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    持續(xù)約束下基于模糊性的最優(yōu)消費和投資組合研究

    2023-10-11 06:39:58呂會影
    關(guān)鍵詞:模糊性風(fēng)險投資福利

    呂會影,李 鈺

    (安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共基礎(chǔ)教學(xué)部,安徽 蕪湖 241002)

    0 引言

    在過去十年中,英國脫歐和中美貿(mào)易戰(zhàn)導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)發(fā)展不確定性激增,這將影響公司投資決策和投資者的行為.近三年新冠疫情導(dǎo)致世界經(jīng)濟(jì)衰退,它對經(jīng)濟(jì)整體影響的規(guī)模和持續(xù)時間仍極不確定.在這種不確定的環(huán)境下,一些投資機(jī)構(gòu)仍被要求在可持續(xù)消費約束下做出投資組合選擇,Campbell和Sigalov[1]表明默頓模型中,當(dāng)實際利率下降,而風(fēng)險溢價不變時,投資者為了追求收益率,往往需要追加一個附加要素:那就是承擔(dān)更多風(fēng)險,并且只消耗預(yù)期的財富回報.當(dāng)投資者考慮模型的模糊性時,Anderson等[2]采用魯棒控制來避免經(jīng)濟(jì)環(huán)境中不確定性帶來的模型誤設(shè)問題.為研究在可持續(xù)消費約束下模糊性對投資者決策的影響,本文將模糊性引入到投資組合問題中,探討約束下模糊性對風(fēng)險投資的影響.

    關(guān)于在決策模型中考慮模糊性的文獻(xiàn),Yi等[3-4]討論了在Heston隨機(jī)波動模型和均值-方差模型下對模糊性的魯棒性投資和再保險問題.文獻(xiàn)[5]引入模糊性來研究魯棒的長期合同,關(guān)注相對績效評估.文獻(xiàn)[6]研究魯棒性最優(yōu)配對交易問題,目標(biāo)是在隨機(jī)波動性框架中使用資產(chǎn)之間的協(xié)整性來統(tǒng)計套利策略.文獻(xiàn)[7]預(yù)測增加模糊性會降低費用和索賠的價值.不同于以往研究中模糊性增強(qiáng)保守投資傾向的觀點,本文研究了模糊對冒險行為的雙向效應(yīng).特別是當(dāng)無風(fēng)險利率為負(fù)時,模糊性使得投資者在可持續(xù)約束下將更多財富投資于風(fēng)險資產(chǎn).

    1 具有模糊性的無約束模型

    (1)

    其中:μ表示風(fēng)險溢價;σ>0表示風(fēng)險資產(chǎn)的波動率;B是定義在濾波概率空間(Ω,F, {Ft}t≥0,P)上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.

    投資者將財富Wt的一部分.比例πt分配給風(fēng)險資產(chǎn),在t時將剩余的部分財富(1-πt)Wt分配給無風(fēng)險資產(chǎn).則財富Wt隨時間的變化過程為

    (2)

    1.1 優(yōu)化問題

    對于具有連續(xù)時間表征的Epstein-Zin偏好的投資者[10-11],投資者通過在備選方案集的最壞情況模型下選擇最優(yōu)消費C和風(fēng)險投資π來最大化Epstein-Zin偏好的預(yù)期效用.值函數(shù)為

    1.2 模型的解

    應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃原理,投資組合最優(yōu)化問題的Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs (HJBI)方程為

    (3)

    JW和JWW分別表示值函數(shù)J對財富W的一階和二階偏導(dǎo)數(shù).

    由于式(3)的右邊關(guān)于g是單調(diào)遞減的,所以當(dāng)g=κ時,有一個唯一的解可以最小化.將g=κ代入式(3)可得

    關(guān)于消費C的一階條件為fC(C,J)=JW,關(guān)于風(fēng)險投資π的一階條件為

    π=-(μ-σκ)JW/σ2WJWW.

    命題1假設(shè)投資者的價值函數(shù)J(W)是

    J(W)=DW1-γ/1-γ.

    (4)

    則最優(yōu)的風(fēng)險投資為

    (5)

    最優(yōu)的消費與財富比為

    (6)

    常數(shù)D為

    式(5)的結(jié)果與文獻(xiàn)[12]中π= (μ-r)/[ (γ+κ)σ2]一致,無論無風(fēng)險利率如何變化,模糊性的增大都會降低風(fēng)險投資比例.但模糊性以不同的方式進(jìn)入回歸動態(tài)過程,本文中的模糊性會侵蝕風(fēng)險溢價,而在文獻(xiàn)[12]中模糊性會增加風(fēng)險厭惡系數(shù).由于ψ<1,式(6)反映了模糊性增大會降低收益,從而減少消費.

    從式(5)和(6)可推出

    即最優(yōu)風(fēng)險投資和消費財富比對模糊性的一階導(dǎo)數(shù)都為負(fù)數(shù),也就意味著在財富水平不變時,隨著模糊性程度κ的增大,投資者會減少對風(fēng)險資產(chǎn)的投資,同時也會縮減消費水平.

