數(shù)形結(jié)合：讓小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效

文 /陳玉榮

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思想方法，是以數(shù)和形關(guān)系為基礎(chǔ)，借助數(shù)和形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的思想方法[1]。眾所周知，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是數(shù)與形。小學(xué)數(shù)學(xué)四大領(lǐng)域均建立在數(shù)與形的基礎(chǔ)上。在形的輔助下，學(xué)生可以認(rèn)知數(shù)；在數(shù)的助力下，學(xué)生可以理解形。

然而，在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，部分教師忽視數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，機(jī)械地灌輸數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，忽視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，導(dǎo)致大部分學(xué)生知其然不知其所以然，影響了學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)質(zhì)量，甚至承受了過重的課業(yè)負(fù)擔(dān)、心理壓力。針對(duì)此情況，小學(xué)數(shù)學(xué)教師有必要滲透數(shù)形結(jié)合思想。

一、滲透數(shù)形結(jié)合思想的必要性

（一）數(shù)形結(jié)合思想的教育價(jià)值

1.提高學(xué)生的思維能力

在成長(zhǎng)的過程中，個(gè)體的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也在不斷重組、改造。依據(jù)個(gè)體的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，皮亞杰將認(rèn)知發(fā)展分為四個(gè)階段。小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展處于具體運(yùn)算階段和形式運(yùn)算階段。在這兩個(gè)階段，小學(xué)生的形象思維較發(fā)達(dá)，往往依賴實(shí)物、直觀形象來建立認(rèn)知。在實(shí)物、直觀形象的助力下，他們獲得邏輯運(yùn)算、推理機(jī)會(huì)，有利于發(fā)展邏輯思維能力。數(shù)形結(jié)合思想能借助直觀的形（實(shí)物、圖像、線段、圖形等）展現(xiàn)抽象的事物，使學(xué)生發(fā)揮形象思維作用，克服種種認(rèn)知障礙，建立良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知[2]。

2.優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)其實(shí)是聯(lián)系新舊知識(shí)的過程。無論何種認(rèn)知結(jié)構(gòu)，都可以用符號(hào)、圖像、動(dòng)作進(jìn)行表征，但對(duì)大部分小學(xué)生來說，數(shù)學(xué)邏輯性強(qiáng)、抽象程度高，很難理解。教師滲透數(shù)形結(jié)合思想能夠借助直觀的圖像、線段等，展現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，助力學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知[3]。

3.增強(qiáng)學(xué)生的問題解決能力

解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要活動(dòng)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一。數(shù)形結(jié)合思想作為“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的手段，可以使學(xué)生借助具體的形象表征來分析、解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題[4]。例如，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，學(xué)生可以把握關(guān)鍵信息，繪制線段圖、示意圖等，直觀地展現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，把握問題本質(zhì)，理清問題解決思路，繼而列式、運(yùn)算，解決問題。長(zhǎng)此以往，學(xué)生會(huì)扎實(shí)掌握問題解決方法，積累問題解決經(jīng)驗(yàn)，提升問題解決能力。

4.培養(yǎng)學(xué)生的審美情趣

從數(shù)學(xué)研究歷史上看，在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，“數(shù)”與“形”處于割裂狀態(tài)。在解析幾何創(chuàng)立之后，“數(shù)”與“形”實(shí)現(xiàn)結(jié)合。二者的結(jié)合展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、和諧美等，如可以用直觀的“形”展現(xiàn)抽象復(fù)雜的“數(shù)”（文字、數(shù)、方程等）。學(xué)生在長(zhǎng)期學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的過程中，不僅可以建構(gòu)深刻的數(shù)學(xué)認(rèn)知，還可以在不知不覺中受到數(shù)學(xué)多元美的熏陶，有利于培養(yǎng)良好的審美情趣。

（二）新課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）是數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性，提出直觀化教學(xué)要求。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)知識(shí)，從具體事物中抽象出簡(jiǎn)單的幾何體和平面圖形。同時(shí)，《課程標(biāo)準(zhǔn)》在過去“雙基”的基礎(chǔ)上增加了數(shù)學(xué)基本思想、基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這些要求均強(qiáng)調(diào)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

綜上所述，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想，能在降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在知識(shí)、方法、能力等方面有所發(fā)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)提質(zhì)增效。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)采用適宜的策略滲透數(shù)形結(jié)合思想。

二、滲透數(shù)形結(jié)合思想的策略

（一）以形助數(shù)

1.以形助數(shù)，掌握數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)內(nèi)容，具有概括性、抽象性[5]。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，學(xué)生要分析、對(duì)比大量實(shí)例，發(fā)現(xiàn)其統(tǒng)一屬性。形是學(xué)生進(jìn)行對(duì)比的助力。教師可以依據(jù)具體的數(shù)學(xué)概念，呈現(xiàn)相關(guān)的形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比，歸納統(tǒng)一屬性，認(rèn)知數(shù)學(xué)概念。

