活動，但數(shù)學(xué)建模工作似乎只在校園中存在，它往往變成了一種學(xué)生裝點在校簡歷的工具，走出校門后很少有人真正堅持把這種思想往生產(chǎn)實踐中去探索推廣并付諸行動。誠然，要做好這一工作絕非易事，它不但需要長期的理論知識學(xué)習(xí)積累，還需與具體管理實踐相結(jié)合，結(jié)合建筑施工領(lǐng)域特點，使數(shù)學(xué)建?？汕袑嵉貎?yōu)化生產(chǎn)成本，并為管理決策提供理論層面的指導(dǎo)。

作為工程領(lǐng)域管理者，建模工作的本質(zhì)僅僅是培養(yǎng)把實際問題翻譯為數(shù)學(xué)語言的能力，現(xiàn)有的文獻(xiàn)資料對數(shù)學(xué)建模在各類工程問題上的理論研究都已比較成熟，但絕大部分都是從純數(shù)學(xué)專業(yè)角度去介紹建模方法的，公式參數(shù)復(fù)雜加上語言晦澀難懂，讓非數(shù)學(xué)專業(yè)出身的人望而生畏，給實際入門學(xué)習(xí)帶來不小的困難，導(dǎo)致這項具有深刻意義的分析工作無法在實際項目中得到落實推廣。下面針對建筑工程中的鋼筋下料問題，將其中一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論本質(zhì)通俗化、簡單化，刪去對生產(chǎn)實際無用的繁瑣概念，用大眾能接受的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的用處。

2 鋼筋下料成本優(yōu)化問題

鋼筋工程作為建筑主體結(jié)構(gòu)的重要組成部分，其成本造價往往能占到整個項目總造價的三分之一以上，因此對鋼筋下料過程加以慎重分析考慮就顯得尤其重要，好的決策安排可以做到最大程度地優(yōu)化材料成本，為企業(yè)節(jié)省大量不必要的材料浪費(fèi)，在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域解決此類問題的知識點被稱為多元線性規(guī)劃（知識點來自運(yùn)籌學(xué)和線性代數(shù)）。

2.1 問題定義

鋼筋工程大家再熟悉不過，如針對一道梁，根據(jù)圖紙可以算出此梁所需的各類鋼筋工程量（長度），而采購進(jìn)場的鋼筋都有其固定的長度規(guī)格（比如9 米定長一根），而配這道梁所需的鋼筋有很多種長度，那么這里就存在一個問題，即工人下料鋼筋時是怎么拿取原料的。那么有沒有一個可行的決策辦法做到盡量減少鋼筋的浪費(fèi)？可以這么考慮：例如對一混凝土構(gòu)件，已算出清單工程量需要1.7m、3.2m、5.5m 和7.6m 四種實際下料長度鋼筋各為100 根、80 根、90 根和60根，現(xiàn)場只有足量的定長9m 鋼筋，到底最少要多少根定長鋼筋可以配好此構(gòu)件（暫時忽略加工損耗問題）。

每根9m 長鋼筋可以被怎樣切割利用（使切割后的余料盡可能?。梢园迅鞣N切割情況一一列舉出來。

下料方案1：每根9m 鋼筋用來下料1根7.6m筋，剩下余料1.4m。

下料方案2：每根9m 鋼筋用來下料3.2m和5.5m筋各1根，剩下余料0.3m。

下料方案3：每根9m 鋼筋用來下料1.7m筋5根，剩下余料0.5m。

下料方案4：每根9m 鋼筋用來下料1 根3.2m 筋和3 根1.7m 筋，剩下余料0.7m。

下料方案5：每根9m 鋼筋用來下料1 根5.5m 筋和2 根1.7m 筋，剩下余料0.1m。

2.2 建模思路

現(xiàn)在每根9m 鋼筋有5 種切割下料選擇（實際工程中鋼筋種類更多，組合方式種類更復(fù)雜），靠人工去一一組合枚舉往往無能為力，需要動用分析軟件，市面上主流的數(shù)學(xué)建模分析軟件有MATLAB 和LINGO，MATLAB 適用于大型綜合問題的編程分析，入門學(xué)習(xí)和實際推廣難度較大這里不做介紹，只討論LINGO 下面把已列舉的下料方案制成表1。

