高考備考思路要轉(zhuǎn)變
——2022 年高考數(shù)列試題評(píng)析

■河北省張家口市第二中學(xué) 王 瀟

由于新課改,近兩年高考難度增大,所以我們高考備考思路一定要轉(zhuǎn)變。下面談?wù)劯呖嫉碾y點(diǎn)在哪里。

難度一:動(dòng)搖了高考試卷第17 題“無(wú)冕之王”這個(gè)位置

新課程全國(guó)卷的試卷結(jié)構(gòu)是固定的,一般來(lái)說(shuō),第17題考查三角函數(shù)或數(shù)列問(wèn)題,并且分為兩個(gè)小問(wèn),2022年、2021年、2020年理科第17題考查的都是數(shù)列。2021 年、2022年連續(xù)兩年高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)難度驟然提升,2022年河北省的高考數(shù)學(xué)平均分為46.6分,其實(shí)2020年、2019年難度就已經(jīng)有所增加。前幾年的高考試卷中,有很多常規(guī)題型,例如第17 題中上等程度的學(xué)生基本能拿滿分。第一問(wèn)往往代入等差、等比數(shù)列的基本公式求通項(xiàng)公式,第二問(wèn)就是數(shù)列求和,一般都考查錯(cuò)位相減法,即使有些年份稍有難度,也是考查數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系,知識(shí)點(diǎn)非常明確,數(shù)列在選擇題中一般不會(huì)是壓軸題。換句話說(shuō),數(shù)列、三角函數(shù)題目一直以來(lái)都是中上等程度學(xué)生的拿分點(diǎn),自從2020年開(kāi)始,包括平時(shí)的各級(jí)各類(lèi)模擬題目中,數(shù)列和三角函數(shù)難度增加,中上等程度學(xué)生不易再拿滿分。下面舉例說(shuō)明。

例1(2022年高考全國(guó)乙卷)已知等比數(shù)列｛an｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則a6=( )。

A.14 B.12

C.6 D.3

分析:本題中由于數(shù)列{an}的前3 項(xiàng)和已知,項(xiàng)數(shù)比較少,很多同學(xué)一般沒(méi)有代入求和公式,而是直接寫(xiě)a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)=168,此時(shí)再與另一個(gè)已知關(guān)系式相除,約掉a1,即可得公比q。但是要用到立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)。這個(gè)公式大部分學(xué)生知道,但是在高中,極少有知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用它,僅僅在導(dǎo)數(shù)切線幾個(gè)特定的題目中用到,對(duì)于中等水平學(xué)生來(lái)說(shuō)立方差公式運(yùn)用不熟練,容易寫(xiě)錯(cuò)。

解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,q≠0。

故a6=a1q5=3,選D。

方法二:若q=1,則a2-a5=0,與題意矛盾,所以q≠1。由題意得:

點(diǎn)評(píng):注意方法二避開(kāi)了立方差公式。同學(xué)們做題要多觀察,靈活應(yīng)用,會(huì)省去不少煩瑣的計(jì)算過(guò)程!

例2(2021 年新高考Ⅰ卷第17 題)已知數(shù)列 {an}滿足a1=1,an+1=

(1)記bn=a2n,寫(xiě)出b1,b2的值,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求{an}的前20項(xiàng)和。

解析:(1)由題設(shè)可得b1=a2=a1+1=2,b2=a4=a3+1=a2+2+1=5。

又a2k+2=a2k+1+1,a2k+1=a2k+2,故a2k+2=a2k+3,即bn+1=bn+3,bn+1-bn=3。

所以{bn}為等差數(shù)列,解得bn=2+(n-1)×3=3n-1。

(2)設(shè){an}的前20 項(xiàng)和為S20,則S20=a1+a2+a3+…+a20。

因?yàn)閍1=a2-1,a3=a4-1,…,a19=a20-1,所以S20=2(a2+a4+…+a18+a20)-10=2(b1+b2+…+b9+b10)-10=2×

