經(jīng)歷建模過程 培養(yǎng)代數(shù)思維 發(fā)展模型意識
——“方程”教學(xué)重構(gòu)與思考

董文彬

（北京師范大學(xué)教育學(xué)部）

【課前慎思】

教材內(nèi)容及學(xué)情分析：“方程”是北師大版數(shù)學(xué)教材四年級下冊第五單元第3 課時的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一節(jié)單元核心課?！胺匠獭钡慕虒W(xué)重構(gòu)是從學(xué)生在兩次前后測調(diào)研中暴露出的問題開始的。筆者對學(xué)習(xí)方程后的五年級學(xué)生進行了后測，同時對學(xué)習(xí)方程前的四年級學(xué)生進行了前測，結(jié)果顯示：五年級學(xué)生在四年級下學(xué)期學(xué)習(xí)完方程之后，在面臨實際問題（即便是稍復(fù)雜的問題）時，依然不愿意或不喜歡主動運用方程解決，學(xué)生對方程沒有親近感。學(xué)生解決問題的策略更多地停留或依托于算術(shù)思維，即根據(jù)條件和信息倒著想問題的逆向思考。學(xué)生只關(guān)注方程形式化的“外衣”，不認(rèn)識方程的本質(zhì)，沒有體會到方程本身的獨特價值。學(xué)習(xí)方程前的四年級學(xué)生僅有兩成左右能夠主動列方程刻畫和描述問題，而八成左右的學(xué)生選擇列算式，依然喜歡算術(shù)思維“倒”著想問題，絕大多數(shù)學(xué)生不愿意主動親近方程，沒有體會到方程在解決問題中的獨特價值。

困惑：學(xué)生在學(xué)習(xí)方程前對方程已經(jīng)有所了解，辨認(rèn)哪些式子是方程也沒有太大的困難，那么分類概括、區(qū)分等式、不等式，認(rèn)識方程與等式的關(guān)系是這節(jié)課的重點嗎？北師大版數(shù)學(xué)教材在學(xué)習(xí)“方程”之前有獨立的“等量關(guān)系”一課，對等量關(guān)系的刻畫與描述還是這節(jié)課的難點嗎？這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)究竟該如何重新定位才能回應(yīng)和解決學(xué)生出現(xiàn)的上述問題？

思考：“含有未知數(shù)的等式叫方程”這句話有那么重要嗎？它究竟是不是一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫸x？方程概念的核心意義究竟是什么？算術(shù)法也可以解決實際問題，為什么還要認(rèn)識方程？“算術(shù)”與“代數(shù)”的本質(zhì)區(qū)別是什么？學(xué)生認(rèn)識了方程就會用方程了嗎？方程不可替代的獨特價值和意義體現(xiàn)在哪兒？說到底，究竟什么是方程？方程的本質(zhì)是什么？方程模型又是什么？如何在教學(xué)中著眼于發(fā)展，讓學(xué)生經(jīng)歷方程的建模以發(fā)展模型意識的全過程？思辨至此，新的教學(xué)重構(gòu)路徑已躍然紙上。

基于上述分析，筆者確定了如下教學(xué)目標(biāo)：在認(rèn)識方程的過程中感受算術(shù)法與方程法之間的區(qū)別；感受同一個等量關(guān)系可以解決同一個情境、不同的問題；感受同一個等量關(guān)系可以解決不同情境、不同的問題；初步經(jīng)歷方程的建模過程，體會方程不可替代的獨特價值。

【課堂實踐】

一、順應(yīng)思維，感受區(qū)別，建構(gòu)概念

（教師出示情境圖）

師：我們?nèi)ニ曩I水果，看到這些水果的單價，你關(guān)心什么問題？

生：一共需要花多少元錢？

生：這個西瓜有多重，4個橙子有多重？

（教師結(jié)合學(xué)生提出的問題，分步演示課件）

【分析與思考】在學(xué)生日常熟悉的“買水果”主題情境中，教師啟發(fā)學(xué)生根據(jù)信息，自主發(fā)現(xiàn)和提出問題，營造有價值的“問題場”。學(xué)生自己提出的問題，更能激發(fā)群體性問題解決的興趣和數(shù)學(xué)思考的欲望，同時為后面在問題解決中感悟算術(shù)思維和方程思維的區(qū)別做鋪墊。

