平行板電容器中介質(zhì)受力問(wèn)題的討論

陳德智 李卓凡

(華中科技大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院, 武漢 430074)

許多電磁場(chǎng)教科書在介紹虛功原理計(jì)算靜電力時(shí)采用了這樣一道例題[1-6]:如圖1所示,介電常數(shù)不同的兩塊介質(zhì)插入平行板電容器之間,求介質(zhì)塊所受的靜電力。求解過(guò)程摘要如下:

圖1 插入平行板電容器的兩塊介質(zhì)塊

忽略邊緣效應(yīng),電場(chǎng)只存在于V1、V2區(qū)域,故E1=E2=U/d,電場(chǎng)能量為

(1)

式中,ε1、ε2分別為兩塊介質(zhì)的介電常數(shù);V1=bdl,V2=bd(a-l),分別是進(jìn)入電容器內(nèi)部的兩塊介質(zhì)的體積,其中U是極板電壓,d為極板間距,a為電容器長(zhǎng)度,l為介質(zhì)1進(jìn)入電容器的長(zhǎng)度,b為電容器垂直于紙面方向的深度。設(shè)介質(zhì)1發(fā)生虛位移dl,采用虛功原理,得到介質(zhì)受力[6]:

(2)

方向指向電容器內(nèi)部,如圖1所示。

另外有一些教材經(jīng)常采用靜電力導(dǎo)致液面升高的例子作為習(xí)題或例題(如文獻(xiàn)[7-8]),原理與此相仿。

題目本身并無(wú)多大討論價(jià)值,但是作為一道例題,涉及到電磁場(chǎng)教學(xué)中對(duì)電磁力作用機(jī)理與計(jì)算方法的正確理解。此題求解過(guò)程及結(jié)果的有趣之處在于,在忽略邊緣效應(yīng)的情況下,電場(chǎng)只有垂直分量,但是介質(zhì)塊卻受到了一個(gè)橫向的電場(chǎng)力。根據(jù)電磁場(chǎng)理論,材料所受的電磁力歸根結(jié)底是材料中的電荷與電流所受的電磁力,即洛倫茲力:

F=q(E+v×B)

(3)

那么,垂直方向的電場(chǎng)如何產(chǎn)生了橫向的作用力?

這個(gè)問(wèn)題很早就被注意到,但幾十年來(lái),圍繞這個(gè)問(wèn)題的討論一直絡(luò)繹不絕,至今仍然有一些問(wèn)題不夠清晰,故有必要加以討論和明確。

虛功原理是依據(jù)能量守恒原理,通過(guò)電場(chǎng)力虛擬做功引起的電場(chǎng)能量變化來(lái)計(jì)算物體的受力,它本身不涉及受力的機(jī)制。那么靜電力是如何作用的?

1 關(guān)于介質(zhì)受力機(jī)制的解釋

1.1 邊緣場(chǎng)是介質(zhì)受力的根本原因

既然產(chǎn)生橫向作用力必須依賴橫向電場(chǎng),而橫向電場(chǎng)只存在于電容器極板的邊緣之外,所以我們把目光移向介質(zhì)露出在電容器之外的部分V1b和V2b,從邊緣效應(yīng)出發(fā)去尋找受力的解釋。

如圖2所示,考慮邊緣電場(chǎng),在介質(zhì)露出電容器外的部分,電場(chǎng)具有橫向分量且不均勻。介質(zhì)極化產(chǎn)生的電荷效應(yīng),有兩種表達(dá)方式:一種方式是考慮介質(zhì)表面的極化電荷σp,所受電場(chǎng)力為

(a)極化電荷受力模型

(b)電偶極矩受力模型圖2 極化介質(zhì)的受力機(jī)制

f=σpE

(4)

如圖2(a)所示,極化電荷σp會(huì)受到電容器極板向右的吸引力。

另一種方式是考慮介質(zhì)內(nèi)部的電偶極矩(單位體積的電偶極矩用極化矢量P表示),如圖2(b)所示,在不均勻電場(chǎng)中,電偶極矩將受到向電場(chǎng)增大方向的作用力,也指向電容器方向[9-11]。

兩種方法對(duì)于力的分布有所不同,但是計(jì)算介質(zhì)的整體受力是等價(jià)的。以下采用電偶極矩分析,單位體積受到的靜電力為:

f=(P·▽)E

(5)