點(diǎn)評(píng):開(kāi)始很簡(jiǎn)單,列舉即可求出b1,b2,但是不能迅速得出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,其實(shí)在第17題位置上的第一問(wèn)求通項(xiàng),觀察已知即可猜出數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,驗(yàn)證bn+1-bn的結(jié)果是否為常數(shù)。但由于已給出分段形式的關(guān)系式,需要大家靜下心來(lái)厘清思路才能證明出來(lái)。第二問(wèn)求和,要把{an}的前20 項(xiàng)和轉(zhuǎn)化成其10 個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和,從而轉(zhuǎn)化成數(shù)列{bn}求和,由于第一問(wèn)已經(jīng)證明{bn}為等差數(shù)列,故可利用等差數(shù)列求和公式。

難度二:加大計(jì)算量,加大題目的綜合度

新課標(biāo)卷把原本送分題的20分刪掉后,整套試卷中幾乎沒(méi)有基礎(chǔ)題目,大部分是中等難度,對(duì)于中等程度的同學(xué)來(lái)說(shuō),需要在保證知識(shí)點(diǎn)非常熟練的情況下還要有較強(qiáng)的計(jì)算功底,原本高考卷中的一部分基礎(chǔ)題目幾乎不用計(jì)算,甚至很多同學(xué)即使在做解答題第一問(wèn)時(shí)都能口算出結(jié)果,但這兩年的高考題中幾乎每個(gè)題目都需要計(jì)算,對(duì)于高考數(shù)學(xué)目標(biāo)130分的同學(xué)加大了難度,他們難以在40分鐘內(nèi)做完前16個(gè)題目! 所以我們要重視計(jì)算!

例3(2022年新高考全國(guó)Ⅰ卷第17題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=的等差數(shù)列。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

點(diǎn)評(píng):單看整個(gè)題目,沒(méi)有任何難度,這是第一道解答題,對(duì)于真正的學(xué)霸照樣幾分鐘可以計(jì)算出來(lái),但是對(duì)于中等同學(xué)來(lái)說(shuō),若心理素質(zhì)差些,就有意外發(fā)生! 第17題的第一問(wèn)連續(xù)考查三個(gè)不簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、看到關(guān)系式Sn能聯(lián)系到an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系、累乘法求通項(xiàng)。需要同學(xué)們對(duì)知識(shí)點(diǎn)真正理解透徹!

例4(2022 年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué)第17題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和。已知

(1)證明:{an}是等差數(shù)列;

(2)若a4,a7,a9成等比數(shù)列,求Sn的最小值。

解析:(1)由,可得2Sn+n2=2nan+n。①

當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1+(n-1)2=2(n-1)·an-1+(n-1)。②

①-②得,2Sn+n2-2Sn-1-(n-1)2=2nan+n-2(n-1)an-1-(n-1),也即2an+2n-1=2nan-2(n-1)an-1+1。

故2(n-1)an-2(n-1)an-1=2(n-1),所以an-an-1=1,n≥2且n∈N*。

因此,{an}是以1為公差的等差數(shù)列。

(2)由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8。

又a4,a7,a9成等比數(shù)列,所以=a4·a9,即(a1+6)2=(a1+3)·(a1+8),解得a1=-12。

所以an=n-13,則Sn=-12n+

當(dāng)n=12或n=13時(shí),(Sn)min=-78。

點(diǎn)評(píng):本題整體難度低于全國(guó)Ⅰ卷,第一問(wèn)考查an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的定義;第二問(wèn)考查等比中項(xiàng)、等差通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、數(shù)列的最值,都是最基本、最簡(jiǎn)單的知識(shí)點(diǎn)。本題的難點(diǎn)還是在第一問(wèn):計(jì)算量大且字母較多。學(xué)霸會(huì)根據(jù)第一問(wèn)的問(wèn)法簡(jiǎn)化計(jì)算,但是對(duì)于中等同學(xué)來(lái)說(shuō),①-②這一步會(huì)耽誤時(shí)間,可能還出不來(lái)結(jié)果。所以同學(xué)們平時(shí)練習(xí)不能省略計(jì)算,只看重方法,否則只會(huì)對(duì)高考題目紙上談兵。

例5(2021 年高考全國(guó)甲卷文科數(shù)學(xué)第18題)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a>0,a2=3a1,且數(shù)列是等差數(shù)列,證明:{an}是等差數(shù)列。

