助數(shù)學(xué)思維發(fā)展 促核心素養(yǎng)提升
——以GGB在問(wèn)題解決中的應(yīng)用為例

浙江省湖州市南潯高級(jí)中學(xué) (313009) 劉太杰 劉定勇

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》強(qiáng)調(diào)“信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)和教師教學(xué)的重要輔助手段,為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺(tái),教師應(yīng)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合,實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)教學(xué)手段難以達(dá)到的效果.”.GeoGebra(簡(jiǎn)稱GGB)作為一款集代數(shù)運(yùn)算、幾何作圖、數(shù)據(jù)處理等于一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件在演繹思維的發(fā)展過(guò)程,助推思維的可感知、可發(fā)散、可視化,促進(jìn)了核心素養(yǎng)的提升等方面發(fā)揮著日益重要的作用.

1 化繁為簡(jiǎn)讓思維可感

案例1 已知函數(shù)f(x)=(|x-a|+b)·ln|x+a|,a,b∈R,若f(x)≥0在定義域上恒成立,則a-2b的值是( ).

A.-1 B.0 C.1 D.2

本題初看是含參恒成立問(wèn)題,但由于參數(shù)較多,函數(shù)形式復(fù)雜,參變無(wú)法分離,但如果將函數(shù)f(x)分解為兩個(gè)函數(shù)之積,分別考查它們的圖像特征,便會(huì)豁然開朗.

幾何推演：GGB實(shí)驗(yàn)探究

操作圖示思維過(guò)程創(chuàng)建兩個(gè)滑動(dòng)條a,ba=1b=-3.8便于觀察兩個(gè)參數(shù)a,b對(duì)函數(shù)f(x)圖像的影響作出h(x)的圖像通過(guò)改變參數(shù)a的符號(hào),發(fā)現(xiàn)函數(shù)h(x)關(guān)于直線x=-a對(duì)稱,且始終有兩個(gè)不同零點(diǎn)作出g(x)的圖像通過(guò)改變參數(shù)a的符號(hào),發(fā)現(xiàn)函數(shù)gx 關(guān)于直線x=a對(duì)稱,通過(guò)改變參數(shù)b的符號(hào),發(fā)現(xiàn)函數(shù)gx 的頂點(diǎn)變化規(guī)律通過(guò)滑動(dòng)條探索g(x)·h(x)≥0的充要條件通過(guò)滑動(dòng)條分別改變參數(shù)a,b的變化,發(fā)現(xiàn)只有當(dāng)a=0,b=-1時(shí)g(x)·h(x)≥0才能恒成立,且此時(shí)可以看到經(jīng)典切線不等式x-1≥lnx的身影,洞悉出題者的命題源頭

類題演練：已知f(x)=(|x|+a2-1)·ln|x+a|,a,b∈R,若f(x)≥0在定義域上恒成立,則a+b的值是________.

反思品味：對(duì)于上述復(fù)雜的含參函數(shù)恒成立問(wèn)題,GGB展示了它在探索思路、展示圖像、發(fā)現(xiàn)源頭、讓思維可感知等方面發(fā)揮的巨大作用,讓抽象的函數(shù)問(wèn)題變得形象起來(lái),讓學(xué)生感知到思維的發(fā)展過(guò)程,為問(wèn)題的解決指明了捷徑,提升了建模、推理、分析等素養(yǎng).

2 另辟蹊徑促思維發(fā)散

思路探求：易知點(diǎn)P不但在圓C上,而且在以AB為直徑的圓上,于是可以聯(lián)想到兩圓的位置關(guān)系求解,此外,我們還可以從圓的參數(shù)方程、直線與圓的位置關(guān)系、GGB作圖分析臨界位置等方面入手處理.

幾何推演：GGB實(shí)驗(yàn)探究

操作圖示思維過(guò)程創(chuàng)建滑動(dòng)條mm=-1.2便于觀察以AB為直徑的圓的變化作出定圓C及以AB為直徑的圓D:x-m2 2+y-m2 2=m22觀察m的正負(fù)對(duì)圓心和半徑的影響,發(fā)現(xiàn)圓D始終過(guò)原點(diǎn)O,且圓C與圓D的圓心均在射線y=x(x>0)上,且PO∈[|CO|-2,|CO|+2],即|PO|∈[22,42]改變滑動(dòng)條m的取值,觀察兩圓的位置關(guān)系,找到臨界情況當(dāng)兩圓外切時(shí)圓D的直徑為PO(等于AB=2m)取最小值,當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)圓D的直徑為PO(等于AB=2m)取最大值,所以,2m∈[22,42],因此,m∈[2,4],故選D.

類題演練：(多選題)已知點(diǎn)A(u+2,0),B(-u,0),若圓C:(x-4)2+(y-4)2=9上存在唯一的點(diǎn)P,使得PA⊥PB,則u的值可能為( ).

A．-9 B．-5 C．1 D．7

3 繪形繪色助思維可視

案例3 球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用,某零件由兩個(gè)球體構(gòu)成,球O1的半徑為10,P,Q為球O1表面上兩動(dòng)點(diǎn),PQ=16,M為線段PQ的中點(diǎn).半徑為2的球O2在球O1的內(nèi)壁滾動(dòng),點(diǎn)A,B,C在球O2表面上,點(diǎn)O2在截面ABC上的投影H恰為AC的中點(diǎn),若O2H=1,則三棱錐M-ABC體積的最大值是________.

分析：本題的難點(diǎn)在于空間圖形的位置理解與條件轉(zhuǎn)化,通過(guò)GGB的3D作圖功能可以將抽象的問(wèn)題具體化、形象化,有助于加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與理解.

圖1

圖2

GGB實(shí)驗(yàn)：(動(dòng)態(tài)立體演示)

操作圖示思維過(guò)程據(jù)題意分別作出三個(gè)球的空間模型可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)同心球,兩個(gè)內(nèi)切球先探究△ABC的面積取最大值的條件,再讓點(diǎn)M在半徑為6的球面上運(yùn)動(dòng),觀察三棱錐M-ABC的高h(yuǎn)取最大值的情況,最后將所有的空間幾何體按任意方向旋轉(zhuǎn)觀察它們的相對(duì)位置由于動(dòng)點(diǎn)較多,采取各個(gè)擊破法,即先考查三棱錐M-ABC的底面面積的最大值情況,再考慮高h(yuǎn)的最大值情況;通過(guò)分析可知,△ABC是斜邊為定值的直角三角形,易知當(dāng)它為等腰直角三角形時(shí)面積最大;當(dāng)M,O1,O2,H四點(diǎn)共線時(shí),點(diǎn)M為到平面ABC的距離最大,于是利用體積公式便可輕松求解.

4 反思與展望

本文以GGB在問(wèn)題解決中的應(yīng)用為例,從可感知、可發(fā)散、可視化等方面探索了它在演繹思維的過(guò)程、助推思維的發(fā)展、促進(jìn)核心素養(yǎng)的提升等方面發(fā)揮的重大作用.

GGB在教學(xué)與科研中的應(yīng)用日益廣泛,在輔助日常教學(xué)時(shí)能夠啟發(fā)學(xué)生思維、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程、增加課堂靈動(dòng)性.