對(duì)左側(cè)介質(zhì)進(jìn)行體積分,得到整體所受靜電力為

(6)

(7)

式中S=bd是介質(zhì)塊右端面面積。F1是左側(cè)介質(zhì)的受力,對(duì)應(yīng)于式(2)中右側(cè)介質(zhì)為空氣的情況。

從式(7)看,似乎是在介質(zhì)右端面上受到一個(gè)單位面積為

(8)

的電場(chǎng)力。但是回顧式(7)的推導(dǎo)過(guò)程,就知道并不存在這樣的力。式(6)清楚地表明,閉合面積分是只是數(shù)學(xué)變換的結(jié)果,并不表示力存在于端面上。

實(shí)際上,從式(6)的第三個(gè)等號(hào)

(9)

可以看到,介質(zhì)位于電容器內(nèi)部的部分,由于電場(chǎng)近乎均勻,▽E2近乎為0,對(duì)積分貢獻(xiàn)可以忽略不計(jì)。對(duì)式(9)的貢獻(xiàn)主要源自介質(zhì)左側(cè)露出電容器外部的區(qū)域,該區(qū)域電場(chǎng)不均勻,▽E2數(shù)值較大。

上述結(jié)果表明:介質(zhì)塊受到的力確實(shí)是來(lái)自邊緣電場(chǎng)對(duì)露在電容器外的介質(zhì)極化電荷的作用力。換言之:雖然虛功原理中沒(méi)有計(jì)算邊緣效應(yīng),但是邊緣效應(yīng)才是受力的根本,介質(zhì)必須有一部分露出在電容器外部。

為進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)論,采用有限元法和虛功原理計(jì)算了介質(zhì)塊從外部逐漸進(jìn)入電容器過(guò)程的受力變化,如圖3所示。結(jié)果表明,介質(zhì)塊進(jìn)入電容器之前(l< 0 m)受到很小的力;當(dāng)介質(zhì)塊右邊緣即將接觸電容器時(shí)(l=0 m),受力有一個(gè)極大值;隨后,隨著介質(zhì)塊部分進(jìn)入電容器(0 m2 m)后,電場(chǎng)力降為0?？梢?jiàn),介質(zhì)塊露在電容器外的部分才是受力的關(guān)鍵。

(a)介質(zhì)塊從外部進(jìn)入電容的計(jì)算模型

(b)介質(zhì)塊受力及系統(tǒng)能量隨位置的變化

(c)根據(jù)有限元結(jié)果繪制的介質(zhì)表面受力分布圖3 介質(zhì)塊從外部進(jìn)入電容器過(guò)程中的受力變化

進(jìn)一步,根據(jù)有限元計(jì)算結(jié)果,繪出了介質(zhì)表面極化電荷面密度受力分布f=σpE,如圖3(c)所示。其積分結(jié)果與前文的結(jié)果吻合。該圖直觀地顯示了介質(zhì)受力分布。

計(jì)算模型參數(shù):極板寬度a=5 m,極板厚度0.1 m,板間距d=1 m,極板深度b=1 m,板間電壓為1000 V;介質(zhì)塊寬度為2 m,高度為1 m。l為介質(zhì)塊右邊緣至極板邊緣的距離,l<0 m表示介質(zhì)塊完全在電容器外部,l>0 m表示介質(zhì)塊已進(jìn)入電容器;l=2 m表示介質(zhì)塊剛好全部進(jìn)入電容器。電場(chǎng)力的計(jì)算采用虛功原理。參數(shù)是隨意寫的,只作數(shù)值驗(yàn)證用。

1.2 為什么忽略邊緣效應(yīng)可以得到正確的結(jié)果

既然邊緣效應(yīng)才是產(chǎn)生力的原因,為什么采用虛功原理時(shí)忽略邊緣效應(yīng)卻可以得到正確的結(jié)果?關(guān)于這個(gè)問(wèn)題,后續(xù)有學(xué)者做出了正確的解釋[12]。簡(jiǎn)述如下:

