考慮兩端實(shí)際約束的隧道施工誘發(fā)鄰近樁基響應(yīng)解析解

孫影杰，施成華，王祖賢，張軒煜，鄭曉悅

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙，410075)

城市地下隧道穿越建筑物密集區(qū)域時，將不可避免地對鄰近既有樁基產(chǎn)生影響。隧道施工擾動周圍土體，進(jìn)而導(dǎo)致鄰近樁基產(chǎn)生附加變形和內(nèi)力，嚴(yán)重時可能影響上部結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，危及上部結(jié)構(gòu)安全。因此，如何較準(zhǔn)確地預(yù)測樁基響應(yīng)對于指導(dǎo)現(xiàn)場施工具有重要意義。隧道施工對鄰近樁基的影響的實(shí)質(zhì)是隧道-土體-樁基之間相互作用，目前研究手段主要有現(xiàn)場實(shí)測[1-3]、物理模型試驗(yàn)[4-6]、數(shù)值模擬[7-9]和理論解析[10-12]。相較于前幾種方法，理論解析物理意義明確、計算方便快捷，是解決該問題的有效手段之一[13-14]。當(dāng)前，基于解析法研究隧道施工誘發(fā)鄰近樁基響應(yīng)問題時，主要采用兩階段分析法[11,15-16]，即首先計算隧道施工后樁位處土體自由場位移，然后將土體位移以附加荷載的形式作用在樁基上，并根據(jù)地基梁理論建立樁基變形的控制微分方程，繼而基于邊界條件求得控制方程的嚴(yán)格解析解或半解析解。但該問題的控制方程往往為四階非齊次微分方程，當(dāng)荷載形式較復(fù)雜時，在數(shù)學(xué)上要得到其嚴(yán)格解析解存在一定的困難。相對而言，有限差分法可以避免高階微分方程在數(shù)學(xué)求解上的困難，且對復(fù)雜荷載形式和層狀地基均具有良好的適用性，目前被廣泛應(yīng)用于樁基響應(yīng)問題的研究[17-19]。值得注意的是，為便于差分方程的求解，既有研究往往將樁基視為樁頂無約束、樁端自由的有限長梁[10-11,13,16,20]。將摩擦樁的樁端視為自由邊界是可行的，但對于端承樁特別是嵌巖樁，巖層對樁端的約束不可忽略。另外，工程中除部分隔離樁外，樁頂通常嵌入承臺或筏板基礎(chǔ)，將其簡化為自由邊界與實(shí)際情況不符。求解微分方程實(shí)質(zhì)上是求解處理邊值問題，邊界條件是求解微分方程的決定性因素。由此可見，考慮樁基兩端的實(shí)際約束狀態(tài)是很有必要的。

現(xiàn)階段，樁-土相互作用問題解析模型的構(gòu)建仍然依賴于彈性地基梁理論，即將樁基視為彈性地基中的有限長梁，由此結(jié)合不同的地基模型和梁理論即可建立多種解析計算模型。目前，常用的地基模型中Winkler地基模型未考慮地基彈簧間的剪切效應(yīng)，盡管Pasternak 地基模型彌補(bǔ)了這一不足，但采用Pasternak 地基模型計算時土體剪切參數(shù)主要憑借經(jīng)驗(yàn)確定，既有研究成果中參數(shù)取值差別較大。相較于前2種地基模型，Vlasov地基模型能夠反映土體剪切特性，且參數(shù)取值更具理論依據(jù)[13]。與Euler-Bernoulli梁相比，Timoshenko梁能同時反映彎曲和剪切特性，故將樁基等效為Timoshenko梁更具廣義性。

隧道近接施工誘發(fā)鄰近樁基橫向附加響應(yīng)，為此，在既有研究的基礎(chǔ)上，采用兩階段法并考慮樁基兩端的實(shí)際約束狀態(tài)，將樁基視作Vlasov地基中端部為任意彈性約束的Timoshenko 梁，建立樁基橫向變形的廣義解析計算模型，基于有限差分法獲得樁基附加變形和內(nèi)力的半解析解。

