深度學習視域下數(shù)學教材內(nèi)容整合的實踐路徑

康 倩

（江蘇省徐州市九龍湖小學）

深度學習強調(diào)整體學習，以整合的知識為內(nèi)容，關(guān)注學習過程中的多維表征。深度學習視域下的課堂變革，需要教師對學科、學生、教學有全新的、正確的理解，需要教師具備整合觀和整體思想。學習內(nèi)容的有機整合是促進學生深度學習，發(fā)展高階思維的重要途徑。筆者積極嘗試對數(shù)學教材內(nèi)容進行有機整合，生成學習主題，并以問題為切入點，引導學生經(jīng)歷數(shù)學問題的完整研究過程。

一、教材內(nèi)容的橫向和縱向整合

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下通稱“新課標”）指出，數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源。教師是教材的理解者、參與者、實踐者，在組織教學時，應(yīng)依據(jù)新課標的要求和學生的身心發(fā)展特點及認知規(guī)律，按照數(shù)學學科的知識特點和體系特征，對既定的教材內(nèi)容進行適度的整合與重組，充分發(fā)揮教材內(nèi)容的價值，促進學生深度學習。

（一）教材內(nèi)容的橫向整合

橫向整合是一種基于結(jié)構(gòu)、基于關(guān)聯(lián)的整合，即將同一個結(jié)構(gòu)單元或者是不同單元但結(jié)構(gòu)、知識點類同的內(nèi)容通過優(yōu)化、重組、統(tǒng)整、融合，生成更有利于學生深度學習的主題資源。

例如，北師大版數(shù)學教材四年級上冊“生活中的負數(shù)”單元，由于學生對負數(shù)不僅不陌生，而且有著較豐富的生活經(jīng)驗積累，并且這兩課時的教材內(nèi)容關(guān)聯(lián)性非常強，所以教師可以將教材內(nèi)容進行有機整合，設(shè)計富有層次的數(shù)學活動，引導學生經(jīng)歷深入認識正負數(shù)的過程。首先，教師請學生說說自己對于正負數(shù)已經(jīng)有哪些認識，并隨機在黑板上寫出了一些數(shù)，請學生來分類，激活學生原有認知經(jīng)驗。其次，教師以-2 為例，請學生結(jié)合自己看到的例子，用喜歡的方式在紙上表示出它的意義（可以畫圖、列式、寫話）。教師選取并呈現(xiàn)幾位學生的思維過程，自然而然地借助典型實例通過直觀的板書將+2、-2這兩種意義相反的量加以區(qū)分。同時，教師將教材中溫度計的情境巧妙融入學生所舉的實例中，借助溫度計這個有效的工具，以對0攝氏度的解讀來凸顯0的作用以及正數(shù)、負數(shù)分別表示零上和零下溫度的含義，使學生對正負數(shù)意義的理解更進了一步。最后，教師組織一個排序的活動，將黑板上原本提供給學生按正、負數(shù)分類的數(shù)依照從小到大的順序排列。學生在操作中生成了一個數(shù)軸，觀察數(shù)軸能夠看到正數(shù)和負數(shù)的排列方向、大小關(guān)系，正數(shù)和負數(shù)以“0”為分界等重要信息，拓寬了已知的數(shù)的領(lǐng)域的外延。

（二）教材內(nèi)容的縱向整合

縱向整合是指教師沿著知識發(fā)展的內(nèi)在脈絡(luò)，將不同學段的某一領(lǐng)域數(shù)學知識以縱深的串聯(lián)形式重組，使學生從更寬闊的視野認識和建構(gòu)知識體系，洞察數(shù)學知識的發(fā)展生長點和延伸點。

