“補(bǔ)”教材之“白” 促數(shù)學(xué)理解
——以“利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)為例

山東省寧陽縣復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

一、問題提出

教學(xué)中教師首先要吃透教材,并對(duì)教材做適當(dāng)“補(bǔ)白”,即對(duì)教材中省略的過程或單一的學(xué)材進(jìn)行調(diào)整和補(bǔ)充,這是教師根據(jù)教學(xué)需要進(jìn)行二次加工,使之更契合學(xué)生認(rèn)知現(xiàn)實(shí)的過程,也是教師教學(xué)中常態(tài)化的工作之一.下面舉例說明.

本例旨在以三次多項(xiàng)式函數(shù)為例,介紹用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.而通過必修課程的學(xué)習(xí),學(xué)生知道單調(diào)性的定義是求解函數(shù)單調(diào)性問題的基本方法,本題能用單調(diào)性的定義思考函數(shù)單調(diào)區(qū)間嗎?教材也在第88頁“邊空”提出問題:“如果不用導(dǎo)數(shù)的方法,直接運(yùn)用單調(diào)性的定義,你如何求解本題?運(yùn)算過程麻煩嗎?你有什么體會(huì)?”

二、問題探究

以上將變量x1作為主元,另外一個(gè)變量x2作為副元(即參數(shù)),構(gòu)造了二次函數(shù)h(x)=2x2+(2x2-3)x+2x22-3x2-12,從而確定h(x1)<0,即2x12+2x1x2+2x22-3x1-3x2-12<0,進(jìn)而說明了f(x)在(-1,2)上單調(diào)遞減.簡(jiǎn)而言之,通過確立主副元構(gòu)造函數(shù)后,發(fā)揮二次函數(shù)圖象已知、數(shù)值可算的優(yōu)勢(shì),確定代數(shù)式的符號(hào).類似的,我們可討論函數(shù)的增區(qū)間.

基于學(xué)生已具備的認(rèn)知基礎(chǔ),除了以上的解法,我們還可以考慮配方策略.配方是一種以“出現(xiàn)平方式”為思維指向的恒等變形,因而,配方法既具有一般恒等變形的功能,又具有“平方式”,從而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)產(chǎn)生非負(fù)數(shù)的特殊功能.至于配方法的更多作用,如配方消去一次項(xiàng)、配方分離分母等,都可以分解成這兩個(gè)基本功能的組合與派生.下面舉例說明.

例2 利用單調(diào)性的定義證明f(x)=x3-3x2+6x+2在R上單調(diào)遞增.

例3 (1991年高考全國(guó)卷理科第24題)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明函數(shù)f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是減函數(shù).

三、結(jié)論

通過以上案例的分析可知,對(duì)于三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)不是唯一的解決之道,我們完全可以利用單調(diào)性的定義探求嗎,具體解答時(shí)充分考慮配方法、二次函數(shù)、主副元法等的應(yīng)用,而不需要特別高深的知識(shí)與技巧.筆者建議,把本問題以研究型活動(dòng)的形式與學(xué)生一同探討,讓學(xué)生經(jīng)歷完整的定義法判定單調(diào)性的思維過程,之后再與導(dǎo)數(shù)方法比較,才能更深刻的感受到導(dǎo)數(shù)工具的便捷性.同時(shí)通過探究活動(dòng),正本清源,澄清一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),也為學(xué)生提供一次訓(xùn)練數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的大好機(jī)會(huì).事實(shí)上,自從導(dǎo)數(shù)的概念和方法進(jìn)入高中教材后,導(dǎo)數(shù)作為一種重要的工具,在判斷函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值、最值以及證明不等式方面發(fā)揮出勢(shì)如破竹般的巨大作用(相對(duì)傳統(tǒng)方法而言),顯示出獨(dú)有的魅力,用導(dǎo)數(shù)方法解決問題漸成“時(shí)尚”.但是,細(xì)究起來,用導(dǎo)數(shù)方法解決問題要求函數(shù)連續(xù)和可導(dǎo),條件還是很苛刻的.幸好現(xiàn)在處理的函數(shù)大多數(shù)滿足這一條件.當(dāng)函數(shù)不滿足這些條件時(shí),導(dǎo)數(shù)方法豈不是“英雄無用武之地”了?

數(shù)學(xué)的活力在于最大限度地發(fā)揮想象力、創(chuàng)造力,不斷引進(jìn)新觀念和新方法,不斷激發(fā)人們的觀察、比較、實(shí)驗(yàn)和歸納的能力,通過持續(xù)精益求精,臻于嚴(yán)格化,致力于普適性,這種數(shù)學(xué)學(xué)科上的訴求對(duì)教學(xué)提出了更高的要求.在常規(guī)課堂教學(xué)中,若能以核心素養(yǎng)的知識(shí)創(chuàng)新水平為目標(biāo),將會(huì)極大程度地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神,以數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量教育學(xué)生.