例如，在“千以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課上，學(xué)生要了解計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系。對(duì)此，教師可以操作電子白板，先后展示一個(gè)小立方體、十個(gè)小立方體、一百個(gè)小立方體、一千個(gè)小立方體，而學(xué)生認(rèn)真觀察小立方體從一到千的數(shù)量變化過程。在此過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比不同的模型，讓學(xué)生分析它們之間的關(guān)系。在對(duì)比時(shí)，很多學(xué)生會(huì)發(fā)揮形象思維作用，發(fā)現(xiàn)“十個(gè)1 是10，十個(gè)10 是100，十個(gè)100 是1000”?；诖?，學(xué)生會(huì)在腦海中建立“十進(jìn)制”的概念。教師可以趁機(jī)介紹計(jì)數(shù)單位之間的十進(jìn)制關(guān)系，使學(xué)生建構(gòu)清晰的認(rèn)知。這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念更高效。在這一過程中，學(xué)生可以在腦海中建立深刻的直觀表象，提高記憶水平，同時(shí)汲取學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)借助形學(xué)習(xí)數(shù)。

2.以形助數(shù)，化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)

“數(shù)形結(jié)合”不僅是一種數(shù)學(xué)思想，而且是一種切實(shí)可行的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生受到思維能力、認(rèn)知水平等因素的影響，會(huì)遇到諸多學(xué)習(xí)難點(diǎn)，如數(shù)學(xué)概念、復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算等。教師可以發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用，引導(dǎo)學(xué)生刻畫形，展現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象，并進(jìn)行觀察、分析、歸納，逐步得出數(shù)學(xué)結(jié)論，輕松化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

例如，在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，教師可以先呈現(xiàn)情境圖，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、列式。基于學(xué)生的列式結(jié)果，教師可以鼓勵(lì)他們對(duì)比所學(xué)，發(fā)現(xiàn)不同之處。在已有認(rèn)知的支撐下，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)所列出的算式是異分母分?jǐn)?shù)加法。教師可以趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生思索異分母分?jǐn)?shù)加法的計(jì)算方法。

在學(xué)生沒有解題思路的情況下，教師可以鼓勵(lì)他們拿出一張長(zhǎng)方形紙，將它對(duì)折，為其中二分之一的部分涂色。在學(xué)生涂色后，教師可以引導(dǎo)他們繼續(xù)對(duì)折這張紙，為其中四分之一的部分涂色。面對(duì)操作成果，學(xué)生認(rèn)真觀察，很容易發(fā)現(xiàn)“兩次涂色的部分一共占了這張紙的四分之三”。一些認(rèn)知水平較高的學(xué)生會(huì)發(fā)散思維，發(fā)現(xiàn)“二分之一是兩個(gè)四分之一”，“二分之一加四分之一是四分之三”。教師可以引導(dǎo)學(xué)生分析此過程和結(jié)果。在分析時(shí)，學(xué)生不斷觀察涂色情況，回想自己的發(fā)現(xiàn)，確定“在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算時(shí)，需要將兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母化成同一個(gè)數(shù)”。這時(shí)，教師可以引出“通分”這一概念。與此同時(shí)，教師可以操作電子白板，演示類似現(xiàn)象。學(xué)生通過不斷觀察、思考，得出結(jié)論——在進(jìn)行異分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算時(shí)，要先通分，再進(jìn)行同分母分?jǐn)?shù)加法計(jì)算。如此學(xué)習(xí)使學(xué)生輕松掌握了算理，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算水平。

3.以形助數(shù)，解決數(shù)學(xué)問題

善于解決數(shù)學(xué)問題不是指善于遵循一定的標(biāo)準(zhǔn)來解決問題，而是能獨(dú)立思考，使用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題[6]。數(shù)形結(jié)合是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的助手，學(xué)生通過繪制線段圖，可以直觀地發(fā)現(xiàn)問題中的數(shù)量關(guān)系，順利解決問題。又如，學(xué)生通過繪制圖像、圖表等，可以直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的規(guī)律，找到解決問題的方法。對(duì)此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助形來解決數(shù)學(xué)問題。