例如，教學北師大版數(shù)學教材四年級上冊“用數(shù)對確定位置”一課時，教師可將本節(jié)課的知識放在“確定位置”整體知識體系中。學生在低年級時已學過用一個數(shù)表示一維直線上某個物體的位置，如電影院排隊買票，從前往后數(shù)，淘氣是第3 個。教師可利用學生已有的認知經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)“找找我的好朋友”游戲情境，先請學生寫一寫自己最好的一個朋友在教室的位置，然后全班開展猜謎活動。學生對自己好朋友位置的描述彰顯了不同的思維水平，教師將學生的幾種典型原始思維一一呈現(xiàn)，引導學生在猜謎的過程中發(fā)現(xiàn)：僅憑一個數(shù)（即一個方位詞）不能準確判斷出好朋友的位置，沒有說清數(shù)的方向，就會有不同的可能；觀察的角度不同也會帶來爭議；從而引發(fā)學生用一致的標準表示位置的需要，自然而然地生發(fā)出學習新的確定位置規(guī)則的需求。學生通過自學，了解到數(shù)學中對于“行”和“列”的規(guī)定，明確了需要用一對數(shù)（數(shù)對）才能表示出二維平面上某個物體的位置，如在教室里，淘氣坐在第2列第4行，用數(shù)對表示是（2，4）。教師請學生用數(shù)對重新表示自己好朋友的位置，再請學生來猜。這樣前后兩次游戲活動的對比，使學生進一步感受到用數(shù)對確定位置的意義和價值。此時，教師并沒有停止引導學生探索的腳步，而是借助多媒體課件，引發(fā)學生思考，“在平面上，我們是用一對數(shù)，也就是數(shù)對表示某個物體的位置，如果平面再高一些，變成一個立體圖形，還能用數(shù)對表示某個物體的位置嗎？”學生紛紛提出“三維空間中物體的位置該如何表示”的猜想，此時恰當?shù)牧舭捉o了學生更多探索的時空，更多自由的體驗。這樣循著“點、線、面、體”的發(fā)展脈絡(luò)將“確定位置”的知識進行縱向整合，便于學生從更寬闊的視野認識和理解知識體系，使學生的思維得到跨越性的發(fā)展。

二、教材內(nèi)容與教學資源的整合

數(shù)學教材是主要的數(shù)學教材資源，除此以外，充滿趣味的數(shù)學繪本、操作探究的《數(shù)學實驗手冊》等都是具有整合價值的優(yōu)質(zhì)資源。

（一）教材內(nèi)容與數(shù)學繪本的整合

數(shù)學繪本將數(shù)學知識巧妙地蘊藏在生動有趣的故事情節(jié)中，圖文并茂、貼近兒童，尤其適合中低年級的數(shù)學教學。教師將數(shù)學繪本與現(xiàn)有的數(shù)學教材內(nèi)容巧妙融合在一起，能順應(yīng)小學低中段兒童的身心發(fā)展特點和認知規(guī)律，營造生動活潑的課堂氛圍。

例如，北師大版數(shù)學教材二年級上冊“數(shù)學好玩”單元中“尋找身體上的數(shù)學秘密”一課就有利用身體上的“尺子”估測物體長度的探究活動。測量概念和測量工具是數(shù)學中非常重要的知識點，在日常生活中，學生經(jīng)常會遇到突然要測量什么東西，手邊沒有尺子的情況。這時候，學生用手掌、腳印、步子、胳膊等來測量就是非常實用的方法。教師可將教材中的情境與數(shù)學繪本《我家漂亮的尺子》相融合，引導學生閱讀繪本。繪本的主人公是一個活潑可愛的小女孩，媽媽為她做連衣裙，可是怎么也找不到尺子，于是媽媽不用尺子，用了“媽媽手尺”來量，進而介紹了“一拃”的概念。小女孩嘗試像媽媽一樣，也用手尺來量東西，電話機兩拃、椅背三拃，這時她發(fā)現(xiàn)用拃來量沙發(fā)長度太費勁，便改用腳來測量，沙發(fā)的長度是10 個腳印，于是“一腳”的概念也知道了。到院子里測量，發(fā)現(xiàn)院子太大，用腳來量太費勁，小女孩又把兩腿分開，用步子來量了，一前一后兩個腳印的距離為“一步”。小女孩還想測測庭院中的大樹，大樹有多粗呢？用兩只胳膊緊緊抱住的長度為標準測量就行了，兩只手臂合圍的量叫作“抱”；樹干有多高呢？以兩只手臂伸展開的長度為標準測量就行了，兩只手臂左右平伸時，從一只手的中指端到另一只手的中指端的長度叫作“庹”。通過閱讀繪本，學生不僅了解了身體尺的基本概念，而且激發(fā)起濃厚的測量興趣，他們像書中的小女孩那樣用自己的身體尺測量周圍的事物，并能根據(jù)實際情況選擇適當?shù)摹吧眢w尺”，課桌長6 拃，寬4 拃；教室長17 步，寬12 步……就在這樣自主體驗的學習活動中，學生深切地體會到自己身體的神奇之處及具備的數(shù)學價值，了解了數(shù)學對人們?nèi)粘Ｉ顚嵺`的貢獻。

（二）教材內(nèi)容與《實驗手冊》的整合

《實驗手冊》基于數(shù)學教材，提煉出適合學生操作探究的實驗主題，通過動手動腦相結(jié)合的數(shù)學實驗活動，豐富學生的認知經(jīng)歷，在數(shù)學知識“再創(chuàng)造”與“再發(fā)現(xiàn)”的過程中，親身體驗數(shù)學，親近數(shù)學，理解數(shù)學?！秾嶒炇謨浴返某B(tài)化使用，最有效的方法就是尋找與數(shù)學教材的結(jié)合點，將其作為片段融入數(shù)學教材的內(nèi)容設(shè)計，彌補教材的思維缺失。

