對等差數(shù)列前n項和公式教學(xué)的思考

【摘 要】 按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》要求，等差數(shù)列數(shù)列求和公式是學(xué)生需要掌握的內(nèi)容.那么，課堂上如何組織引導(dǎo)教學(xué)才能既符合學(xué)生的認(rèn)知，又能使教學(xué)推進(jìn)自然流暢，應(yīng)是每一位教師思考的問題.本文以高斯故事作為推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的切入點，探究了“首尾配對”與“倒序相加”的本質(zhì)，分析了兩種推導(dǎo)公式策略的難點及兩個求和公式之間的聯(lián)系，進(jìn)而運用類比的方法和函數(shù)觀點深化了公式的理解。為教師更好地駕馭課堂，文章通過兩個求和實例（1+2+3+…+100與1+2+3+…+99），預(yù)設(shè)了推導(dǎo)前n個正整數(shù)和公式的6種途徑，提供了4條突破倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式難點的思路，給出了兩個公式互化的4種方法，最后利用幾個經(jīng)典題目揭示了兩個公式的內(nèi)含及靈活應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 等差數(shù)列；前n項和公式；倒序相加；駕馭課堂

最近筆者有幸擔(dān)任我市招聘教師評委，聆聽了十七位應(yīng)聘者關(guān)于《等差數(shù)列前n項和》的講課比賽，聽后感慨頗多，特別是在許多教學(xué)環(huán)節(jié)的呈現(xiàn)上，怎樣才能自然和諧地推進(jìn)而不生搬硬套，怎樣才能突出數(shù)學(xué)的邏輯美，并且利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)等.因此本文欲從等差數(shù)列求和的教學(xué)中如何更好地駕馭課堂，如何根據(jù)課堂教學(xué)的實際情景靈活應(yīng)對，談一點個人的思考與體會.

1 以高斯故事引入

大多教師在教學(xué)等差數(shù)列求和公式時都用高斯求和的故事引入.高斯故事在全世界廣為流傳，版本較多，最值得信賴的說法有兩種：一是高斯10歲時算出他的老師布特納給學(xué)生們出的將1到100的所有整數(shù)加起來的算術(shù)題，布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案.二是據(jù)對高斯素有研究的著名數(shù)學(xué)史家E·T·貝爾（E.T.Bell）考證，布特納當(dāng)時給孩子們出的是一道更難的加法題：81297+81495+81693+…+100899.當(dāng)然，這也是一個等差數(shù)列的求和問題（公差為198，項數(shù)為100）.E·T·貝爾寫道，高斯晚年經(jīng)常喜歡向人們談?wù)撨@件事，說當(dāng)時只有他在老師剛寫完題時就在小石板上寫出了正確答案，而其他的孩子們都錯了.可是高斯沒有明確地講過，他是用什么方法那么快就解決了這個問題.數(shù)學(xué)史家們推測，高斯當(dāng)時用的方法可能是：首尾配對法或倒序相加法.雖然兩種方法本質(zhì)都是配對湊成相同的數(shù)，變多步求和為一步相乘，但在方法的應(yīng)用上是有區(qū)別的.作為時間寶貴的課堂教學(xué)當(dāng)然宜采用第一種說法.

2 公式推導(dǎo)方法探究

4 教學(xué)難點的確定

本課難點常見的說法有三種：第一種，獲得等差數(shù)列前n項和公式推導(dǎo)的思路；第二種，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及從函數(shù)角度理解該公式；第三種，①對公式推導(dǎo)過程中歸納出一般規(guī)律的理解與領(lǐng)會，②靈活應(yīng)用公式解決一些簡單的有關(guān)問題.不同學(xué)生的認(rèn)知水平不同，不同教師的教學(xué)風(fēng)格不同，理解角度不同，對難點的確定和教學(xué)安排多少都會有些許差別，屬于正?，F(xiàn)象.其實結(jié)合課標(biāo)要求和課程內(nèi)容特點，概括地講難點就是：獲得公式的推導(dǎo)方法及公式的理解應(yīng)用.對于理解應(yīng)用公式，值得參考的題目，如：

題1 求正整數(shù)中前500個偶數(shù)的和.

評注 可以用兩個公式求和，也可以用公式推導(dǎo)過程中使用的方法，倒序相加或首尾配對等多種方法求解.此題難度不大，但接地氣，能有效的回顧復(fù)習(xí)當(dāng)堂所學(xué)的知識.

題2 計算：1-2+3-4+…+（2n-1）-2n.

評注：本題可使學(xué)生進(jìn)一步理解求和的意義，及對等差數(shù)列求和公式中基本量的理解和刻畫.其次，公式推導(dǎo)中的配對，實質(zhì)是一種并項法，宏觀上也可以看作是分組求和，那么本題你是采用并項法，還是分組運用公式求和，是又一仁者見仁，智者見智的好題.題3 等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，項數(shù)為n，第n項為an，前n項和為Sn，請?zhí)顚懴卤恚?/p>

5 結(jié)束語

等差數(shù)列求和的兩個公式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的多樣性和簡潔性.公式Sn=n（a1+an）2的結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)對稱美及與項的關(guān)系，同時也方便了記憶，如類比梯形的面積公式增強(qiáng)記憶.公式Sn=na1+n（n-1）2d=d2n2+（a1-d2）n，當(dāng)d≠0時，Sn可看作是n的二次函數(shù)式，方便了從函數(shù)的角度進(jìn)一步認(rèn)識和理解等差數(shù)列的前n項和，特別是為求Sn的最值提供了新思路.普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)”，等差數(shù)列求和公式的教學(xué)便是體現(xiàn)這一思想的良好素材，教學(xué)中應(yīng)注重公式推導(dǎo)的來龍去脈，切莫囫圇吞棗，直接給出公式，然后布置大量習(xí)題，把學(xué)生趕進(jìn)題海，將學(xué)生變成做題的機(jī)器，從而白白浪費了一次培養(yǎng)思維和提升數(shù)學(xué)文化價值的良機(jī).另外，隨著“以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)理念逐步深入，學(xué)生自主探索、合作交流、觀察發(fā)現(xiàn)的能力在不斷加強(qiáng)，課堂教學(xué)情境千變?nèi)f化，隨機(jī)生成的問題將會越來越多，教師“以本論教，經(jīng)驗定教”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能迎接新挑戰(zhàn)的，正如時下流行的說法那樣：過去的教師，要給學(xué)生一碗水，教師應(yīng)有一桶水，現(xiàn)在的教師，要給學(xué)生一滴水，自己必須是長流水.因此，教師只有不斷學(xué)習(xí)，不斷鉆研，教學(xué)相長，才能更好的活躍在課堂舞臺上.作者簡介

劉正章，男，1968年8月生，漢中市數(shù)學(xué)學(xué)會常務(wù)理事，省數(shù)學(xué)學(xué)會會員，國家級骨干教師，先后獲“省國防工辦系統(tǒng)青年崗位能手”、“漢中名師”、“省教科研先進(jìn)個人”，十多次各級“優(yōu)秀教師”，主編數(shù)學(xué)輔導(dǎo)書籍13部，發(fā)表論文近70篇.