一致分數(shù)階時滯微分方程邊值問題解的存在性與唯一性

張 敏, 周文學, 黎文博

(蘭州交通大學 數(shù)理學院, 蘭州 730070)

0 引 言

分數(shù)階微分方程的邊值問題是分數(shù)階微分系統(tǒng)理論的重要課題. 目前, 對分數(shù)階微分方程邊值問題的研究已取得了豐富成果, 其中最主要的是基于Riemann-Liouville和Caputo分數(shù)階導數(shù)的定義[1-9]. 但這兩種導數(shù)均不滿足經(jīng)典鏈式法則, 并且這兩種導數(shù)的某些性質使得分數(shù)階導數(shù)的應用很困難. 因此, Khalil等[10]提出了一種新的分數(shù)階導數(shù)和分數(shù)階積分的定義, 稱為一致分數(shù)階導數(shù)和積分. 這種新的分數(shù)階導數(shù)的定義可滿足經(jīng)典的分數(shù)階導數(shù)不能滿足的一些性質, 如乘積法則、 商法則、 鏈式法則、 羅爾定理和中值定理等, 并且其在生物物理學、 電容理論、 控制理論和實驗數(shù)據(jù)擬合等領域應用廣泛[11-13]. 但對帶有時滯的分數(shù)階微分方程邊值問題的研究目前報道較少[14-16]. Yang等[17]利用Schaefer不動點定理和Krasnoselskii’s不動點定理研究了一類非線性分數(shù)階微分方程邊值問題

正解的存在性, 其中0

解的存在唯一性, 其中1

基于上述研究, 本文利用Leray-Schauder度理論和Banach壓縮映射原理考慮如下一類一致分數(shù)階時滯微分方程邊值問題:

(1)

解的存在性與唯一性, 其中1<β≤2,τ>0,f: [0,1]×→是連續(xù)函數(shù),是階數(shù)為β的一致分數(shù)階導數(shù).

1 預備知識

定義1[10]假設函數(shù)f: [0,∞)→, 則f的β∈(n,n+1]階一致分數(shù)階導數(shù)定義為

(2)

(3)

注2由一致分數(shù)階導數(shù)定義可知, 當β=1時, 一致分數(shù)階導數(shù)定義即為傳統(tǒng)的一階導數(shù)定義.

引理1[10]當β∈(n,n+1]并且f在t>0處n+1階可微時, 有

(4)

定義2[19]假設函數(shù)f: [0,∞)→, 則f的β∈(n,n+1]階一致分數(shù)階積分定義為

(5)

引理2[19]假設函數(shù)f: [0,∞)→連續(xù), 并且β∈(n,n+1], 則有

DβIβf(t)=f(t).

(6)

引理3[19]假設f: [0,∞)→是β階可微函數(shù), 并且β∈(n,n+1], 則有

IβDβf(t)=f(t)+a0+a1t+…+antn,

(7)

其中ai∈,i=0,1,2,…,n.

引理4設函數(shù)f: [0,1]×→是連續(xù)的,u(t)是邊值問題(1)的解, 則

(8)

其中格林函數(shù)G(t,s)為

(9)

證明: 由引理3知, 有

(10)

a0+a1=0;

(11)

根據(jù)u(1)+u′(1)=0, 有

(12)

結合式(11),(12)可得

(13)

將式(13)代入式(10)可得

引理5(Arzela-Ascoli定理)[20]集合P?C([a,b])列緊的充分必要條件為:

1) 集合P有界, 即存在常數(shù)ψ, 使得對?u∈P, 有|u(t)|≤ψ(?t∈[a,b]);

2) 集合P等度連續(xù), 即對?ε>0, 始終存在σ=σ(ε)>0, 使得對于?t1,t2∈[a,b], 只要|t1-t2|<σ, 即有|u(t1)-u(t2)|<ε(?u∈P).

2 主要結果

設A為C([-τ,1],)按范數(shù)構成的Banach空間, 在A上定義一個算子Q,

假設條件:

(H1) 函數(shù)f∈C([0,1]×,), 并且φ∈C([-τ,0],);

(H2) 存在常數(shù)α,B>0, 使得?(t,u)∈[0,1]×, 有|f(t,u)|≤α|u|+B;

(H3) 存在函數(shù)η(t)∈L1/2([0,1],+), 使得?t∈[0,1], 當任取u,v∈時, 有|f(t,u)-f(t,v)|≤η(t)|u-v|, 其中

證明: 由函數(shù)G(t,s),f(s,u(s-τ))的連續(xù)性可知算子Q是連續(xù)的, 并且易證Q(A)?A.設P是A中的一個有界集, 則存在常數(shù)M>0, 使得對任意的u∈P, 有‖u‖≤M.

下面利用Leray-Schauder度理論證明邊值問題(1)正解的存在性, 分以下3個步驟.

1) 證明算子Q(P)是一致有界的.對任意的u∈P, 有

因此, 算子Q(P)是一致有界的.

2) 證明算子Q(P)是等度連續(xù)的.對任意的u∈P,t1,t2∈[-τ,1]且t1

① 當0≤t1

② 當-τ≤t1

③ 當-τ≤t1<0

在上面3種情形中, 當t1→t2時, 總有|Qu(t2)-Qu(t1)|→0, 表明Q(P)是等度連續(xù)的.故由引理5可知,Q(P)是列緊的, 從而算子Q:A→A是全連續(xù)的.

令ω=T+1,Bω={u∈A: ‖u‖<ω}, 則u≠γQu, 對任意的u∈?Bω,γ∈[0,1].定義一個映射:Fγ(u)=u-γQu, 則Fγ(u)=u-γQu≠0, 對任意的u∈?Bω,γ∈[0,1].因此, 由Leray-Schauder度的同倫不變性, 有

deg(Fγ,Bω,θ)=deg(I-γQ,Bω,θ)=deg(F1,Bω,θ)=deg(F0,Bω,θ)=deg(I,Bω,θ)=1≠θ.

從而根據(jù)Leray-Schauder度的可解性可知, 方程F1(u)=u-Qu=0在Bω上至少存在一個解, 進而邊值問題(1)至少有一個正解.證畢.

定理2如果條件(H1)和(H3)成立, 并且‖η‖(Λ2+Λ3)<1, 則邊值問題(1)存在唯一解.

下面利用Banach壓縮映射原理證明邊值問題(1)解的存在唯一性, 分以下兩個步驟.

1) 證明Q(Bδ)?Bδ.對任意的u∈Bδ, 有

則‖Qu‖≤δ.表明算子Q將Bδ中的有界子集映為Bδ中的有界子集, 即Q(Bδ)?Bδ.

2) 證明算子Q為壓縮映射.對任意的u,v∈A:

① 當t∈[0,1]時, 有

② 當t∈[-τ,0]時, 有|Qu(t)-Qv(t)|=|φ(t)-φ(t)|=0.

由①,②可得

‖Qu-Qv‖[-τ,1]≤‖η‖(Λ2+Λ3)‖u-v‖[-τ,1].

因為‖η‖(Λ2+Λ3)<1, 所以算子Q為壓縮映射.即由Banach壓縮映射原理可知算子Q存在唯一的不動點, 故邊值問題(1)存在唯一解.

3 應用實例

考慮下列一致分數(shù)階時滯微分方程邊值問題:

(14)

解的存在性與唯一性.

所以存在η(t)=e-3tsin1/2t∈L1/2([0,1],+), 滿足條件(H3), 且‖η‖=0.166 7.又因為

所以‖η‖(Λ2+Λ3)≈0.571 3<1.因此根據(jù)定理2可知, 邊值問題(14)存在唯一解.