回顧圖1,設(shè)介質(zhì)1和介質(zhì)2都有部分進(jìn)入了電容器,只要介質(zhì)露在電容器外部的體積(V1b,V2b)足夠大,當(dāng)介質(zhì)在電容器內(nèi)發(fā)生微小的虛位移時(shí),邊緣區(qū)以及外部區(qū)域的能量是不變的,變化的只是電容器內(nèi)部(V1+V2)的能量,因此對(duì)總能量求導(dǎo)也就是對(duì)這部分能量的求導(dǎo)。在這種情況下,只要電容器長(zhǎng)度、寬度遠(yuǎn)大于極板間距,內(nèi)部的電場(chǎng)就能夠用E=U/d計(jì)算。只要滿足這幾個(gè)條件,忽略邊緣效應(yīng)就不會(huì)影響結(jié)果的正確性。

1.3 虛位移法得到的力是誰(shuí)的受力

存在兩種介質(zhì)的情況下,虛位移法得到的力是誰(shuí)的受力?這個(gè)問(wèn)題通常容易被視而不見(jiàn),多數(shù)時(shí)候會(huì)被籠統(tǒng)地問(wèn):“計(jì)算介質(zhì)受力”,或者“交界面受力”(交界面下文將談及)。但如果要深究,這個(gè)問(wèn)題就必須予以明確。

發(fā)生虛位移時(shí),兩塊介質(zhì)一進(jìn)一退都在運(yùn)動(dòng);計(jì)算中求得的是包括兩種媒質(zhì)的系統(tǒng)的總能量變化,因此得到的是介質(zhì)1與介質(zhì)2的合力。

在1.1節(jié)中,根據(jù)電偶極矩得到了左側(cè)介質(zhì)1所受的電場(chǎng)力式(7),該計(jì)算過(guò)程與右側(cè)介質(zhì)2的存在與否無(wú)關(guān)。因此可以同樣導(dǎo)出介質(zhì)2的受力:

(10)

式中參考方向是從右側(cè)進(jìn)入電容器,故為-ex。

將式(7)與式(10)相加,得到兩塊介質(zhì)受的合力為

(11)

與式(2)一致,說(shuō)明式(2)確實(shí)是兩種介質(zhì)的合力。

1.4 關(guān)于交界面受力的討論

“交界面受力”的說(shuō)法被很多經(jīng)典教科書采用,例如文獻(xiàn)[3]。這個(gè)說(shuō)法可能跟“法拉第力管”的概念有關(guān)。文獻(xiàn)[3]是這樣表述的:如圖4所示,平行于電場(chǎng)線的交界面兩側(cè)受到壓力,單位面積壓力大小為:f1=ε1E2/2,f2=ε2E2/2,合力為

圖4 交界面的受力:平行于E線的交界面受到壓力

(12)

合力fa參考方向與f2一致。

應(yīng)用式(12)于圖1所示的交界面,得到界面受力為

(13)

的確與式(2)相同。

但是“交界面的受力”這個(gè)術(shù)語(yǔ)非常含糊。交界面是個(gè)幾何概念,不是一個(gè)物理實(shí)體,如何理解一個(gè)幾何概念受的力?在這個(gè)與E線平行的界面上,不存在極化電荷,那又如何理解它的受力?因此這種說(shuō)法非常令人困惑。

在1.1節(jié)的討論中已經(jīng)闡明:采用閉合邊界的面積分計(jì)算受力是數(shù)學(xué)變換的結(jié)果,不代表力存在與表面上。介質(zhì)表面是否受力,要看表面上是否存在電荷的面密度(包括自由電荷面密度和極化電荷面密度),電荷面密度的受力由所在位置的電場(chǎng)強(qiáng)度決定,如洛倫茲力公式所描述。

1.5 對(duì)介質(zhì)受力的一種錯(cuò)誤解釋

有一種解釋,認(rèn)為介質(zhì)受的力來(lái)源于介質(zhì)位于電容器內(nèi)部的表面極化電荷受到右側(cè)極板上自由電荷的引力[13])。如圖5(a)所示,該模型假定極板外不存在電場(chǎng),極板間電場(chǎng)均勻,在此條件下可以得到:介質(zhì)表面的極化電荷密度為σp=-(ε1-ε0)U/d,極板與介質(zhì)相接觸部分的自由電荷密度為σ1=ε1U/d,位于介質(zhì)右側(cè)的部分自由電荷密度為σ2=ε0U/d。然后計(jì)算σ2在介質(zhì)區(qū)域產(chǎn)生的電場(chǎng),認(rèn)為該電場(chǎng)對(duì)σp的作用力就是介質(zhì)受到的力。在介質(zhì)進(jìn)入電容器深度l遠(yuǎn)大于極板間距d以及電容器長(zhǎng)度a遠(yuǎn)大于l的情況下,得到的結(jié)果與式(7)相同。