當(dāng)n≥2 時(shí),an=Sn-Sn-1=a1n2-a1(n-1)2=2a1n-a1。

當(dāng)n=1時(shí),2a1×1-a1=a1,也滿足an=2a1n-a1。

故數(shù)學(xué){an}的通項(xiàng)公式為an=2a1na1,n∈N*。

an-an-1=(2a1n-a1)-[2a1(n-1)-a1]=2a1,故{an}是等差數(shù)列。

點(diǎn)評(píng):以上三道高考題,都考查數(shù)列中通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系,本題是這三道題目中最簡(jiǎn)單的一道,都要注意在利用an=Sn-Sn-1求通項(xiàng)公式時(shí)一定要討論n=1的特殊情況。我們要對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)重視起來(lái)。新高考的考生要注意,第17 題數(shù)列的考查越來(lái)越難,這個(gè)知識(shí)點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)各種形式的考查,但實(shí)際上一直沒(méi)有出現(xiàn)生冷偏僻的題目,大多就是加大計(jì)算的難度,加大題目的綜合度。

例6(2022 新高考全國(guó)Ⅱ卷第17題)已知{an}為等差數(shù)列,{bn}是公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4。

(1)證明:a1=b1;

(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素個(gè)數(shù)。

故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素個(gè)數(shù)為10-2+1=9。

點(diǎn)評(píng):本題第一問(wèn)僅僅考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式,但是因?yàn)橐阎颓笞C全都是字母,那么中等程度的同學(xué)思路就有點(diǎn)不暢了,好不容易花費(fèi)幾分鐘求證出結(jié)論,到了第二問(wèn)有點(diǎn)傻眼,還是都是字母。思路清晰的學(xué)霸會(huì)分別將等比數(shù)列{bk}、等差數(shù)列{ak}的通項(xiàng)公式分別代入整理得出結(jié)果,不少心理素質(zhì)較差的學(xué)生就有點(diǎn)心慌了,可能會(huì)先放下,做后面題目,他們?cè)?7 題這個(gè)位置上浪費(fèi)不起這個(gè)時(shí)間。所以,新高考的同學(xué)們平時(shí)就應(yīng)該有這種心理準(zhǔn)備,第17題秒算的時(shí)代過(guò)去了。

難度三:與實(shí)際生活應(yīng)用的題目增多

故b2b4。

依此類(lèi)推,可得b1>b3>b5>b7>…,b7>b8,A 錯(cuò)誤;

b1>b7>b8,B錯(cuò)誤;

點(diǎn)評(píng):這類(lèi)題目的難點(diǎn)并不在應(yīng)用,而是抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型涉及的知識(shí)點(diǎn)五花八門(mén),形式比較復(fù)雜,本題就屬于這一類(lèi),形式簡(jiǎn)單卻難以找到解決問(wèn)題的突破口。本題考查函數(shù)在 (0,+∞)上單調(diào)遞減;不等關(guān)系,若a>b>0,則。解答本題需要同學(xué)們有較強(qiáng)的觀察能力和邏輯思維能力。

這里提醒同學(xué)們高考新課改后,出題變化很大,平時(shí)的練習(xí)、模擬考試中注意把握好這個(gè)度。需強(qiáng)調(diào)一點(diǎn):高考難度加大,并沒(méi)有出什么偏題、怪題,考查的知識(shí)點(diǎn)還是歷來(lái)老師們強(qiáng)調(diào)的那些基礎(chǔ)知識(shí)。下面列出了數(shù)列的重要考點(diǎn),只是現(xiàn)在的題目都比較新,新題很多,而且考查得很巧妙,這才是培養(yǎng)、選拔人才的最佳模式。

高考?？疾閿?shù)列的知識(shí)點(diǎn)如下:

1.等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;前n項(xiàng)和公式;2.正確理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),優(yōu)化解題思路;3.正確理解數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系;4.正確應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列定義或等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)進(jìn)行證明;5.掌握數(shù)列求和方法,裂項(xiàng)法、分組法、倒序相加法、錯(cuò)位相減法;6.掌握簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列及其求解方法。