例如，北師大版數(shù)學教材六年級上冊“百分數(shù)的認識”一課，課前經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生在生活中或多或少都接觸過百分數(shù)，知道百分數(shù)用途十分廣泛，衣食住行各個領(lǐng)域都有百分數(shù)的身影。雖然學生對百分數(shù)并不陌生，但對百分數(shù)的意義并不清晰，因此這節(jié)課上探究百分數(shù)的意義是教學重點。為了激發(fā)學生的探究興趣，教師借助多媒體課件將原有的教材情境調(diào)整為學生更感興趣的“姚明投籃”的情境。課件出示姚明三場比賽投籃情況的統(tǒng)計表，請學生比較姚明哪場比賽中的表現(xiàn)最優(yōu)秀，在學生發(fā)現(xiàn)原有知識結(jié)構(gòu)中的各種比較方案行不通后，逐漸思考出更趨理想的比較方案，即比較每場比賽投籃的命中率（投中次數(shù)占投籃次數(shù)的幾分之幾）。學生獨立試算投籃命中率，再通分成分母是100 的分數(shù)，從而自然引出了百分數(shù)，并嘗試概括出了姚明三場比賽投中的比率“64%、65%和60%”這三個百分數(shù)表示的具體意義，即表示投中次數(shù)是投籃次數(shù)的百分之幾。隨后，教師將六年級上冊《實驗手冊》中“奇妙百分率”的實驗情境融入教學環(huán)節(jié)，“小明和小華進行投籃比賽，每人都投40 個球。比賽經(jīng)過了兩個階段，第一階段小明投籃的命中率為60%，小華投籃的命中率為50%；第二階段小明投籃的命中率為92%，小華投籃的命中率為90.625%。”請學生預測誰投籃的命中率高，并說說預測的理由。大多數(shù)學生利用自己的直覺進行判斷，認為“小明兩階段投籃的命中率都比小華高，所以小明最終的投籃命中率一定比小華高”。接著，教師課件出示小明和小華兩階段投籃比賽的相關(guān)數(shù)據(jù)，引導學生進行計算與驗證，將兩階段合起來，分別求出小明和小華投籃的總命中率。學生發(fā)現(xiàn)，雖然小華兩階段投籃的命中率都比小明低，但是總的投籃命中率卻超過了小明。學生通過實驗，不僅進一步理解了百分數(shù)的含義，增強了數(shù)據(jù)分析觀念，而且體會到直覺有時并不可靠，還需要通過實際驗證來加以證明，增強了數(shù)學實證的意識。只有將直覺思維與邏輯思維結(jié)合起來，才能更好地促進思維能力的發(fā)展。

三、跨學科教學內(nèi)容的整合

跨學科整合，即多元學科整合。在數(shù)學教學過程中，探尋數(shù)學學科與其他學科的知識聯(lián)系點并充分挖掘利用，將相關(guān)學科內(nèi)容有機整合在一起，組成新的學習內(nèi)容，能實現(xiàn)多維度的學習目標，提升學生綜合素養(yǎng)。

（一）數(shù)學教材內(nèi)容與科學學科的整合

從學科視角出發(fā)，數(shù)學與科學具有許多本質(zhì)聯(lián)系。數(shù)學和科學都旨在發(fā)現(xiàn)客觀世界的模式和關(guān)系；數(shù)學和科學都與真實的生活情境相聯(lián)系，需要數(shù)量推理。從課程的視角出發(fā)，兩者具有同樣的活動，如科學探究和實際問題解決等；兩者也具有許多重疊的內(nèi)容，包括平衡、守恒、恒等、測量、模型、模式、可能性、反射、折射、度量、對稱、系統(tǒng)、變量等。兩個學科所具有的共同之處越多，對學生而言越有意義，整合也越有效。根據(jù)學生學習的需要，數(shù)學與科學教材內(nèi)容的整合，可打破以往涇渭分明的學科間的界限，將統(tǒng)一的主題、問題、概念、基本學習內(nèi)容加以融合，使學生在此過程中建立系統(tǒng)的思維方式，體驗知識之間的聯(lián)系。

