自旋張量-動量耦合玻色-愛因斯坦凝聚的動力學(xué)性質(zhì)*

邱旭 王林雪 陳光平 胡愛元 文林?

1) (重慶師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院,重慶 401331)

2) (陜西科技大學(xué)物理系,西安 710021)

3) (四川文理學(xué)院智能制造產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院,達(dá)州 635000)

利用高斯變分近似及基于Gross-Pitaevskii 方程的數(shù)值求解,研究了一維自旋張量-動量耦合玻色-愛因斯坦凝聚中平面波態(tài)的動力學(xué)性質(zhì),發(fā)現(xiàn)基態(tài)為雙軸向列態(tài),其動量隨Raman 耦合強(qiáng)度的增加而單調(diào)遞減.在微擾作用下,基態(tài)具有動力學(xué)穩(wěn)定性,且展現(xiàn)出3 種不同的諧振模激發(fā),激發(fā)頻率與Raman 耦合強(qiáng)度、諧振子勢阱的縱橫比及相互作用強(qiáng)度有關(guān).通過數(shù)值求解變分參數(shù)滿足的運(yùn)動方程和Gross-Pitaevskii 方程,發(fā)現(xiàn)體系隨時間演化將展現(xiàn)出周期性振蕩行為.

1 引言

自旋-軌道耦合是粒子的自旋與其運(yùn)動自由度之間的耦合,在許多新奇量子現(xiàn)象的產(chǎn)生中,起著重要的作用,如量子霍爾效應(yīng)、拓?fù)浣^緣體[1].通過利用光與原子的相互作用,實(shí)驗(yàn)上在電中性的超冷原子氣體中實(shí)現(xiàn)了人造自旋-軌道耦合效應(yīng),如自旋-動量耦合[2-5]、自旋-軌道角動量耦合[6-8].人造自旋-軌道耦合的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn),不僅為利用超冷原子系統(tǒng)模擬帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動提供了平臺,而且也為探索物質(zhì)場與規(guī)范場相互作用所導(dǎo)致的新奇量子現(xiàn)象提供了新機(jī)遇.

對于高自旋超冷原子氣體(自旋F≥1),除了自旋矢量以外,體系還存在自旋張量,可以用來刻畫量子態(tài)的向列性和自旋漲落對稱性[9].近年來,通過光與原子相互作用,人們發(fā)現(xiàn)在高自旋超冷原子氣體中還可以實(shí)現(xiàn)自旋張量-動量耦合[10,11]和自旋張量-軌道角動量耦合[12],它們是一類新的自旋-軌道耦合效應(yīng),其產(chǎn)生的特殊單粒子能帶結(jié)構(gòu)使得體系展現(xiàn)出豐富的新奇多體量子態(tài)及量子相變,如自旋1 玻色-愛因斯坦凝聚體(BEC)中占據(jù)兩個不同能帶的條紋態(tài)[11]和自旋-向列渦旋態(tài)[12]、費(fèi)米原子氣體中不同類型的三重簡并點(diǎn)[13,14].

到目前為止,關(guān)于自旋張量-動量耦合BEC 的研究工作大多聚焦在探索體系可能展現(xiàn)的新奇量子態(tài),僅有部分研究工作分析了自旋張量-動量耦合對吸引原子相互作用BEC 中亮孤子態(tài)動力學(xué)性質(zhì)的影響[15,16].本文將結(jié)合解析計(jì)算和數(shù)值模擬,探索一維諧振子勢阱中自旋張量-動量耦合BEC 中平面波態(tài)的動力學(xué)性質(zhì).利用高斯函數(shù)作為變分計(jì)算的試探波函數(shù),首先導(dǎo)出了平面波態(tài)的質(zhì)心坐標(biāo)、動量、波包寬度、啁啾、相對相位等參數(shù)隨時間演化所滿足的運(yùn)動方程.通過求解該方程的固定點(diǎn)解及最小化體系的能量泛函,發(fā)現(xiàn)基態(tài)為雙軸向列態(tài),其動量隨Raman 耦合強(qiáng)度的增加而單調(diào)遞減.然后通過對運(yùn)動方程進(jìn)行線性化,發(fā)現(xiàn)基態(tài)在微擾下將保持動力學(xué)穩(wěn)定性,并且展現(xiàn)出3 種不同的諧振模激發(fā),激發(fā)頻率與Raman 耦合強(qiáng)度、諧振子的縱橫比及原子相互作用強(qiáng)度有關(guān).最后,通過數(shù)值求解運(yùn)動方程,發(fā)現(xiàn)體系展現(xiàn)出有趣的周期性振蕩行為.變分計(jì)算結(jié)果與基于Gross-Pitaevskii (GP)方程的數(shù)值模擬結(jié)果相符合.