    2 具有模糊性的約束模型

    2.1 算術(shù)持續(xù)約束

    對可持續(xù)消費的一種解釋是,保持永久的影響,使投資者的支出不能超過或低于預(yù)期收益.首先考慮算術(shù)持續(xù)約束.

    根據(jù)文獻(xiàn)[1],算術(shù)上的可持續(xù)支出約束要求消費等于模糊厭惡型投資者的財富乘以投資組合的預(yù)期收益,

    將這種消費約束代入財富的動態(tài)變化過程式(2),得

    (7)

    由上式知,財富的變化方程是一個鞅.因此,算術(shù)持續(xù)約束阻止投資者安排積累或消耗財富.

    在算術(shù)持續(xù)約束下,投資者基于最悲觀情況選擇最優(yōu)的風(fēng)險投資π來最大化Epstein-Zin偏好的期望效用.值函數(shù)為

    上式受約束于財富動態(tài)過程式(7).為了求解最優(yōu)的風(fēng)險投資和消費財富比,采用動態(tài)規(guī)劃原理,對應(yīng)的HJBI方程為

    (8)

    g=κ時有一個唯一解可以最小化.將g=κ代入式(8),得

    上式關(guān)于的π一階條件為

    命題2假設(shè)算術(shù)持續(xù)約束下投資者的價值函數(shù)J(W)為

    (9)

    最優(yōu)的風(fēng)險投資

    (10)

    消費與財富比為

    C/W=

    常數(shù)E為

    2.2 幾何持續(xù)約束

    在算術(shù)持續(xù)約束下,當(dāng)t→∞時,幾乎可確定Wt→0和Ct→0,這違背了可持續(xù)性的意義.因此,根據(jù)文獻(xiàn)[1],考慮幾何持續(xù)約束.

    在不扣除消費的情況下,投資者投資組合的價值過程為

    (11)

    幾何持續(xù)消費約束的定義:在t時刻的消費等于模糊厭惡型投資者的財富乘以預(yù)期投資組合收益的對數(shù)值.在式(11)中應(yīng)用Ito引理,得

    將此消費規(guī)則代入財富變化過程(2),得

    (12)

    在幾何持續(xù)約束下,在最悲觀情況下投資者最大化Epstein-Zin偏好的期望效用.值函數(shù)為

    上式受約束于式(12).采用最優(yōu)隨機(jī)控制原理,投資者的投資組合優(yōu)化問題的HJBI方程為

    (13)

    當(dāng)g=κ時,有一個唯一解可以最小化.將g代入式(13),得

    (14)

    式(14)關(guān)于π的一階條件是

    命題3假設(shè)幾何持續(xù)約束下投資者的價值函數(shù)為

    (15)

    則最優(yōu)的風(fēng)險投資滿足:

    消費財富比滿足:

    常數(shù)F滿足

    當(dāng)風(fēng)險厭惡系數(shù)大于1時,即γ>1時, 存在臨界值r*=δ/(1-γ)(1+ψ-1)<0.當(dāng)r>r*時,最優(yōu)風(fēng)險投資π關(guān)于是模糊性程度κ的遞增函數(shù);當(dāng)r

    2.3 福利損失

    為了使約束條件下的值函數(shù)與無約束基準(zhǔn)條件下的值函數(shù)相等,將福利損失量化為模糊厭惡型投資者補(bǔ)償所需的財富W的百分比.因此損失L滿足

    JM(W)=Ji((1-Li)W),i∈{A,G},

    JM,JA和JG分別表示默頓,算術(shù)和幾何持續(xù)約束下的價值函數(shù).

    根據(jù)式(4)和(9),在算術(shù)約束下推導(dǎo)出福利損失為

    LA=1-

    根據(jù)式(4)和(15),在幾何約束下推導(dǎo)出福利損失為

    3 數(shù)值評估

    本節(jié)將定量分析結(jié)果.參考文獻(xiàn)[1]設(shè)置了大部分參數(shù)值,并對其余參數(shù)值進(jìn)行了微調(diào):無風(fēng)險率r= 0.01,時間偏好率δ= 0.075,風(fēng)險資產(chǎn)的預(yù)期收益μ= 0.06,風(fēng)險資產(chǎn)的波動率σ= 0.14,模糊性程度κ= 0.1,相對風(fēng)險厭惡系數(shù)γ= 4,跨期替代彈性ψ= 0.3.

    對比算術(shù)和幾何持續(xù)約束情況下,最優(yōu)風(fēng)險投資隨著無風(fēng)險利率的降低而增加.模糊性程度對風(fēng)險投資的影響如圖1所示,比較各曲線的斜率,發(fā)現(xiàn)變化趨勢與文獻(xiàn)[14]中相似,存在參考點r*.

