基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之“數(shù)學(xué)抽象”下的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略
——以“探索三角形全等條件”為例

唐 麗

(連云港市和安中學(xué),江蘇 連云港 222006)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo),旨在通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界、運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,是學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵.可以說(shuō),數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵,也是學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基礎(chǔ).在教學(xué)實(shí)踐中,受傳統(tǒng)教育觀念的影響,教師將大量時(shí)間和精力集中在數(shù)學(xué)知識(shí)和解題技巧訓(xùn)練方面,忽視了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和解題之間的關(guān)系,弱化了思考、辨析過(guò)程,導(dǎo)致學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì),無(wú)法從根本上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.為此,初中數(shù)學(xué)教師需認(rèn)真學(xué)習(xí)新課程理念,立足數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和解題的內(nèi)在聯(lián)系,優(yōu)化和完善解題教學(xué)模式,探索和改進(jìn)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略,提升解題教學(xué)效果,不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

1 數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)解題教學(xué)概述

初中階段,核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí).數(shù)學(xué)抽象作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分,是引領(lǐng)學(xué)生解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.顧名思義,數(shù)學(xué)抽象是一種思維過(guò)程,主要是將共同、本質(zhì)的特征從事物中抽象出來(lái),并將非本質(zhì)性的特性舍去.數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)研究過(guò)程中的一個(gè)思維過(guò)程,借助必要的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),通過(guò)層層抽象,可以精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),進(jìn)而抓住解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵.另外,在新課程理念下,數(shù)學(xué)問(wèn)題日漸生活化,賦予了數(shù)學(xué)問(wèn)題的生活背景,其中存在一定的干擾信息.鑒于此,學(xué)生在解決這一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),必須要具備極強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),才能將數(shù)學(xué)問(wèn)題從中抽象出來(lái),進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和解決[1].可以說(shuō),在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)直接影響了其解題能力.

2 基于“探索三角形全等條件”探索數(shù)學(xué)抽象下的解題教學(xué)策略

2.1 融入數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題

數(shù)學(xué)思想實(shí)際上是一種數(shù)學(xué)思維,是思考數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的一種思路,是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提,也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要條件.因此,鑒于數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)解題的內(nèi)涵,在引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行解題時(shí),應(yīng)全面加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想的滲透[2].

例1如圖1,已知△ABC中,AB=AC,D為AB上一點(diǎn),E為AC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),連接DE,交BC于點(diǎn)G,DG=EG.求證:BD=CE.

圖1 例1題圖

分析根據(jù)圖形特征,需借助全等三角形的性質(zhì)證明BD=CE.基于此,應(yīng)充分利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想,通過(guò)構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

證明如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AE,交BC于點(diǎn)F.

易知∠E=∠FDE,∠DGF=∠EGC.又因?yàn)镈G=EG,所以△DFG≌△ECG,所以CE=DF.因?yàn)镈F∥AE,所以∠ACB=∠DFB.又因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ABC=∠DFB,所以DB=DF.又因?yàn)镃E=DF,所以BD=CE.

2.2 巧妙添加輔助線(xiàn)解題

在解決與全等三角形相關(guān)問(wèn)題時(shí),很多題目中并未直接給出三角形,給解題帶來(lái)了極大的難度.為此,在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生巧妙添加輔助線(xiàn),構(gòu)造全等三角形,為問(wèn)題解決創(chuàng)造條件.

例2如圖2,在△ABC中,AC=5,AB=7,求△ABC中線(xiàn)OA的取值范圍.

圖2 例2題圖

分析根據(jù)已知條件及所求結(jié)論,需借助輔助線(xiàn)將線(xiàn)段AC,AB,OA轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中,使其分別為三角形的三邊,然后利用三角形全等、三角形三邊之間的關(guān)系解決問(wèn)題.

解如圖2,延長(zhǎng)AO到E,使OE=OA,連接BE.易知△AOC≌△EOB,所以AC=BE.在△ABE中,AB-BE

2.3 加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)學(xué)科素有“思維體操”的美稱(chēng),極具邏輯性和抽象性,對(duì)學(xué)生的思維水平要求比較高.尤其是在解題教學(xué)中,解題教學(xué)模式固化,弱化了學(xué)生解題思維.在這種解題教學(xué)模式下,難以真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.為此,在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師應(yīng)立足學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中面臨的“思維黑洞”,結(jié)合不同的題目,借助不同的方式,對(duì)學(xué)生展開(kāi)思維訓(xùn)練.

例3如圖3,AB=DC,AC=DB,AC與DB相交于O點(diǎn).求證:∠A=∠D.

圖3 例3題圖

分析針對(duì)這一題目,學(xué)生只要結(jié)合三角形全等判定條件,即可完成題目的高效解答.在具體的解題教學(xué)實(shí)踐中,為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力,切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,教師應(yīng)以此題為中心,對(duì)學(xué)生開(kāi)展變式訓(xùn)練.