(a)一種錯(cuò)誤的解釋:極板右側(cè)的自由電荷在介質(zhì)中產(chǎn)生橫向電場(chǎng)

(b)左右對(duì)稱的結(jié)構(gòu)才能保持介質(zhì)中電場(chǎng)和電荷都是均勻的圖5 極板表面的自由電荷與介質(zhì)表面的極化電荷

文獻(xiàn)[14]、[15]對(duì)該方法的模型和推導(dǎo)提出了質(zhì)疑,但文獻(xiàn)[12]又做了辯駁,否認(rèn)有問(wèn)題。直到新近,這種方法還被重復(fù)提起[16]。

先不論推導(dǎo)是否正確,這種方法明顯與1.1節(jié)電偶極矩法不相容。在電偶極矩方法中,左側(cè)介質(zhì)進(jìn)入電容器的部分對(duì)受力幾乎沒(méi)有貢獻(xiàn),而該方法則認(rèn)為受力全部來(lái)自這部分的極化電荷。兩種觀點(diǎn)明顯相互矛盾。很驚奇為什么同一篇文獻(xiàn)會(huì)兩種方法都認(rèn)可。

仔細(xì)分析,該方法的模型設(shè)定是前后矛盾的。在預(yù)定模型中,忽略邊緣效應(yīng),即假定了介質(zhì)和空氣中都只有垂直方向的均勻電場(chǎng);但在計(jì)算過(guò)程中又得到了介質(zhì)區(qū)域存在橫向電場(chǎng)。第二個(gè)矛盾在于,在圖5(a)所示模型中,極板電位為恒定值與假定電荷均勻分布是不可兼得的。只有如圖5(b)所示的對(duì)稱結(jié)構(gòu)才可以同時(shí)保持極板電位恒定與電荷均勻分布,但此種情況下左右兩側(cè)的 在介質(zhì)產(chǎn)生的橫向電場(chǎng)分量又相互抵消了。不過(guò),圖5(b)可以幫助理解為什么這種不正確的方法能夠得到正確的結(jié)果。

2 電容器內(nèi)兩塊介質(zhì)的受力分析

為進(jìn)一步理解電場(chǎng)中介質(zhì)的受力圖像,考慮如圖6所示完全位于電容器內(nèi)部的兩塊介質(zhì)。

(a)兩塊“懸空”的介質(zhì)

(b)兩塊與極板相接的介質(zhì)

(c)計(jì)算模型,電容器參數(shù)同圖3;保持c=d/2圖6 完全位于電容器內(nèi)部的兩塊介質(zhì)

首先做定性分析。圖6(a)中,兩塊介質(zhì)懸浮在半空,不與極板相接連。在電場(chǎng)作用下,介質(zhì)表面出現(xiàn)極化電荷。按照同性相斥的原理,兩塊介質(zhì)應(yīng)該是相互排斥的。如果介質(zhì)之間有間隙,則排斥力隨間隙的增大而迅速減小。而在圖6(b)中,兩塊介質(zhì)上下表面與極板緊密接觸,根據(jù)前面的分析,這種情況下電場(chǎng)只有垂直方向的分量,因此介質(zhì)之間應(yīng)該沒(méi)有橫向力的作用。

現(xiàn)采用有限元法對(duì)圖6(c)所示的模型進(jìn)行定量計(jì)算,改變介質(zhì)間距及介質(zhì)高度,觀察介質(zhì)受力變化,以檢驗(yàn)上文的定性分析。計(jì)算分兩部分。

2.1 “懸空”介質(zhì)塊之間的作用力。

保持介質(zhì)塊寬度和高度c=h=d/2不變,改變介質(zhì)塊之間的間距g,得到介質(zhì)塊受力大小如圖7(a)所示,方向向左。由于介質(zhì)塊之間的相互作用力符合作用力與反作用力定律,因此只給出了介質(zhì)塊1的受力。結(jié)果表明:兩塊懸浮的介質(zhì)塊,在相互鄰近時(shí),彼此之間出現(xiàn)排斥力,且斥力隨間距增大而迅速衰減,與定性分析一致。

(a)間距對(duì)懸空介質(zhì)塊作用力的影響(高度h=0.5 m)