1 計算模型

隧道-土體-樁基的相互作用模型如圖1(a)所示，其中，Hi為第i層土層厚度，ki和ti分別為第i層土層的地基反力系數(shù)和荷載傳遞率，R和H分別為隧道半徑和軸線埋深，Lp和Dp分別為樁基長度和直徑，y0為隧道軸線與樁基水平間距。樁基在附加荷載作用下產(chǎn)生附加變形和內(nèi)力。考慮樁頂承臺(或筏板基礎(chǔ))及樁端巖土體對樁基兩端的實(shí)際約束，將樁基視為兩端受水平彈簧(剛度分別為Kt0和Ktn)和轉(zhuǎn)動彈簧(剛度分別為Kθ0和Kθn)約束的彈性地基梁，如圖1(b)所示，其中q(z)為樁位處土體橫向位移產(chǎn)生的附加荷載，p(z)為地基反力。

圖1 隧道-土體-樁基簡化計算模型Fig.1 Simplified calculation model of tunnel-soil-pile

2 理論推導(dǎo)

2.1 基本假定

本文僅分析隧道施工完成后鄰近樁基的變形和內(nèi)力，不考慮隧道施工過程對樁基響應(yīng)的影響。首先進(jìn)行如下假定：

1) 樁基等效為可同時反映彎曲和剪切特性的Timoshenko梁；

2) 采用Vlasov 地基模型描述樁-土相互作用關(guān)系；

3) 忽略樁基和土體之間的摩擦且兩者變形協(xié)調(diào)。

2.2 解析模型的控制方程

對于Vlasov 地基，地基中任意一點(diǎn)的地基反力p與該點(diǎn)位移w的關(guān)系為[21]

式中：k和t分別為地基反力系數(shù)和荷載傳遞率[22]；Es和μs分別為土體彈性模量和泊松比；He為地基彈性層厚度，LIANG 等[23-24]建議其取樁徑的2.5 倍；h=h(z)，為描述位移沿豎向變化的函數(shù)，一般可按線性或指數(shù)函數(shù)的形式取值，為便于計算，本文采用如下線性函數(shù)形式表示：

式中：z為計算點(diǎn)埋深。

根據(jù)Timoshenko 梁的本構(gòu)方程[25]，樁基變形和內(nèi)力的關(guān)系為

式中：M、Q、w和φ分別為樁基彎矩、剪力、撓度和截面轉(zhuǎn)角；EI和κGA分別表示截面抗彎剛度和剪切剛度，E為彈性模量；I為截面慣性矩；G為剪切模量；A為截面面積；κ為剪切修正系數(shù)，對于圓形截面，取κ=0.89。

圖2所示為樁微段單元受力示意圖，由靜力平衡和彎矩平衡可得：

圖2 樁微段受力示意圖Fig. 2 Diagram of forces analysis of pile element

忽略二次高階項(xiàng)(dz)2，將式(1)和(4)代入式(5)和(6)，建立樁基橫向變形w和轉(zhuǎn)角φ的平衡微分方程：

對式(7)和(8)進(jìn)行解耦，令C=κGA，D=EI，K=kDp，T=2tDp，化簡后可得樁基橫向變形的控制微分方程為

其中，q(z)可按下式計算確定：

式中：u(z)為隧道開挖引起的樁位處土體自由場橫向變形，可采用LOGANATHAN 等[26]提出的土體位移解析式求解。隧道開挖后地層中任意一點(diǎn)的橫向變形u為

式中：ε為等效地層損失率；y為計算點(diǎn)至隧道軸線水平距離；z為計算點(diǎn)埋深。

2.3 控制方程的求解

式(9)為四階非線性微分方程，為進(jìn)一步考慮土體層狀特性，借助有限差分法展開求解。圖3所示為樁基離散示意圖。由圖3可知：沿軸向?qū)痘x散成n個長為l的梁單元，為便于構(gòu)建差分方程，樁基兩端各增加2 個虛節(jié)點(diǎn)，編號分別為-2、-1、n+1 和n+2。采用中心差分原理構(gòu)造差分方程，得到控制微分方程式(9)的有限差分表達(dá)式為

圖3 樁基離散示意圖Fig. 3 Discrete diagram of pile

式中：wi和qi表示節(jié)點(diǎn)i處樁基橫向變形和附加荷載；l為梁單元長度。

求解式(12)即可得到隧道開挖引起的鄰近樁基橫向變形。結(jié)合式(4)、(7)和(8)可得樁基橫截面轉(zhuǎn)角φ、彎矩M和剪力Q，并將其寫成如下差分形式，為