表1 鋼筋下料切割方案匯總

表2 報告部分?jǐn)?shù)據(jù)表

在這個問題中，目標(biāo)是找到滿足完成工程量的最少定長鋼筋消耗量，而完成工程量所消耗的9m 定長鋼筋總量就是這5 種下料方案分別使用的次數(shù)總和（稱為目標(biāo)函數(shù)），這里設(shè)下料方案1-5分別使用的次數(shù)分別為x1,x2,x3,x4,x5，即x1+x2+x3+x4+x5。

現(xiàn)在有5 種下料方案，那么每種下料方案各使用多少次（或5 種方案不全用，只用其中的某幾個）可完成所需的工作量？這里可以用中小學(xué)學(xué)過的列方程來表述這一問題，根據(jù)所需完成工作量可以列出以下的方程組，

此方程組建立的含義即為所需完成的工程量，1～4 行表示下料方案分別對四種鋼筋所生成的總量，例如第一個方程表示5 種下料方案對1.7m 鋼筋生成的總量：使用x1次下料方案1會形成0根1.7m 鋼筋，使用x2次下料方案2 會生成0 根1.7m 鋼筋，使用x3次下料方案3 會生成5 根1.7m 鋼筋，使用x4次下料方案4 會生成3 根1.7m 鋼筋，使用x5次下料方案5 會生成2 根1.7m 鋼筋，而這些使用次數(shù)生成的根數(shù)總和應(yīng)不小于1.7m鋼筋的所需工程量100 根，后三種鋼筋同理。最后行表示這5 類方案使用次數(shù)均不為負(fù)。

現(xiàn)在這個下料問題就轉(zhuǎn)化成在x1～x5滿足上面方程組所列的約束條件下，求表達(dá)式x1+x2+x3+x4+x5的最小值。這顯然是個五元一次函數(shù)求最值問題，若采用筆算則需要數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生最優(yōu)化課程相關(guān)知識，已經(jīng)走出校門多年的工程管理者自然沒必要再去學(xué)習(xí)這些較難的理論，有現(xiàn)成的建模計算器來完成結(jié)果運(yùn)算工作。

2.3 利用分析軟件進(jìn)行模型求解

所謂模型求解就是從已找出的各變量約束條件下求出問題答案。對于鋼筋這類多元線性規(guī)劃函數(shù)問題，通常使用LINGO 軟件進(jìn)行模型求解（LINGO 專門為求解線性/非線性規(guī)劃函數(shù)最優(yōu)化問題開發(fā)）。

LINGO 對于求解一般線性規(guī)劃問題容易上手，沒有復(fù)雜的編程語法語句，基本上和使用計算器輸入差不多，打開軟件進(jìn)入輸入主界面就可以直接按照數(shù)學(xué)式的書寫樣式輸入方程組的各行。此問題的輸入代碼如圖1 所示；注意這里是求x1+x2+x3+x4+x5的最小值，稱為目標(biāo)函數(shù)放在第一行，前面加上“min=”。代碼最后一行的“@gin（）”字符串的含義是定義自變量為非負(fù)數(shù)。輸入完畢后點擊上方工具欄中的“solve”按鈕即可對模型進(jìn)行求解，結(jié)果輸出如圖2所示，下面將對求解結(jié)果文本做一個全面解釋。

圖2 LINGO12.0模型求解結(jié)果報告

2.4 查看求解結(jié)果、分析問題

對其結(jié)果報告進(jìn)行分析，并根據(jù)報告做出科學(xué)合理的管理決策。

結(jié)果報告第一行英文意為已找到全局最優(yōu)解（全局最優(yōu)解是數(shù)學(xué)優(yōu)化分析的專業(yè)概念，在鋼筋工程優(yōu)化問題上不必關(guān)注）。第二行“Objective value（目標(biāo)值）”即為建模問題答案，本鋼筋下料問題的最優(yōu)解是完成這一工程量最少需消耗166 根9m 的定長鋼筋，也就是在生產(chǎn)實際中任何使用了超過166 根鋼筋的行為都必存在不合理的材料浪費(fèi)，管理者可根據(jù)建模求解結(jié)果制定現(xiàn)場定量包干包料制度，最大程度的做到節(jié)約材料成本。光知道一個結(jié)果還不夠，還需進(jìn)一步觀察分析各個變量的具體屬性。對于鋼筋下料工程需重點關(guān)注以下部分?jǐn)?shù)據(jù)。

