基于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的高中數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)初探

汪曉勤　鄒佳晨

【摘 要】中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化最重要的組成部分，要讓中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)課程和教學(xué)，教師首先需要充分利用中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史資源。研究者從《九章算術(shù)》中“等差數(shù)列問題”“陽馬和鱉臑問題”出發(fā)，設(shè)計(jì)留白創(chuàng)造式教學(xué)的系列任務(wù)，并提出基于中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的若干留白策略：古名今辯，留陳述之白；古題今解，留方法之白；古術(shù)今推，留論證之白；古法今用，留發(fā)現(xiàn)之白；古問今編，留問題之白；古算今思，留超越之白。

【關(guān)鍵詞】中算史；等差數(shù)列；鱉臑；陽馬；留白創(chuàng)造式

一、引言

自2021年教育部頒布《中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)中小學(xué)課程教材指南》以來，如何將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入學(xué)科教學(xué)，成了學(xué)術(shù)界和一線教師十分關(guān)注的課題。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的歷史（以下簡(jiǎn)稱中算史）是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要組成部分之一，要讓中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)入數(shù)學(xué)課程和教學(xué)，教師首先需要充分利用中算史的資源。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有著悠久的歷史、輝煌的成就和豐富的內(nèi)容，中算史既是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的工具，其潛在的教育價(jià)值有待于人們?nèi)ネ诰?。如果僅僅將中算史視為數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)，那么教師可能僅僅會(huì)采用附加式進(jìn)行教學(xué)，如介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就、數(shù)學(xué)家及其數(shù)學(xué)著作；但如果將中算史視為數(shù)學(xué)教學(xué)的工具，那么教師就需要采用更多的方式去運(yùn)用有關(guān)素材，包括概念、問題、命題、法則、思想方法等，具體方式有復(fù)制式、順應(yīng)式甚至重構(gòu)式。

數(shù)學(xué)史告訴我們，前人留白，后人創(chuàng)新，留白是創(chuàng)新的必要條件［1-2］。類似地，在數(shù)學(xué)課堂上，教師只有留白，方能引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新，這正是留白創(chuàng)造式教學(xué)［3］的要義。由于古今數(shù)學(xué)表達(dá)方式、思想方法迥然不同，原原本本運(yùn)用中算史料必然是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠、甚至是沒有必要的。在留白創(chuàng)造式教學(xué)中，教師需要以中算史料為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計(jì)問題，為學(xué)生提供廣闊的思維空間和足夠的探究機(jī)會(huì)，以培養(yǎng)創(chuàng)新能力，落實(shí)學(xué)科德育，從而充分發(fā)揮中算史的多元教育價(jià)值。本文以漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中的若干主題為例，從數(shù)學(xué)教學(xué)工具的角度來討論中算史在高中數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)中的應(yīng)用。

二、等差數(shù)列問題

（一）《九章算術(shù)》中的等差數(shù)列問題

《九章算術(shù)》均輸章設(shè)有以下兩個(gè)等差數(shù)列問題。

問題1 今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等。問：各得幾何？

問題1用今天的符號(hào)語言來表達(dá)就是：在等差數(shù)列a1，a2，a3，a4，a5（ai＞0，i=1，2，3，4，5）中，已知S5=5，a1+a2+a3=a4+a5，求ai?！毒耪滤阈g(shù)》是從配分比例的視角來解決問題?？紤]從1開始的正整數(shù)列1，2，3，4，5，該數(shù)列前3項(xiàng)之和為6，后2項(xiàng)之和為9，不滿足所求數(shù)列所要求的條件——前3項(xiàng)之和與后2項(xiàng)之和相等。在每項(xiàng)上加一個(gè)數(shù)p，得到數(shù)列1+p，2+p，3+p，4+p，5+p，使得（1+p）+（2+p）+（3+p）=（4+p）+（5+p），即p=[9-63-2]=3，于是得到一個(gè)滿足條件“前3項(xiàng)之和與后2項(xiàng)之和相等”的數(shù)列4，5，6，7，8。這就是說，所求數(shù)列各項(xiàng)之比為4∶5∶6∶7∶8，因其各項(xiàng)之和為5，故得各項(xiàng)依次為[430]×5，[530]×5，[630]×5，[730]×5，[830]×5。