    圖1 模糊性程度κ對風(fēng)險投資π的影響

    模糊性對風(fēng)險投資的效應(yīng)表現(xiàn)在兩個方面:①去風(fēng)險(投資債券):當(dāng)r>r*,曲線是向下傾斜的,即模糊度越大,投資者對風(fēng)險資產(chǎn)的投資越少,這與無約束模型的效果相似.隨著模糊性的增加,投資者獲得的信息越來越少,也傾向于投資更少的風(fēng)險.此時投資無風(fēng)險債券是有利可圖的,具有足夠的吸引力.因此,隨著模糊性的增加,投資者更喜歡無風(fēng)險資產(chǎn)而不是風(fēng)險資產(chǎn).當(dāng)r繼續(xù)增大時,這種效應(yīng)更加顯著.下面的曲線比上面的曲線更陡.②冒險(投資股票):當(dāng)r

    雙向效應(yīng)在現(xiàn)有的模糊性文獻(xiàn)中是新的[15-16].在以往研究中[3, 4, 7],模糊性只會讓投資者和機(jī)構(gòu)減少冒險行為.

    考慮標(biāo)準(zhǔn)默頓情形,即無模糊性的情況下(κ = 0),風(fēng)險資產(chǎn)的波動率σ對投資組合選擇的影響,如圖2所示.

    與考慮模糊性的影響不同,σ的增加會抑制投資者的冒險行為.在同一個波動率水平下,隨著無風(fēng)險利率r的增大,投資者會減少對風(fēng)險資產(chǎn)的投資.

    當(dāng)無風(fēng)險利率一定時(設(shè)r=0.01),模糊性程度對消費財富比的影響如圖3所示.在無約束模型和有約束模型中,由于模糊降低了收益,從而減少了消費.此外,與有約束的投資者的有限選擇相比,無約束的投資者可以自由選擇他們的平滑消費計劃.當(dāng)模糊程度相對較小時,無約束的消費低于有約束的消費,因為投資者傾向于平滑他們的消費,為“糟糕”的情況做準(zhǔn)備.當(dāng)模糊性程度較大時,消費平滑可以緩解模糊性對消費的侵蝕,因此無約束消費較高.最終,在約束情況下的消費財富比將低于無約束情況下的消費財富比.

    圖3 模糊性程度κ對消費財富比C/W的影響

    模糊性程度對約束模型的福利損失影響如圖4所示.在標(biāo)準(zhǔn)默頓模型中,投資者同時選擇最優(yōu)風(fēng)險投資和消費以實現(xiàn)效用最大化.將無約束消費作為基準(zhǔn)解決方案.在可持續(xù)約束條件下,投資者在滿足約束條件的情況下會選擇相對平滑消費能力較強(qiáng)的消費計劃.因此,有約束的消費通常不同于無約束的最優(yōu)消費.同樣地,在約束情況下,任何不等于基準(zhǔn)的消費都會導(dǎo)致福利損失.

    圖4 模糊性程度κ對福利損失L的影響

    當(dāng)沒有模糊性時,只有約束起作用.遵循可持續(xù)消費的投資者必須過度消費以滿足需求,而不受約束的投資者則可以平穩(wěn)消費以達(dá)到預(yù)防性儲蓄的目的.受約束的投資者過度消費將導(dǎo)致福利損失.隨著模糊性的增加,它將削弱無約束和有約束情況下的收益和消費.此外,約束模型的削弱效應(yīng)更強(qiáng).因此,當(dāng)模糊性相對較低時,模糊性和約束對消費的影響是相反的,相互抵消.可以將其視為對過度消費的修正,將受約束的消費均值回復(fù)到基準(zhǔn)消費.因此,隨著模糊性的增加,福利損失開始減少.在兩種受約束的情況下存在某種程度的模糊性,有約束的消費恰好等于無約束的消費,不產(chǎn)生福利損失.從那以后,消費繼續(xù)被模糊性污染.然而,不受約束的投資者可以平滑消費,以彌補(bǔ)模糊的損失;而具有可持續(xù)消費約束的投資者則存在消費不足的問題,受約束消費低于無約束消費.隨著模糊性的不斷增加,它會強(qiáng)化約束的效果,模糊性和約束都會導(dǎo)致消費的減少.受約束的消費進(jìn)一步偏離無約束的情況,福利損失持續(xù)擴(kuò)大.

    4 結(jié)論

    本文分析了一個具有Epstein-Zin偏好的典型投資者在基于悲觀模型下的最優(yōu)投資組合選擇問題,該投資者的消費受到可持續(xù)需求的進(jìn)一步約束.本文的主要研究結(jié)果如下:

    (1)在標(biāo)準(zhǔn)默頓無約束模型中,當(dāng)模糊性增加時,投資者總是傾向于減少風(fēng)險投資比例.但在約束模型中,模糊性對冒險行為存在雙向效應(yīng).無風(fēng)險利率存在一個臨界值r*,當(dāng)r>r*,無風(fēng)險債券具有足夠的利潤和吸引力,此時當(dāng)模糊性程度增加時,投資者更傾向于投資無風(fēng)險資產(chǎn)(債券),將其稱為去風(fēng)險;當(dāng)r

    (2)在無約束和有約束的情況下,由于模糊性降低了收益,都會導(dǎo)致消費者減少消費.但在約束下,模糊性減少消費的程度更大,因為投資者只能選擇滿足約束的相對平滑的消費計劃,而在無約束下,可以無限制地進(jìn)行平滑消費.

    (3)模糊性程度越高,將會導(dǎo)致福利損失越大.

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