師：我們先來解決1個西瓜和4個橙子各自有多重的問題。（出示天平、5千克和2千克砝碼各1個）用它們行嗎？

生：行。

師：先稱誰？

生：西瓜。

（教師課件演示：西瓜放入左盤，5千克砝碼放入右盤）

師：你知道西瓜重多少嗎？

生：不知道。因為天平的狀態(tài)不平衡，說明左右兩盤的質(zhì)量不相等。

生：雖然不知道西瓜具體重多少千克，但能知道它一定比5千克輕。

（教師課件演示：將2 千克砝碼放入左盤，調(diào)整天平狀態(tài)）

師：這回行了嗎？能知道西瓜的質(zhì)量嗎？

生：能，3千克。

師：怎么得到的？

生：5-2=3。

（教師板書：5-2=3）

師：為什么用5-2=3來解決？

生：現(xiàn)在天平平衡了，西瓜的質(zhì)量加上2 千克等于5千克。

師：你關(guān)注到了天平左右兩盤物體的質(zhì)量關(guān)系。這是一個等量關(guān)系，你能表示出來嗎？

生：西瓜的質(zhì)量+2千克=5千克。

生：如果把西瓜的質(zhì)量看成x，那么x+2=5。

（教師板書：西瓜的質(zhì)量+2千克=5千克，x+2=5）

師：西瓜的質(zhì)量問題解決了，接下來我們稱橙子。

（教師課件演示：4 個橙子同時放入天平左盤，2千克砝碼放入右盤）

師：你知道每個橙子的質(zhì)量嗎？

生：0.5千克，2÷4=0.5。

師：為什么這么解決？

生：因為4個橙子的質(zhì)量正好等于2千克。

師：這里也有一個等量關(guān)系，你能表示出來嗎？

生：4個橙子的質(zhì)量=2千克。

生：假設(shè)每個橙子重y千克，4y=2。

（教師板書：1個橙子的質(zhì)量×4=2千克，4y=2）

師：剛才的問題解決了嗎？

生：解決了，知道西瓜和橙子有多重了。

【分析與思考】學(xué)生在天平由不平衡逐漸逼近平衡的狀態(tài)中，思考解決“1 個西瓜有多重”和“1 個橙子有多重”的問題。教師在問題解決中不回避學(xué)生使用算術(shù)法，而是順著學(xué)生的算術(shù)思維拾級而上，啟發(fā)學(xué)生關(guān)注天平左右兩盤中物體的質(zhì)量之間存在的等量關(guān)系，并嘗試把它表示出來。在此過程中，學(xué)生自然而然地設(shè)定未知數(shù)，建構(gòu)出方程，初步體會到方程其實是更簡潔地表達出等量關(guān)系的過程。

（教師結(jié)合學(xué)生的回答，出示情境圖）

師：就差“一共需要花多少錢”了，現(xiàn)在能解決這個問題了嗎？

生：能，4×3+10×2=32（元）。

（教師順著學(xué)生的回答，板書算式）

師：能讀懂他的想法嗎？這個綜合算式是什么意思，你是怎么想的？

生：4×3求的是西瓜的價錢，10×2求的是橙子的價錢，把它們加起來就是買這些水果一共要花的總價錢。

師：原來這里有一個等量關(guān)系，你們發(fā)現(xiàn)了嗎？

生：西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價。

（教師板書：西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價）

師：在現(xiàn)實生活中，問題情境有時是各種各樣的。就這個情境來說，其他條件不變，如果把所求問題變?yōu)橐阎隳馨哑渲幸粋€條件變成要解決的問題嗎？比如（課件出示情境圖）把西瓜的質(zhì)量變?yōu)槲粗膯栴}，還能解決嗎？

生：（32-10×2）÷4。

師：能讀懂他的想法嗎？

生：10×2求的是橙子的錢數(shù)，32-10×2就是用水果的總價錢減去橙子的錢數(shù)，得到的就是西瓜的錢數(shù)，（32-10×2）÷4 的意思是再用西瓜的錢數(shù)除以西瓜的單價，最后就等于西瓜的質(zhì)量。

（學(xué)生解釋得十分費力）

師：看來想要說清楚這個算式的想法還真是不容易。能不能嘗試著用今天學(xué)習(xí)的方式（指黑板x+2=5、4y=2），把這里面的關(guān)系表示出來呢？