三、陽馬和鱉臑問題

（一）陽馬與鱉臑

中國(guó)古代有著完備的多面體體積理論，《九章算術(shù)》給出了方亭、方錐、塹堵、陽馬、鱉臑、羨除、芻甍、芻童等多種立體圖形的體積計(jì)算方法，這些方法都是正確的。在這些立體圖形中，最基本的圖形是鱉臑。劉徽在注文中指出：“不有鱉臑，無以審陽馬之?dāng)?shù)，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實(shí)之主也。”［4］

將長(zhǎng)方體沿對(duì)角面分割，得到兩個(gè)同樣的塹堵（如圖3）；將塹堵沿對(duì)角面分割，得到一個(gè)陽馬和一個(gè)鱉臑（如圖4）；將陽馬沿過垂直于底面的棱的對(duì)角面分割，得到兩個(gè)鱉臑，古人因此也將鱉臑稱為“半陽馬”（如圖5）。

關(guān)于陽馬和鱉臑，劉徽有以下結(jié)論：（1）陽馬與鱉臑的體積之比為2∶1，今稱“劉徽原理”；（2）長(zhǎng)方體體積是陽馬體積的3倍；（3）長(zhǎng)方體體積是鱉臑體積的6倍。

利用長(zhǎng)方體、塹堵、陽馬和鱉臑的體積公式，可以推導(dǎo)方亭、方錐、羨除、芻甍、芻童等立體圖形的體積，例如：一個(gè)方亭（今稱正四棱臺(tái)）可以分割成一個(gè)長(zhǎng)方體、四個(gè)塹堵和四個(gè)陽馬（如圖6），分別計(jì)算其體積，即可推導(dǎo)出正四棱臺(tái)體積公式。

（二）任務(wù)設(shè)計(jì)

圍繞陽馬和鱉臑這兩種基本立體圖形，教師可以編寫閱讀材料“中國(guó)古代立體幾何中的陽馬與鱉臑”，然后設(shè)計(jì)系列任務(wù)，讓學(xué)生深入思考并加以解決。

任務(wù)1 請(qǐng)給鱉臑下一個(gè)定義。

可以用以下兩種方式來定義鱉臑。

定義1：鱉臑是底面為直角三角形、有一條棱過底面非直角頂點(diǎn)且垂直于底面的三棱錐。

定義2：鱉臑是各面均為直角三角形的四面體。

教師還可以讓學(xué)生論證兩種定義的等價(jià)性。

任務(wù)2 如圖7，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，試分別將其分割成三個(gè)陽馬和六個(gè)鱉臑。

任務(wù)3 有人構(gòu)造了一個(gè)反例，說明“各面均為直角三角形的四面體不一定是鱉臑”：如圖8所示，在三棱錐S-ABC的底面和各側(cè)面中，∠ABC=∠SAB=∠SCB=∠ASC=90°。請(qǐng)問這樣的三棱錐存在嗎？

事實(shí)上，這樣的三棱錐并不存在，因?yàn)楫惷嬷本€SA和BC之間不可能同時(shí)存在兩條不同的公垂線AB和SC。

任務(wù)4 利用祖暅公理證明在同一個(gè)塹堵中，陽馬體積是鱉臑體積的2倍。

任務(wù)5 如圖9，在塹堵AA1B-DD1C中，AB=BC=AA1=1。（1）試分別求二面角A-A1B-C、A-A1C-D1、A-A1C-D和B-A1C-D的大??；（2）分別求異面直線AC和A1B、AB和A1C、A1C和AD、A1C和DD1之間的距離。

任務(wù)6 如圖10，在鱉臑A1-ABC中，P是A1B上一點(diǎn)，當(dāng)P位于何處時(shí)，△PAC的面積最?。?/p>

任務(wù)7 利用陽馬和鱉臑，你能分別編制一個(gè)立體幾何問題嗎？

任務(wù)8 從陽馬和鱉臑問題中，你能感悟到什么思想方法？

四、基于中算史料的留白策略

在數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)中，共有6種留白形式，即陳述之白、發(fā)現(xiàn)之白、論證之白、方法之白、問題之白和超越之白［2］。從以上任務(wù)設(shè)計(jì)中可以總結(jié)出基于中算史料的若干典型的留白策略。