2 理論模型

設(shè)總自旋為F=1、質(zhì)量為M的87Rb 原子的3 個超精細(xì)自旋態(tài)分別為 |+1〉,|0〉和 |-1〉.利用3 束波矢為kr、強(qiáng)度為?r的Raman 激光去耦合3 個自旋態(tài),其中兩束激光沿z方向傳播,另外一束激光沿z的反方向傳播[10,11].在雙光子Raman過程中,原子將在態(tài) |0〉和 |±1〉之間轉(zhuǎn)變,同時發(fā)生 2?kr動量轉(zhuǎn)移.在旋轉(zhuǎn)波近似下,原子和光相互作用的有效單粒子哈密頓量為[10,11]

在動量空間中,沿z方向的單粒子能量色散關(guān)系為

圖1 δr/Er=0 (a)和-2 (b)時,單粒子能量色散曲線,其中?r/Er=2Fig.1.Single-particle energy dispersion curves for δr/Er=0 (a) and -2 (b),respectively,where ?r/Er=2 .

由于?r,kr和δr在實(shí)驗(yàn)中均可調(diào)節(jié),本文僅考慮δr=-4Er的情形.在這種情況下,較大的δr使得原子間的自旋混合碰撞過程 2|0〉?|+1〉+|-1〉可以忽略[17-21],并且BEC 應(yīng)為平面波態(tài)[11].由于自旋張量-動量耦合沿z方向,因此假設(shè)BEC 在xy平面內(nèi)被頻率為ω⊥的各向同性諧振子勢阱緊束縛,以至于BEC 在xy平面處于諧振子基態(tài).通過選 擇ω⊥和分別作為時間和空間長度的單位,在零溫平均場近似下,BEC 沿z方向的動力學(xué)性質(zhì)可用如下的一維GP 方程描述:

其中,ψm(z,t) 代表描述自旋態(tài)m=+1,0,-1 動力學(xué)性質(zhì)的凝聚波函數(shù),滿足歸一化條件分別代表各自旋態(tài)的密度和總密度,γ=ωz/ω⊥?1 代表諧振子勢阱的縱橫比,ωz為諧振子勢阱沿z方向的頻率.kR=2krξ⊥和?=?r/?ω⊥分別為無量綱化的自旋張量-動量耦合強(qiáng)度和Raman 耦合強(qiáng)度.gn=2N(a0+2a2)/(3ξ⊥) 和gs=2N(a2-a0)/(3ξ⊥)分別為原子間的自旋不依賴和自旋依賴相互作用強(qiáng)度,N為總原子數(shù),a0和a2分別為總自旋為0 和2 的s 波散射通道的散射長度[9].

3 變分計(jì)算

通過求解GP 方程(5a)–(5c),可研究體系的基態(tài)及動力學(xué)性質(zhì).然而,由于Raman 耦合、自旋張量-動量耦合和諧振子勢阱的存在,很難獲得GP 方程的精確解析解.因此,對于弱相互作用體系,本文利用高斯變分法去解析分析體系的基態(tài)及動力學(xué)性質(zhì)[25].