由式(12)可得n+1個獨(dú)立方程，但未知量有n+5 個，需根據(jù)樁基兩端內(nèi)力邊界條件補(bǔ)充4 個獨(dú)立方程。為此，以樁頂為例，取節(jié)點(diǎn)i=0～1之間的單元作為分析對象。圖4所示為節(jié)點(diǎn)0～1隔離體微段受力分析圖。由圖4 可知：i=0 節(jié)點(diǎn)為柔性支座，i=1 節(jié)點(diǎn)為梁截斷點(diǎn)；qm為節(jié)點(diǎn)i=0～1 之間的附加荷載，計算時可取兩節(jié)點(diǎn)處附加荷載的平均值。

圖4 節(jié)點(diǎn)0～1隔離體微段受力分析圖Fig. 4 Diagram for force analysis of the micro-section of isolator at nodes 0-1

由力法方程可得節(jié)點(diǎn)i=0 處樁基彎矩M0和剪力Q0：

式中：δ11、ΔP11、ΔP21分別為單位荷載、地基反力pDp、附加荷載qDp單獨(dú)作用時在節(jié)點(diǎn)i=0 處產(chǎn)生的位移；δ21、ΔP12、ΔP22分別為單位荷載、地基反力pDp、附加荷載qDp單獨(dú)作用時在節(jié)點(diǎn)i=1處產(chǎn)生的位移，且

結(jié)合式(14)和(16)，可得虛節(jié)點(diǎn)位移w-1和w-2：

式中：

將式(12)表示為矩陣形式：

式中：

2.4 算例驗(yàn)證一

XU 等[27]采用邊界元程序GEPAN 分析了隧道近接施工后地層損失率ε對既有樁基的影響，得到ε分別為1.0%、2.5%和5.0%時樁基橫向變形和彎矩的數(shù)值解。隧道與單樁相對位置關(guān)系及樁基響應(yīng)計算參數(shù)如圖5所示。不考慮土體分層特性和豎向荷載作用，假設(shè)均質(zhì)土體彈性模量Es=24 MPa，泊松比μs=0.5，隧道半徑R=3 m，軸線埋深H=20 m；樁基彈性模量Ep=30 GPa，樁長Lp=25 m，樁徑Dp=0.5 m，隧道軸線與樁基水平間距y0=4.5 m。假定樁基兩端為自由端，計算時取Kt0=Ktn=1×10-9kN/m，Kθ0=Kθn=1×10-9kN·m/rad，模擬樁頂和樁端不受任何約束。

圖5 隧道與單樁相對位置及均質(zhì)土計算參數(shù)Fig. 5 Relative position and calculation parameters of tunnel and single pile of homogeneous soil

圖6所示為均質(zhì)土樁身橫向變形和彎矩對比曲線。由圖6 可見：當(dāng)?shù)貙訐p失率為1.0%、2.5%和5.0%時，本文解析解與數(shù)值解整體變化趨勢基本一致，樁身最大橫向變形和彎矩發(fā)生在隧道中心線附近，說明本文方法對不同程度的地層損失均具有一定的可靠性。本文方法計算所得樁身橫向變形與數(shù)值解非常接近，但略微高估了樁身彎矩；當(dāng)?shù)貙訐p失率為5.0%時，本文方法和邊界元法計算所得樁身最大彎矩分別為310 kN·m 和290 kN·m，相對誤差約為6.9%。

圖6 均質(zhì)土樁身橫向變形和彎矩對比曲線Fig. 6 Comparison curves of transverse deformation and bending moment of pile of homogeneous soil

2.5 算例驗(yàn)證二

MU 等[28]采用位移控制有限元法DCFEM 探究了隧道施工對鄰近樁基變形和內(nèi)力的影響?？紤]地基土體分層特性，樁基埋深范圍內(nèi)簡化為兩層土體，上層土厚為10 m，其余計算參數(shù)見圖7。

圖7 隧道與單樁相對位置及成層土計算參數(shù)Fig. 7 Relative position and calculation parameters of tunnel and single pile of layered soil

本文方法計算所得樁身橫向變形和彎矩與MU等[28]的有限元數(shù)值解的對比見圖8。由圖8 可見：本文方法與MU等[28]的計算結(jié)果整體變化趨勢基本一致，說明本文方法可較準(zhǔn)確地預(yù)測層狀地基中既有樁基對鄰近隧道施工的響應(yīng)。圖8中，在埋深10 m 處，樁身彎矩發(fā)生輕微跳躍，這是由于該位置處于土層交界面，土體彈性模量從12 MPa 突變至24 MPa。