（一）古名今辯，留陳述之白

古名今辯指用今天的數(shù)學(xué)語言來解釋中算術(shù)語，設(shè)置古名今辯的任務(wù)，即為學(xué)生留陳述之白。中算史的許多術(shù)語都十分簡(jiǎn)潔，如“塹堵”、“陽馬”和“鱉臑”，如果用今天的數(shù)學(xué)語言來描述，分別是“底面為直角三角形的直三棱柱”、“底面為長(zhǎng)方形、有一條棱過底面頂點(diǎn)且垂直于底面的四棱錐”和“底面為直角三角形、有一條棱過底面非直角頂點(diǎn)且垂直于底面的三棱錐”，對(duì)于這三種特殊的立體圖形，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中并沒有專門的名稱，因此，有必要沿用古代的術(shù)語，就像人們沿用“牟合方蓋”之名來稱謂“兩個(gè)底面直徑相等的直交圓柱體的公共部分”一樣。另一方面，中算史的術(shù)語往往源于現(xiàn)實(shí)生活，十分直觀形象，如“鱉臑”原意是“甲魚的前肢骨”，“陽馬”原意是“四柱屋隅”。教師讓學(xué)生對(duì)有關(guān)“陽馬”“鱉臑”加以定義（“陽馬和鱉臑問題”任務(wù)1），既可以培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力，也可以幫助他們?cè)诰唧w幾何圖形中正確識(shí)別相應(yīng)圖形（“陽馬和鱉臑問題”任務(wù)2），還可以增強(qiáng)他們應(yīng)用“基本幾何體”的意識(shí)。

（二）古題今解，留方法之白

古題今解指用現(xiàn)代方法或古人的其他方法來解中算史上的某個(gè)問題，設(shè)置古題今解的任務(wù)，即為學(xué)生留方法之白。古人分別用配分比例法和“凡差術(shù)”來解“五人分錢”和“竹節(jié)均容”問題，與今人的代數(shù)解法（等差數(shù)列任務(wù)1）迥然不同，也可以互換方法，即用“凡差術(shù)”解“五人分錢”問題，用配分比例法來解“竹節(jié)均容”問題（等差數(shù)列任務(wù)2）。學(xué)生在補(bǔ)白過程中，對(duì)古今數(shù)學(xué)方法進(jìn)行比較，既能感悟現(xiàn)代方法的優(yōu)越性，也可以建立數(shù)列和比例之間的密切聯(lián)系，還可以學(xué)會(huì)擯棄自我為中心的思維習(xí)慣，走進(jìn)古人的心靈之中，從而可以站在古人的角度思考：為什么不用配分比例法來解“竹節(jié)均容”問題，為什么不用“方程術(shù)”來解“五人分錢”問題等。

（三）古術(shù)今推，留論證之白

古術(shù)今推指用現(xiàn)代方法來推導(dǎo)中算史上的某個(gè)公式或證明中算史上的某個(gè)命題，設(shè)置古術(shù)今推的任務(wù)，即為學(xué)生留論證之白。《九章算術(shù)》作者對(duì)于問題解決過程中涉及的公式、命題、方法的來源均不著一字，為后世留下論證之白，劉徽在注解此書時(shí)作了大量的補(bǔ)白工作。已知等差數(shù)列最前面若干項(xiàng)之和與最后面若干項(xiàng)之和，《九章算術(shù)》給出了公差的求法，讓學(xué)生用代數(shù)方法得出這個(gè)求法（“等差數(shù)列問題”任務(wù)3），或推測(cè)古人推導(dǎo)公式的方法，其實(shí)就是將中算史上的論證之白留給學(xué)生。類似地，劉徽在注文中指出，在一個(gè)塹堵中，陽馬體積是鱉臑體積的2倍，讓學(xué)生利用祖暅公理證明該結(jié)論（“陽馬和鱉臑問題”任務(wù)4），采用的是類似的留白形式。學(xué)生通過補(bǔ)白，既可發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)，又可以從古人的角度來思考論證方法，實(shí)現(xiàn)跨越時(shí)空的思想交流。

（四）古法今用，留發(fā)現(xiàn)之白

古法今用指將中算史上的數(shù)學(xué)方法用于新情境、新問題，以新知?jiǎng)?chuàng)獲為目的，設(shè)置古法今用的任務(wù)，即為學(xué)生留發(fā)現(xiàn)之白。人們比較熟悉的例子是利用趙爽弦圖來發(fā)現(xiàn)均值不等式，類似地，利用劉徽的勾股容方圖也可以發(fā)現(xiàn)均值不等式［5］，利用出入相補(bǔ)原理可以發(fā)現(xiàn)兩角和與差的正弦公式［6］，等等。古法今用的留白策略，頗有點(diǎn)“無心插柳”的意味。劉徽僅利用“凡差術(shù)”來求等差數(shù)列的公差，并未試圖將其用于前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)。事實(shí)上，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式見于盈不足章“二馬相逢”問題的解法，用今日的代數(shù)符號(hào)來表達(dá)就是，南宋數(shù)學(xué)家楊輝通過構(gòu)造“良馬圖”和“駑馬圖”［7］，從幾何的角度對(duì)公式加以推導(dǎo)。然而，與幾何方法截然不同的是，利用“凡差術(shù)”也能發(fā)現(xiàn)求和公式（“等差數(shù)列問題”任務(wù)6），在這一全新的方法中，求和公式并非建立在通項(xiàng)公式的基礎(chǔ)之上，兩者是平行的?？梢?，站在古人的肩膀上，今人確實(shí)能做出創(chuàng)新。