例如，數(shù)學綜合實踐課“怎樣滾得遠”就可以和科學中“斜面的作用”進行整合。學生都有這樣的生活經(jīng)驗，搬運油桶時，搭一個斜坡會省時省力很多。斜面工具是最簡單的機械之一，在日常生活和生產(chǎn)中，人們常常利用斜面來運輸物體，以達到省力的目的。那么，怎樣的情況下才能最大限度地發(fā)揮斜面的作用呢？學生首先自主提出想要研究的問題：斜坡與地面成什么角度時，物體會滾得遠一些？圍繞問題教師引導學生分組進行科學系統(tǒng)的實驗，利用實驗數(shù)據(jù)說話。首先，用木板搭一個斜坡，使斜坡與地面分別呈30°，45°和60°的角度，然后將圓柱形物體放在斜坡的頂上，輕輕松開手，讓物體自動往下滾，等物體停止?jié)L動后，量出它在地面上滾動的距離，每種角度都反復做三次測量，并記錄每次滾動的距離，求出平均數(shù)，每個小組還可以自主選擇一個其他的角度再來試試。通過比較實驗數(shù)據(jù)，學生發(fā)現(xiàn)，斜坡與地面角度不同，物體滾動的距離也不同；一開始斜坡與地面的角度變大，物體滾動的距離也就越遠，但當角度呈60°時，物體滾動的距離反而變短了，角度再大一點，物體滾動的距離更短；當斜坡與地面呈45 度角時物體滾動得最遠。學生聚焦問題研究，經(jīng)歷利用科學實驗收集、分析數(shù)據(jù)，獲得結(jié)論的實踐探究過程，體會到實驗對比是研究問題的一種重要方法，體驗到實驗研究的價值和樂趣，培養(yǎng)了嚴謹求實的科學態(tài)度。

（二）數(shù)學教材內(nèi)容與信息科技學科的整合

將小學數(shù)學教材內(nèi)容與信息科技教材內(nèi)容有機整合，就是以數(shù)學知識為載體，把信息科技作為工具和手段滲透到數(shù)學教學當中，應(yīng)用信息科技培養(yǎng)學生解決相關(guān)問題的綜合能力。學生通過網(wǎng)絡(luò)和其他信息手段自主地獲取有價值的信息，學會使用網(wǎng)絡(luò)工具和信息手段進行信息的搜集、處理、分析，解決數(shù)學實際問題，能有效地培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。

例如，北師大版數(shù)學教材六年級上冊“感受黃金比”一課，“黃金分割比”（以下簡稱“黃金比”）是第六單元“比的認識”課后的拓展內(nèi)容，包含的元素非常豐富，涉及的領(lǐng)域十分廣泛，而學生對“0.618”也并不陌生。教師充分查閱資料發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡(luò)中有大量生動鮮活的資源可供學生自主選學，于是將這節(jié)課設(shè)計成微項目化學習的模式。課上，教師首先引導學生針對“黃金比”提出自己想要了解的問題，學生提出：什么是黃金比？它和我們學過的“比”有什么聯(lián)系和區(qū)別？為什么叫黃金比？黃金比是誰發(fā)現(xiàn)的？在數(shù)學中有黃金比嗎？黃金比在生活中有哪些應(yīng)用等不同方向？帶著這些問題，教師引導學生學習利用網(wǎng)絡(luò)檢索工具搜尋、梳理相關(guān)信息的方法，請學生在課前先進行自主研究。第二天的課上，學生紛紛帶來了自己的課前研究成果。有的學生將查閱的網(wǎng)絡(luò)資料梳理整合打印了下來；有的學生手繪了小報或思維導圖。教師請學生先在組內(nèi)交流自己的學習收獲，每人選取一個方面。接著，全班進行展示分享，組代表匯報，其他同學適時補充。有的學生用一條簡單直觀的線段就解釋了黃金比的含義；有的學生介紹了古希臘數(shù)學家、哲學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)黃金比的小故事；有的學生揭示了五角星中蘊藏的奧秘——五角星之所以十分美麗，是因為它每條邊上相對應(yīng)的線段之間的長度關(guān)系都符合黃金比；有的學生展示了黃金比在藝術(shù)領(lǐng)域、建筑領(lǐng)域、日常生活等方面的應(yīng)用。學生再深入到數(shù)學研究領(lǐng)域，又知道了黃金矩形、黃金螺線、斐波那契數(shù)列，越發(fā)感受到黃金比的神奇之處，體味到其中蘊含的豐富的美學價值。

總之，在整合數(shù)學教材內(nèi)容的研究過程中，教師要注重積累典型課例，營造適合學生思維發(fā)展的課堂環(huán)境，要探究指向深度學習的整體性教學設(shè)計，引導學生經(jīng)歷數(shù)學問題的完整研究過程，積累可以遷移的數(shù)學學習和研究經(jīng)驗，提升思維品質(zhì)。