描述體系動力學(xué)性質(zhì)的拉格朗日量為

從GP 方程(5a)–(5c)或拉格朗日量(6)可以看出,體系具有交換對稱性ψ+1?ψ-1,因此可以取如下形式的變分波函數(shù)去描述平面波態(tài)的動力學(xué)性質(zhì):

其中w代表波函數(shù)的寬度,θ與振幅有關(guān),φ和?0代表相位,zc代表波包的質(zhì)心,k為波矢,c為啁啾,它們都是時間t的函數(shù).則自旋矢量Sx,y,z和向列矩陣N分別為

其中φ=?0-?為相對相位.自旋矢量(8a)表明,由于交換對稱性ψ+1?ψ-1,BEC 在自旋空間中沿著x方向被極化.向列矩陣N的本征值為它們表明: 當(dāng)Sx=±1 時,體系處于單軸向列態(tài)(λ1≠λ2=λ3);當(dāng)Sx≠±1 時,體系處于雙軸向列態(tài)(λ1≠λ2≠λ3).

將變分波函數(shù)(7)代入拉格朗日量(6)中,并對坐標(biāo)z積分后可得

由于Nzz=sin2θ,方程(11a),(11b)表明,BEC的質(zhì)心坐標(biāo)、動量和自旋張量被耦合在一起,它是自旋張量-動量耦合效應(yīng)的體現(xiàn).方程(11c),(11d)說明BEC 寬度的變化將導(dǎo)致相位上出現(xiàn)啁啾[25],而方程(11e),(11f)說明Raman 耦合導(dǎo)致BEC 相對相位和振幅發(fā)生耦合.因此,這些參數(shù)之間的非線性耦合或?qū)?dǎo)致BEC 展現(xiàn)出有趣的動力學(xué)行為.

4 動力學(xué)性質(zhì)

首先研究基態(tài)性質(zhì).為了以示區(qū)分,用“?”作為下標(biāo)去標(biāo)記基態(tài)變分參數(shù).利用能量(10)對變分參數(shù)求極值,可得

方程(12)的解實(shí)際上也是運(yùn)動方程(11)的固定點(diǎn)解.圖2(a)給出了k?和θ?的值,它們隨增加而單調(diào)遞減.圖2(b)表明,對于非零的?,向列矩陣N的3 個本征值并不相同,說明平面波基態(tài)為雙軸向列態(tài).圖2(c)和圖2(d)給出了基態(tài)波函數(shù)的實(shí)部和虛部隨空間坐標(biāo)的變化,表明基態(tài)波函數(shù)的實(shí)部和虛部具有相反的宇稱,前者為偶宇稱,后者為奇宇稱.另外數(shù)值求解了虛時演化GP 方程[26],獲得了基態(tài)的數(shù)值解,證實(shí)了變分法的計(jì)算結(jié)果,如圖2 所示.

圖2 (a),(b)參數(shù) θ?,k? 及向列矩陣 N 的本征值 λ1 ,λ2 和 λ3 隨 的變化,其他參數(shù)的取值為 gn/kR=1 ,gs/kR=0.1和 =0.2 ;(c),(d)基態(tài)波函數(shù)的實(shí)部和虛部隨空間坐標(biāo)的變化,其他參數(shù)的取值為 gn=1 ,gs=0.1 ,γ=0.2,?=kR=1;圖中的線代表GP 方程的數(shù)值解,圓圈代表變分計(jì)算結(jié)果Fig.2.(a),(b) θ? ,k? ,λ1 ,λ2 and λ3 as a function of ,where the other parameters are gn/kR=1 ,gs/kR=0.1 and=0.2 ;(c),(d) the real and imaginary parts of the wave functions in ground state for gn=1 ,gs=0.1 ,γ=0.2 and?=kR=1.The lines and circles are the results given by GP simulation and the variational method,respectively.

通過線性穩(wěn)定性分析,接下來研究平面波基態(tài)在外界擾動下的動力學(xué)穩(wěn)定性及低能激發(fā)性質(zhì).設(shè)微擾作用下,變分參數(shù)為ζ(t)=ζ?+δζeiωt,其中δζ代表變分參數(shù)相對于其基態(tài)解ζ?的偏離,ω為激發(fā)頻率.將其代入運(yùn)動方程(11)中,并保留至δζ的一階項(xiàng),可得激發(fā)頻率ω滿足的特征值方程