生：4x+10×2=32。

師：根據(jù)是什么呢？

生：西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價。

師：（指黑板）還是這個等量關(guān)系。

【分析與思考】在解決“一共需要花多少錢”的問題時，學(xué)生根據(jù)以往經(jīng)驗自然使用算術(shù)法解決，在學(xué)生讀懂“4×3+10×2=32”這個綜合算式后，教師啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中蘊藏的等量關(guān)系。接下來，在同一個情境中，教師將所求問題變?yōu)橐阎?，將其中一個條件變成要解決的問題后再讓學(xué)生嘗試解決，學(xué)生根據(jù)條件和信息逆向思考，即用算術(shù)思維“費力”解釋想法。在這個過程中，教師啟發(fā)學(xué)生用設(shè)有字母的等量關(guān)系式來簡明地表達和解釋上述問題解決的思路，使學(xué)生進一步感悟代數(shù)思維與算術(shù)思維順向與逆向思考的本質(zhì)區(qū)別，體會代數(shù)思維的意義，經(jīng)歷方程建模的初步過程。

師：現(xiàn)在看看（指黑板x+2=5、4y=2、4x+10×2=32），這樣的式子叫什么？

生：方程。

師：那請你說說什么是方程呢？

生：方程里要有未知數(shù)，還要是等式。

生：方程就是含有未知數(shù)的等式。

生：我覺得方程表達的是一種等量關(guān)系。你看，“x+2=5”表達的是“西瓜的質(zhì)量+2 千克=5 千克”這個關(guān)系，“4y=2”表達的是“1 個橙子的質(zhì)量×4=2 千克”這個關(guān)系，而“4x+10×2=32”表達的是“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”這個關(guān)系。

生：我同意他的觀點，等量關(guān)系用方程的形式表達起來顯得更簡潔。

【分析與思考】無論學(xué)前還是學(xué)后，學(xué)生在解決問題時更多地習(xí)慣于停留在或依托于算術(shù)思維上，對方程無認(rèn)同感或親近感，這是教師必須直面的現(xiàn)實困境。既然現(xiàn)實中學(xué)生的思維習(xí)慣是這樣的，那么我們不妨順應(yīng)學(xué)生的想法，不回避算術(shù)法，引導(dǎo)學(xué)生在問題解決的背景下體會方程思想的本質(zhì)和價值，經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，建立方程的概念，初步認(rèn)識方程的意義——方程表達的是具體問題情境中量與量之間的一種等量關(guān)系，找到這種等量關(guān)系能夠幫助學(xué)生以順向思考的方式清晰簡潔地解釋問題解決的思路。

二、經(jīng)歷建模，認(rèn)識本質(zhì)，初悟價值

（教師出示情境圖）

師：還是這個情境，剛才我們變換了條件和問題，把西瓜的質(zhì)量當(dāng)問題，可以列算式解決，也可以列方程解決。你能否再轉(zhuǎn)換條件，把已知信息變成問題，然后嘗試著列方程來解決？

（學(xué)生在學(xué)習(xí)單上試做，教師巡視指導(dǎo)，了解情況。之后，展示一位學(xué)生的想法，全班交流）

生：我把西瓜的單價變?yōu)閱栴}，于是就把“4 元/千克”假設(shè)成不知道，變成“？”。然后，設(shè)為x元/千克，這樣列出的方程就是3x+2×10=32。

生：你的這個方程是根據(jù)什么列出來的？

生：（指板書“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”）我是根據(jù)這個等量關(guān)系列的，后面是解法。

師：解這樣的方程，我們還沒學(xué)。這位同學(xué)能列出方程并正確解答，請大家把掌聲送給他。

生：我列出了2 個方程。我是把橙子的質(zhì)量看成問題，然后設(shè)為a千克，這樣列出的第一個方程就是10a+4×3=32。第二個方程是把橙子的單價看成問題，設(shè)為y元/千克，根據(jù)等量關(guān)系就列出了2y+3×4=32。

生：我發(fā)現(xiàn)你列的方程里的未知數(shù)有“a”還有“y”，并沒有“x”。以前我以為方程里的未知數(shù)只能用“x”表示，看來任何一個字母都能表示。