圖8 成層土樁身橫向變形和彎矩對比曲線Fig. 8 Comparison curves of ransverse deformation and bending moment curves of pile of layered soil

3 樁頂及樁端約束對樁基響應(yīng)的影響

采用2.4節(jié)中算例，針對ε=2.5%這種工況，探究樁基兩端約束條件對其變形和內(nèi)力的影響規(guī)律。當(dāng)樁基兩端自由(Kt0=Ktn=1×10-9kN/m，Kθ0=Kθn=1×10-9kN·m/rad)和固定(Kt0=Ktn=1×109kN/m，Kθ0=Kθn=1×109kN·m/rad)時，樁身橫向變形和內(nèi)力曲線如圖9 所示。從圖9 可見：與樁基兩端自由相比，當(dāng)樁基兩端固定時，樁身橫向變形和彎矩在樁基兩端附近存在顯著差異，尤其是樁頂和樁端位置處。由計算結(jié)果可知，當(dāng)樁基兩端自由時，樁頂和樁端橫向變形分別為w0free=4.68 mm 和wnfree=6.40 mm；當(dāng)樁基兩端固定時，樁頂和樁端彎矩分別為M0fix=302.9 kN·m和Mnfix=824.8 kN·m，樁頂和樁端剪力分別為Q0fix=411.7 kN 和Qnfix=-826.0 kN。由此可見，在實(shí)際工程中，將樁基兩端簡化為自由邊界可能會帶來較大計算誤差，需根據(jù)現(xiàn)場情況合理確定樁頂和樁端約束狀態(tài)。

圖9 樁身橫向變形和內(nèi)力曲線Fig. 9 Transverse deformation and internal force curves of pile

3.1 樁基兩端實(shí)際約束狀態(tài)的簡化計算方法

對于低樁承臺基礎(chǔ)，樁頂水平位移約束主要來源于兩部分，即承臺側(cè)面土體彈性抗力和承臺底面摩阻力。樁頂水平彈簧剛度Kt0可按下式簡化計算：

式中：S側(cè)為埋入土體中的承臺側(cè)面積；μ為承臺底與地基土間的摩擦因數(shù)，可參考規(guī)范文獻(xiàn)[29]取值；Pc為承臺底土體承受的豎向荷載；n為樁的數(shù)量；Cz為地基水平抗力系數(shù)，可按Cz=mz計算確定，其中水平抗力系數(shù)的比例系數(shù)m據(jù)文獻(xiàn)[29-30]綜合取值。

樁頂轉(zhuǎn)動彈簧剛度Kθ0可按下式近似計算：

式中：EI為承臺的抗彎剛度。

樁端水平彈簧剛度Ktn和轉(zhuǎn)動彈簧剛度Kθn可按下式簡化計算：

式中：A為基樁底面積；I為樁端截面慣性矩；Cx和Cφ分別為地基抗剪和抗彎剛度系數(shù)?！豆こ痰刭|(zhì)手冊》[31]給出了Cx、Cφ與地基抗壓剛度系數(shù)Cz的關(guān)系，Cx=0.7Cz，C=2.15Cz，其中Cz可由現(xiàn)場試驗(yàn)確定或根據(jù)天然地基的承載力近似取值。

3.2 樁頂實(shí)際約束對其變形和內(nèi)力的影響

樁頂橫向變形、彎矩和剪力隨水平彈簧剛度Kt0和轉(zhuǎn)動彈簧剛度Kθ0的變化曲面見圖10。假設(shè)任意邊界條件下樁頂橫向變形、彎矩和剪力分別為w0、M0和Q0，對樁頂橫向變形和內(nèi)力進(jìn)行歸一化處理，得到樁頂橫向變形比w0/w0free、彎矩比M0/M0fix和剪力比Q0/Q0fix。

圖10 樁頂橫向變形和內(nèi)力曲面Fig.10 Transverse deformation and internal force surfaces of pile top