（五）古問今編，留問題之白

古問今編指從中算史上的數(shù)學(xué)問題出發(fā)編制新的數(shù)學(xué)問題。一方面，中算史料為教師留下問題之白：從中算史料出發(fā)，運(yùn)用不同的問題編制策略［8］，教師可以設(shè)計(jì)豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，如利用“條件式”策略，改變具體的條件或?qū)l件一般化來編制問題（“等差數(shù)列問題”任務(wù)4和5）；運(yùn)用“自由式”策略來編制問題（“陽馬和鱉臑問題”任務(wù)3、5和6）。另一方面，教師設(shè)置古問今編的任務(wù)，也為學(xué)生留了問題之白，如“等差數(shù)列問題”任務(wù)7和“陽馬和鱉臑問題”任務(wù)7。

除了有助于提升學(xué)生的問題提出能力，古問今編還可以讓學(xué)生跨越時(shí)空與古人對(duì)話，思考古人能否和如何解決新題，拓展古人的解法和思路。例如，在劉徽的“七人分七錢”問題中，已知前5人和后2人所得錢數(shù)相等，則由數(shù)列1，2，3，…，7構(gòu)造滿足條件的新數(shù)列1+p，2+p，3+p，…，7+p時(shí)，p=-[23]，拓展了“五人分錢”問題中p取正數(shù)的情形。

（六）古算今思，留超越之白

古算今思指從中算史上有關(guān)數(shù)學(xué)問題的解法中獲取思想的啟迪，設(shè)置古算今思的任務(wù)，即為學(xué)生留超越之白。“等差數(shù)列問題”任務(wù)8與“陽馬和鱉臑問題”任務(wù)8都屬于這類留白形式?！拔迦朔皱X”問題的解法揭示了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的構(gòu)造性特征：首先構(gòu)造一個(gè)滿足已知條件的數(shù)列，然后用配分比例來解決問題。陽馬和鱉臑問題則揭示了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想——化繁為簡(jiǎn)，把多面體轉(zhuǎn)化為最基本的立體“鱉臑”和“陽馬”。此外，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題和術(shù)語都揭示了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系；劉徽的注解則揭示了中算家的理性精神，并有力地證明“中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒有演繹推理和證明”這樣的觀點(diǎn)是完全錯(cuò)誤的。

五、結(jié)語

中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化博大精深，本文所舉，不過滄海一粟；所呈現(xiàn)的任務(wù)設(shè)計(jì)，并不局限于一兩節(jié)課，也不局限于新授課或復(fù)習(xí)課。有了古名今辯、古題今解、古術(shù)今推、古法今用、古問今編和古算今思這六種策略，中算史進(jìn)課程、進(jìn)課堂，將不再是理想的空談，而是有法可依、易于落地的教育工程。在留白創(chuàng)造式教學(xué)中，作為教學(xué)目標(biāo)的中算史，可以展示中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化之魅、達(dá)成數(shù)學(xué)學(xué)科德育之效；而作為教學(xué)工具的中算史，則有助于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)和創(chuàng)新能力。另一方面，倘若帶著教育的眼光來研讀中算文獻(xiàn)，我們會(huì)深切地感受到在那些冰冷、塵封的文字背后，竟蘊(yùn)藏著勃勃生機(jī)。留白創(chuàng)造式教學(xué)這一符合時(shí)代需求的教學(xué)方式，將讓中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化大放光彩。

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（責(zé)任編輯：陸順演）

【作者簡(jiǎn)介】汪曉勤，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教師教育研究；鄒佳晨，博士，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院講師，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)教師教育研究。

【基金項(xiàng)目】上海高校立德樹人人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地研究項(xiàng)目“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化進(jìn)數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐研究”；上海市第四期雙名工程課題“中小學(xué)數(shù)學(xué)留白創(chuàng)造式教學(xué)”