變式1去掉圖3中的線(xiàn)段BC,其他條件不變,據(jù)此提出問(wèn)題:∠A和∠D是否相等?

變式2改變題目中所求結(jié)論,引導(dǎo)學(xué)生思考:如圖3,已知AB=DC,AC=DB,求證:∠ABD=∠ACD.

變式3改變題目中所求結(jié)論,引導(dǎo)學(xué)生思考:如圖3,已知AB=DC,AC=DB,求證:AD∥BC.

針對(duì)變式訓(xùn)練,教師引導(dǎo)學(xué)生多角度思考,加深學(xué)生對(duì)三角形全等判定條件的認(rèn)識(shí),不僅增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果,也促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展,提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),為提升學(xué)生的解題能力奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)[3].

2.4 強(qiáng)化數(shù)學(xué)符號(hào)轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

在初中階段,新課程標(biāo)準(zhǔn)不僅要求學(xué)生學(xué)會(huì)具體知識(shí),更要求學(xué)生掌握知識(shí)的本質(zhì),能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)模型分析與解決生活中的問(wèn)題.為此,初中數(shù)學(xué)教師必須樹(shù)立“生活即教育”的觀念,立足數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活的內(nèi)在聯(lián)系,帶領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)拓展到實(shí)際生活,引領(lǐng)學(xué)生在生活化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)遷移和應(yīng)用能力的發(fā)展.在解題教學(xué)中,教師應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)轉(zhuǎn)化能力訓(xùn)練,使學(xué)生能夠從實(shí)際生活中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,并運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.

例4金水河河道有一段平行的兩岸,如圖4所示.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組利用課余時(shí)間進(jìn)行距離測(cè)量:數(shù)學(xué)小組在河道的南岸選擇了一棵樹(shù)B,觀察到河對(duì)岸正對(duì)著B(niǎo)處有一個(gè)燈柱A,他們?cè)O(shè)計(jì)了若干個(gè)測(cè)量方案.請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的知識(shí),設(shè)計(jì)出一種無(wú)需過(guò)河即可測(cè)量出A,B兩點(diǎn)之間距離的方案,并說(shuō)明理由.

圖4 例4題圖 圖5 例4測(cè)量方案圖

分析本題極具生活化,將“三角形全等條件”的相關(guān)知識(shí)和實(shí)際生活結(jié)合在一起.解答本題時(shí),學(xué)生不僅要具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),還應(yīng)具備極強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力,從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題,并提出具體的解決方案.

解如圖5,從點(diǎn)B出發(fā),沿著河邊向東走至點(diǎn)C,在此處插上標(biāo)桿之后,繼續(xù)向東走至點(diǎn)D,使得CD=BC,然后以點(diǎn)D為起點(diǎn)向南走至點(diǎn)E,使A,C,E三點(diǎn)處于同一條直線(xiàn)上.此時(shí),即可通過(guò)測(cè)量線(xiàn)段DE的長(zhǎng)度而得出線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度,此即A,B兩點(diǎn)之間的距離.理由如下:

在△ABC和△EDC中,

因?yàn)椤螧=∠EDC,∠ACB=∠ECD,BC=DC,

所以△ABC≌△EDC,即AB=DE.

2.5 強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)審題能力

正所謂“工欲善其事必先利其器”,學(xué)生唯有具備極強(qiáng)的審題能力,才能理解題目的內(nèi)涵,理清題目中的數(shù)量關(guān)系,并由此形成明確的解題思路.在新課程理念下,初中數(shù)學(xué)問(wèn)題考查方式發(fā)生了變化,呈現(xiàn)出了全新的特點(diǎn),對(duì)初中生的數(shù)學(xué)審題能力提出了更高的要求.為此,為強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力,培養(yǎng)其解題能力,教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審題能力.一方面,教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生在日常審題中認(rèn)真閱讀題目,仔細(xì)分析已知條件,并借助圈點(diǎn)的方式,找出關(guān)鍵詞.還應(yīng)深層次剖析,挖掘題目中的隱含條件,剔除迷惑性的條件,尋找數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);另一方面,鑒于數(shù)學(xué)審題的要求及學(xué)生數(shù)學(xué)審題能力現(xiàn)狀,教師還應(yīng)借助一定的數(shù)學(xué)工具,并通過(guò)系統(tǒng)化的訓(xùn)練,使學(xué)生逐步形成一定的審題能力[4].

綜上所述,新課程理念下,發(fā)展初中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師唯有改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)解題教學(xué)模式,立足數(shù)學(xué)抽象和解題之間的內(nèi)在聯(lián)系,并據(jù)此開(kāi)展針對(duì)性訓(xùn)練,從而強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),提升學(xué)生的解題能力.