生：不光字母，其他的符號也行，比如前面那個方程4x+10×2=32 還可以列成4c+10×2=32，4□+10×2=32。

師：你們的探討很有意義。（指著“3x+2×10=32，10a+4×3=32，2y+3×4=32、4x+10×2=32”）四個方程仔細(xì)觀察，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)這些方程雖然長得都不一樣，但是它們的根據(jù)都是一樣的，都是“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”這個等量關(guān)系。

生：的確是這樣，同一個等量關(guān)系解決了好幾個問題。

師：你對方程有什么感受？

生：一個等量關(guān)系就能解決很多問題。

生：同一個等量關(guān)系列出了不同的方程，解決了不同的問題。

生：方程實際上就是一種等量關(guān)系，列方程找準(zhǔn)等量關(guān)系很重要。

【分析與思考】教師沿著上述主題情境拾級而上，啟發(fā)學(xué)生在自主變換條件和問題后嘗試列方程解決，感受同一個等量關(guān)系可以解決同一個情境中不同的問題。在對比中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同一個等量關(guān)系可以列出不同的方程來解決不同的問題。在方程建模的過程中，學(xué)生再次認(rèn)識到“方程表達的是等量關(guān)系”的本質(zhì)，在“同”與“不同”中感悟到了方程的獨特價值。

三、再次建模，體會本質(zhì)，深化認(rèn)識

師：看來等量關(guān)系真的很重要。這里的“西瓜的總價+橙子的總價=水果的總價”好像就是“部分量+部分量=總量”，這個關(guān)系在下面這個情境里你還能找到嗎？（出示情境圖）

生：2個熱水瓶的水量+1個水杯的水量=一壺水的量。

生：2個熱水瓶的水量+200毫升=2000毫升。

生：1個熱水瓶的水量×2+200毫升=2000毫升。

師：你能據(jù)此也列出一個方程嗎？

生：2x+200=2000。

生：200+2m=2000。

生：2y=2000-200。

師：看看大家列出的這些方程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這些方程長得不一樣。

生：這些方程都是依據(jù)同一個等量關(guān)系列出來的。

師：的確是這樣。以2x+200=2000 為例，這個方程表達的還是“部分量+部分量=總量”的關(guān)系。那你還能據(jù)此給這個方程再編一個故事嗎？

（學(xué)生先獨立思考，再在小組內(nèi)交流想法）

生：媽媽買了兩瓶同樣凈含量的洗潔精，每瓶外加100 克的小袋優(yōu)惠裝，一共重2000 克。每瓶洗潔精重多少克？

生：爸爸堅持鍛煉，每天跑相同的距離，跑了2天后如果再跑200 米就正好到2000 米了。爸爸每天跑多少米？

生：我和爸爸去商場，買了2 個同樣的車載凈化器，付給收銀員2000 元，找回200 元。每個車載凈化器多少元？

生：我覺得最后這位同學(xué)講的故事有點兒問題。按照他所講，每個車載凈化器應(yīng)該是900 元，2 個應(yīng)該是1800 元，那直接付1800 元不就行了嗎，干嗎要付2000元再找回200？

師：這個質(zhì)疑很有意思?？磥碛梅匠讨v故事還不能隨便講，還要符合生活實際，要符合常理才行。

師：你對方程又有了哪些新的認(rèn)識？

生：同一個方程能編出好多不同的故事。

生：一個方程能解決許多不同的實際問題。

生：剛才大家編出的這些問題，都可以用同一個方程來表示。

【分析與思考】這個活動中，教師主要是引導(dǎo)學(xué)生將前一個情境中的等量關(guān)系延伸概括為“部分量+部分量=總量”，再根據(jù)這個總括的等量關(guān)系在新的情境中尋找出新的等量關(guān)系并列出方程，進而體會不同形式的方程其實表達的都是同一個等量關(guān)系。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生再次根據(jù)這個等量關(guān)系給方程“編”故事，讓方程回歸現(xiàn)實生活，啟發(fā)學(xué)生再次經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模過程，感受同一個等量關(guān)系可以解決不同情境中的不同問題，體會方程所承載的獨特價值，感悟代數(shù)思維的妙處，深化對方程核心本質(zhì)的認(rèn)識，發(fā)展模型思想。