其中

通過對角化方程(13),可獲得激發(fā)頻率ω.圖3 給出了ω隨的變化.由于體系具有粒子-空穴對稱性,6 個不同的激發(fā)頻率總是正、負(fù)成對出現(xiàn),因此分別標(biāo)記為ω1,±,ω2,±和ω3,±.圖3 顯示所有激發(fā)頻率都是實(shí)數(shù),表明各變分參數(shù)并不會隨時間指數(shù)增長或衰減,說明BEC 在微擾下是動力學(xué)穩(wěn)定的.對于較弱的gs和γ,激發(fā)頻率可近似為

圖3 激發(fā)頻率ω 隨 的變化,其中 gn/kR=1,gs/kR=0.1 及=0.1Fig.3.Excitation frequency as the function of ,where gn/kR=1,gs/kR=0.1 and =0.1 .

正如圖3 所示,|ω1,±| 隨單調(diào)遞增,但ω2,±和ω3,±保持不變,前者主要由γ決定,而后者與gn有關(guān).因此,在微擾下BEC 將展現(xiàn)出3 種不同的諧振模激發(fā).

最后分析自旋張量-動量耦合BEC 隨時間演化的動力學(xué)性質(zhì).假設(shè)t=0 時刻,BEC 的初始動量為0,3 個自旋態(tài)的粒子數(shù)相等(即且相位、啁啾和質(zhì)心均為0.通過求解方程(11),圖4(a)和圖4(b)給出了變分參數(shù)隨時間演化的性質(zhì).可以觀察到,BEC 的動量不守恒,其大小隨時間周期性變化.同時,在Raman 耦合的作用下,θ也隨時間周期性變化,即不同自旋態(tài)之間展現(xiàn)出類似于Josephson 或Rabi 振蕩行為[27-29],振蕩周期與Raman 耦合強(qiáng)度?有關(guān).而在諧振子勢阱中,BEC 的波包寬度w的周期性變化也導(dǎo)致啁啾c隨時間周期性振蕩.特別地,從方程(11b)可以看出,BEC 的質(zhì)心坐標(biāo)zc與k,θ及c發(fā)生耦合,后者的周期性變化導(dǎo)致BEC 的質(zhì)心坐標(biāo)也隨時間作周期性振蕩.此外,以變分波函數(shù)(7)作為初始條件,本文也利用時間劈裂傅里葉譜方法數(shù)值求解了GP 方程(5)[30],圖4(c)和圖4(d)給出了各個自旋態(tài)的密度隨時間的演化,證實(shí)了變分計(jì)算結(jié)果.

圖4 (a),(b)變分參數(shù)隨時間的演化;(c),(d)各分量的密度隨時間的演化(GP 方程的數(shù)值解),其中系統(tǒng)參數(shù)為 ?=1,kR=γ=0.1,gn=1 和gs=0.1Fig.4.(a),(b) Evolutions of the variational parameters;(c),(d) evolutions of the densities of each components given by the GP simulation,where the parameters are ?=1 ,kR=γ=0.1 ,gn=1 and gs=0.1 .

5 結(jié)論

本文研究了一維諧振子勢阱中自旋張量-動量耦合玻色-愛因斯坦凝聚中平面波態(tài)的動力學(xué)性質(zhì).通過選擇高斯函數(shù)作為變分試探波函數(shù),導(dǎo)出了變分參數(shù)隨時間演化所滿足的歐拉-拉格朗日方程.利用能量對變分參數(shù)求極小值,獲得了體系的基態(tài)解,發(fā)現(xiàn)基態(tài)具有非零動量,且基態(tài)屬于雙軸向列態(tài).進(jìn)一步,基于線性穩(wěn)定性分析,發(fā)現(xiàn)基態(tài)在外界擾動下能保持動力學(xué)穩(wěn)定性,并展現(xiàn)出3 種不同的諧振模激發(fā),激發(fā)頻率與Raman 耦合強(qiáng)度、原子相互作用強(qiáng)度和諧振子勢阱的縱橫比有關(guān).最終,通過求解含時歐拉-拉格朗日方程,發(fā)現(xiàn)動量、質(zhì)心坐標(biāo)和波包寬度均隨時間周期性變化,體系展現(xiàn)出有趣的動力學(xué)行為.GP 方程的數(shù)值模擬驗(yàn)證了變分計(jì)算結(jié)果.