例如，在學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識(shí)”時(shí)，學(xué)生要解決應(yīng)用題：“超市的一盒軍棋8 元，一盒象棋是軍棋價(jià)格的4 倍。請(qǐng)問，一盒象棋多少錢？”在剛剛認(rèn)知“倍”的概念的情況下，大部分學(xué)生面對(duì)這個(gè)應(yīng)用題很容易摸不著頭腦。這時(shí)，教師可以指導(dǎo)他們繪制線段圖。教師可以引導(dǎo)學(xué)生將8 元看作一個(gè)線段。學(xué)生會(huì)遷移課堂認(rèn)知，畫出4 段同樣長(zhǎng)的線段，展現(xiàn)“一盒象棋是軍棋價(jià)格的4 倍”的含義。在直觀、清晰的線段圖的作用下，學(xué)生發(fā)散思維，轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，如“求象棋的價(jià)格，就是在求4 盒軍棋的價(jià)格”。如此一來，學(xué)生可以輕松列出算式：8×4，得出結(jié)果：32。教師可以依據(jù)學(xué)生的問題解決情況，總結(jié)解題方法——畫線段圖，強(qiáng)化認(rèn)知。同時(shí)，教師可以呈現(xiàn)其他類似問題，鼓勵(lì)學(xué)生自主解決。在解決問題后，大部分學(xué)生利用線段圖展現(xiàn)問題中的條件，獲取數(shù)量關(guān)系并列式、計(jì)算。學(xué)生體驗(yàn)這樣的數(shù)學(xué)問題解決活動(dòng)，切實(shí)掌握了方法，建構(gòu)了以形助數(shù)的認(rèn)知，有利于今后解決數(shù)學(xué)問題。

（二）以數(shù)輔形

1.以數(shù)輔形，感知圖形特點(diǎn)

盡管幾何圖形的性質(zhì)具有直觀性，但是在缺乏量化分析的情況下，學(xué)生對(duì)圖形的特征是難以判斷的。對(duì)此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)來分析形，把握數(shù)量關(guān)系，確定圖形的特點(diǎn)，增強(qiáng)對(duì)圖形的認(rèn)知。

例如，在教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形”時(shí)，教師可以為學(xué)生提供大小不同的長(zhǎng)方形模型，引導(dǎo)學(xué)生觀察、測(cè)量，建立表格，展現(xiàn)每個(gè)長(zhǎng)方形模型的長(zhǎng)、寬、角等信息。在操作的過程中，學(xué)生獲得數(shù)據(jù)，建立表格，認(rèn)真對(duì)比，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的特點(diǎn)，如，“長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角”“長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等”“長(zhǎng)方形永遠(yuǎn)有兩個(gè)長(zhǎng)邊和兩個(gè)短邊”等。基于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，教師可以進(jìn)行歸納，使學(xué)生建立完善的認(rèn)知。之后，教師可以按照如此方式，引導(dǎo)學(xué)生探尋正方形的特點(diǎn)。甚至，教師可以引導(dǎo)學(xué)生操作電子白板，改變長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)，不斷測(cè)量長(zhǎng)度。在操作的過程中，學(xué)生借助具體的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬同樣長(zhǎng)時(shí)，會(huì)變成一個(gè)正方形，由此發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形和正方形的關(guān)系——正方形是特殊的長(zhǎng)方形。學(xué)生由此便可在腦海中建立深刻的印象，建構(gòu)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

2.以數(shù)輔形，證明圖形問題

證明離不開嚴(yán)密的邏輯推理。一般情況下，經(jīng)過證明的結(jié)論是具有科學(xué)性的。一些圖形問題雖然可以通過直接觀察得出結(jié)論，但仍需要借助數(shù)證明，使結(jié)論更準(zhǔn)確、科學(xué)。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)來證明圖形問題。

例如，在學(xué)習(xí)“圓”后，學(xué)生會(huì)面對(duì)這樣的證明（如圖1）：某人從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，有兩條路可選，分別為①和②，哪一條路更近？為什么？

圖1

經(jīng)過一番觀察，學(xué)生會(huì)提出猜測(cè)。在學(xué)生觀察后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生使用賦值法，賦予大圓和三個(gè)小圓不同的直徑。通過閱讀題目，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，比較路程的遠(yuǎn)近其實(shí)就是在比較半圓的弧長(zhǎng)。因此，學(xué)生可以遷移已有認(rèn)知，借助圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式列出算式，得出結(jié)論——兩條路一樣長(zhǎng)。通過用數(shù)來證明形，學(xué)生可以輕松解決問題。此外，在解決問題的過程中，學(xué)生受數(shù)形結(jié)合思想的影響，能夠掌握以數(shù)輔形法，用轉(zhuǎn)化數(shù)與形來解決數(shù)學(xué)問題，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

三、結(jié)束語

總而言之，數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的助力。學(xué)生通過掌握、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，既可以降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，還可以扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，獲取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)思維能力，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高問題解決能力，培養(yǎng)審美情操?；诖耍W(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)注重滲透數(shù)形結(jié)合思想，以日常教學(xué)為依托，以教學(xué)需要為依據(jù)，借助數(shù)與形的關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念、解決數(shù)學(xué)問題，做到以形助數(shù)，以及用數(shù)來感知圖形特點(diǎn)，證明圖形問題，做到以數(shù)輔形，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提質(zhì)增效。