(b)介質(zhì)塊高度對(duì)作用力的影響(間距g=0.05 m;h=1 m對(duì)應(yīng)介質(zhì)塊與極板完全接觸)

(c)根據(jù)有限元結(jié)果繪制的介質(zhì)ε1表面受力分布圖7 位于電容器內(nèi)部的兩塊介質(zhì)的作用力

2.2 介質(zhì)塊與極板間距對(duì)作用力的影響

保持介質(zhì)塊寬度c=d/2和介質(zhì)塊之間的間距g=0.05 m不變,改變介質(zhì)塊高度h,得到介質(zhì)塊受力大小如圖7(b)所示,方向向左。結(jié)果顯示,隨著介質(zhì)塊高度增大,相互之間的排斥也隨之增大。這是因?yàn)榻橘|(zhì)中的電場(chǎng)隨介質(zhì)塊高度增大而增大,極化電荷面密度也隨之增大,因此排斥力加強(qiáng)。但是當(dāng)介質(zhì)塊高度接近極板間距d(計(jì)算中取值1 m)時(shí),介質(zhì)塊之間的作用力迅速減小。這是因?yàn)榇藭r(shí)電場(chǎng)的橫向分量迅速減弱。當(dāng)h=d,介質(zhì)塊與極板相接觸,電場(chǎng)橫向分量消失,介質(zhì)塊之間的排斥力也隨之消失。所有變化規(guī)律都符合前面的預(yù)判。這個(gè)例子可以用來(lái)說(shuō)明:介質(zhì)的交界面并不必然產(chǎn)生電場(chǎng)力。

圖7(c)根據(jù)有限元結(jié)果,繪制了介質(zhì)ε1表面極化電荷面密度受力的分布?？梢灶A(yù)見(jiàn),如果沒(méi)有ε2,介質(zhì)ε1左右兩側(cè)的受力是對(duì)稱的,因此合力為0(介質(zhì)會(huì)受到一個(gè)向外膨脹的應(yīng)力;但我們此處假定它是剛體,不考慮其變形)。從圖中可以看到,由于介質(zhì)ε2的存在,ε1右側(cè)受力受到削弱,而左側(cè)受力基本不受影響,因此整體受到向左的力,即ε1與ε2之間相互排斥。

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)介質(zhì)塊在平行板電容器內(nèi)的受力這一經(jīng)典例題進(jìn)行了分析,圍繞著作用力的產(chǎn)生機(jī)制,回顧了前人學(xué)者的一些工作,對(duì)一些方法和觀點(diǎn)進(jìn)行了剖析和討論。核心觀點(diǎn)可以概括為兩點(diǎn):

(1)介質(zhì)中的電荷與電流(含自由電荷與極化電荷、自由電流與磁化電流及極化電流)所受的洛倫茲力是介質(zhì)受力的唯一機(jī)制;

(2)要將電磁力的計(jì)算方法與受力機(jī)制區(qū)分開(kāi)來(lái)。計(jì)算方法可以采用各種間接方法、等效方法,只需要結(jié)果正確,不必然反映受力的物理過(guò)程。

這些討論有助于教學(xué)中對(duì)電磁作用力和相關(guān)計(jì)算方法的理解。觀點(diǎn)不當(dāng)之處歡迎批評(píng)討論。

科學(xué)的發(fā)展是一個(gè)不斷繼承和創(chuàng)新的歷程。強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新肯定是正確的,但繼承的重要性也不宜被削弱?？茖W(xué)發(fā)展到今天,人類知識(shí)的積累已極大豐富,知識(shí)的繼承變得越來(lái)越艱難。明顯的例證:人們求學(xué)的時(shí)間幾乎占據(jù)了有效生命長(zhǎng)度的1/4以上。繼承與創(chuàng)新是相互相成的,不可偏廢。忽視知識(shí)繼承的艱巨性,不重視對(duì)過(guò)去知識(shí)的學(xué)習(xí),所謂的創(chuàng)新,常常成為偽創(chuàng)新和假創(chuàng)新。數(shù)十年、上百年以前被發(fā)現(xiàn)過(guò)的現(xiàn)象不斷被重新發(fā)現(xiàn);幾十年以前討論過(guò)、指出過(guò)的錯(cuò)誤仍然盛行,這樣的例子不勝枚舉。切磋和交流能幫助我們相互借鑒,要努力營(yíng)造一種鼓勵(lì)討論和爭(zhēng)鳴的氛圍。