前面的Variable 意為全部變量，下面的X1～X5的值即為取得目標(biāo)最優(yōu)值時（鋼筋消耗最小時）5 個切割下料方案各自的使用次數(shù)。后面的Reduced Cost欄數(shù)據(jù)的實際意義是各變量的取值對目標(biāo)函數(shù)值的影響程度大小，通俗地說就是哪個變量最重要，對建模結(jié)果的影響最大?？梢钥吹絏1～X5 的Reduced Cost 全為1，說明5 種切割下料方案對建模最終結(jié)果的影響程度是相等的，在實際工程中鋼筋種類繁多下料方案也更多，各方案的Reduced Cost 值不盡相同，應(yīng)特別關(guān)注那些Reduced Cost值較高的變量，它們往往對問題結(jié)果的影響很大，在管理中應(yīng)予以重視。另外結(jié)果中可以看到達(dá)到最優(yōu)解時第3 種下料方案的使用次數(shù)為0 且Reduced Cost 值為1，說明這種下料方式不宜采用，而生產(chǎn)實際中這種單獨把定長鋼筋斷為多段小鋼筋往往是構(gòu)件箍筋的下料做法，理論證明這種下料模式達(dá)不到鋼筋用量的最小化，應(yīng)采取與其它型號鋼筋混合下料的方式。

最后對比一下如果不用數(shù)學(xué)建模方法，隨意采取一個下料方案和建模分析的方案結(jié)果有什么不同，假設(shè)對1.7m筋，用9m 定長筋下料5 根，總鋼筋消耗量為100/5=20 根。對3.2m 和5.5m 筋合并用9m定長筋下料需消耗90根。對7.6m 筋需消耗9m 定長筋60 根。總計消耗20+90+60=170 根，比建模分析的結(jié)果（166 根）多消耗4 根，足足36m 長，如果現(xiàn)場實際中再不仔細(xì)做好剩余料筋的合理利用工作，僅一個構(gòu)件就有如此的差距，整個項目整個企業(yè)的龐大鋼筋工程量造成的消耗差距可想而知。

當(dāng)然，不管使用什么技術(shù)都只是一種輔助手段，最關(guān)鍵的是真正在生產(chǎn)實際中推廣落實。像以上的建模問題，要真正落實需要改變鋼筋工的下料習(xí)慣，并提前說明加上包料監(jiān)督，這往往需要時間并且存在一定的難度，這對企業(yè)的管理水平和力度提出了新的高度要求。

3 結(jié)語

目前數(shù)學(xué)建模在建設(shè)施工領(lǐng)域的理論研究成果已經(jīng)非常廣泛，涉及土方工程、現(xiàn)場放線、鋼筋下料、塔吊布置、施工方案比選、建設(shè)投資預(yù)測等很多方面。尤其是鋼筋下料問題，其理論背景容易學(xué)習(xí)理解，并且可和算量軟件一樣發(fā)展為成熟模塊化工作。然而這些研究成果很少真正應(yīng)用在實際項目中。在建筑業(yè)市場競爭日益激烈及綠色建造+雙碳目標(biāo)要求日漸嚴(yán)格的環(huán)境下，尋求更加科學(xué)先進(jìn)的創(chuàng)新管理方法已成為建筑企業(yè)發(fā)展的必修課，數(shù)學(xué)建模研究推廣不失為一個非常好的創(chuàng)新發(fā)展方向，它更是建筑企業(yè)科研項目課題的有力分析工具，建筑企業(yè)科研技術(shù)部門應(yīng)予以特別重視，注意培養(yǎng)相關(guān)科研人員的數(shù)學(xué)思維和建模素養(yǎng)。