由圖10(a)可知：相較于水平彈簧剛度Kt0，轉(zhuǎn)動彈簧剛度Kθ0對樁頂橫向變形的影響較小；當(dāng)Kt0=1 kN/m 時，隨著Kθ0增大，樁頂橫向變形從w0free減小至0.96w0free；當(dāng)Kθ0一定時，樁頂橫向變形隨Kt0的增大而減小，且當(dāng)1×103103kN·m/rad 且Kt0>1×103kN/m 時，樁頂彎矩隨Kt0和Kθ0的增大而增大，且Kt0和Kθ0越大，樁頂彎矩增幅越明顯。由圖10(c)可知：當(dāng)Kt0<1×103kN/m 時，樁頂剪力很小，幾乎不隨Kθ0的變化而變化；當(dāng)Kt0>1×103kN/m 時，樁頂剪力隨Kθ0的增大而增大，且當(dāng)Kt0>1×106kN/m時，樁頂剪力隨Kθ0顯著變化；當(dāng)Kt0為1×109kN/m 時，隨著Kθ0增大，樁頂剪力從0.53Q0fix增大至Q0fix；當(dāng)Kθ0一定時，樁頂剪力隨Kt0的增大而增大，且Kθ0越大，樁頂剪力增幅越明顯。

綜上可知： 當(dāng)Kt0<1×103kN/m 且Kθ0<1×103kN·m/rad時，樁頂橫向變形為w0free，樁頂彎矩和剪力幾乎為0，近似于樁頂自由；當(dāng)Kt0>1×107kN/m 且Kθ0>1×107kN·m/rad 時，樁頂幾乎不發(fā)生橫向變形，且樁頂彎矩和剪力均達(dá)到最大值M0fix和Q0fix，可按樁頂固定簡化計算。

3.3 樁端實(shí)際約束對其變形和內(nèi)力的影響

采用3.1節(jié)中樁端水平彈簧剛度和轉(zhuǎn)動剛度的計算方法計算本文算例，所得樁端轉(zhuǎn)動剛度約為水平彈簧剛度的1/18，在此基礎(chǔ)上，研究樁端約束條件對其變形和內(nèi)力的影響規(guī)律。假設(shè)任意邊界條件下樁端橫向變形、彎矩和剪力分別為wn、Mn和Qn，對樁端橫向變形和內(nèi)力歸一化處理，得到橫向變形比wn/wnfree、彎矩比Mn/Mnfix和剪力比Qn/Qnfix。

樁端橫向變形和內(nèi)力隨樁端水平彈簧剛度的變化如圖11 所示。由圖11 可知：當(dāng)Ktn<1×103kN/m時，樁端近似于自由端；當(dāng)1×103≤Ktn≤1×106kN/m時，樁端橫向變形隨彈簧剛度的增大而減小，當(dāng)Ktn=1×106kN/m 時，橫向變形減小至0.043wnfree；當(dāng)Ktn≥1×104kN/m時，樁端剪力隨彈簧剛度增大而增大；當(dāng)Ktn≥1×105kN/m時，樁端彎矩隨彈簧剛度的增大而增大，當(dāng)Ktn=1×107kN/m時，彎矩和剪力分別增大至0.85Mnfix和0.90Qnfix；當(dāng)Ktn達(dá)到1×108kN/m 時，樁端橫向變形和內(nèi)力不再變化，樁端近似為固定端。

圖11 樁端橫向變形和內(nèi)力曲線Fig. 11 Transverse deformation and internal force curves of pile tip

4 結(jié)論

1) 考慮樁頂和樁端的實(shí)際約束狀態(tài)，將樁基視為Vlasov 地基中端部為任意彈性約束的Timoshenko 梁，進(jìn)一步考慮樁基剪切效應(yīng)，建立了隧道-土體-樁基簡化計算模型。

2) 基于兩階段分析法，將隧道施工誘發(fā)的樁位處土體橫向變形以附加荷載的形式施加到樁基上，推導(dǎo)了任意邊界約束狀態(tài)下樁基橫向變形和內(nèi)力的解析解，并通過與邊界元和有限元數(shù)值解對比驗(yàn)證了解析模型的可靠性。

3) 樁頂轉(zhuǎn)動彈簧剛度Kθ0對樁頂橫向變形的影響較?。划?dāng)1×104kN/m1×107kN/m且Kθ0>1×107kN·m/rad時，可按樁頂固定簡化計算。

4) 當(dāng)樁端水平彈簧剛度Ktn<1×103kN/m時，可按樁端自由簡化計算；當(dāng)1×103≤Ktn≤1×108kN/m時，樁端橫向變形隨彈簧剛度的增大而減小，彎矩和剪力隨彈簧剛度的增大而增大，當(dāng)Ktn>1×108kN/m時，可按樁端固定簡化計算。