粗糙核Marcinkiewicz積分在Morrey-Adams空間上的有界性

朱小杰, 陶雙平

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言與主要結(jié)果

設(shè)Ω為n上的零次齊次函數(shù), 滿足以下消失矩條件:

(1)

(2)

設(shè)b是一個局部可積函數(shù), 則由μΩ和b生成的交換子定義為

(3)

其中

Marcinkiewicz[1]首次提出了一維Marcinkiewicz算子:

其中

之后, Zygmund[2]證明了μ在Lebesgue空間Lp()(1

定義1[7]設(shè)0≤λ≤n, 1≤p<∞, Morrey空間定義為

其中B(x,r)={y∈n: |x-y|

定義1中的Morrey范數(shù)‖·‖Lp,λ可寫成如下形式:

定義2[13]設(shè)1≤p<∞,λ∈, 1≤θ<∞, Morrey-Adams空間定義為

為討論Marcinkiewicz積分算子的交換子μΩ,b在Morrey-Adams空間上的有界性, 需介紹粗糙核極大算子MΩ:

當Ω∈L1(Sn-1)時, 算子MΩ在Lp空間上是有界的, 其中p>1.

定義3[14]BMO空間定義為

定義4[14]設(shè)0<β<1, Lipschitz空間定義為

本文的主要結(jié)果如下.

(4)

定理3設(shè)b∈BMO(n),Ω∈Ls(Sn-1)(10, 使得

2 主要結(jié)果的證明

引理2[15]設(shè)f∈BMO(n), 則對n中的任意球B和1

|μΩ,bf(x)|≤CΩ‖b‖Lipβ(MΩf(x))ν‖f‖1-ν,

證明: 固定x∈n,R>0, 記f=f1+f2, 其中f1=fχB(x,R),f2=fχB(x,R)c.利用μΩ,b的線性性質(zhì), 有

|μΩ,bf(x)|≤|μΩ,bf1(x)|+|μΩ,bf2(x)|∶=A+B.

對于A, 由Minkowski不等式, 得

從而有

由文獻[16]中引理4.1的方法可得

這里CΩ是指僅依賴于Ω的正常數(shù).證畢.

2.1 定理1的證明

設(shè)z∈n, 任意給定球B(z,2r)(r>0), 把f分解為f=f1+f2, 其中f1=fχB(x,2r),f2=fχB(x,2r)c,f的分解依賴于r.于是

對于G, 由μΩ在Lp(n)空間上的有界性, 易得

對于H, 注意到當x∈B(z,r),y∈B(z,2r)c?B(x,r)c時, 有

因此

對于I1, 注意到|x-y|≈|z-y|, 結(jié)合中值定理, 有

再由Minkowski不等式, 得

對于I2, 同理有

注意到如果y∈B(z,2r)c, 則y∈B(x,2jr)B(x,2j-1r)(j≥1), 因此可得

再利用球坐標變換, 有

由H?lder不等式, 得

所以

令t=2j+1r, 由Minkowski不等式, 可得

2.2 定理2的證明

固定z∈n, 由引理3得

由已知條件(4)得

定理2證畢.

2.3 定理3的證明

設(shè)z∈n, 對任意給定球B(z,2r)(r>0), 把f分解為f=f1+f2, 其中f1=fχB(x,2r),f2=fχB(x,2r)c,f的分解依賴于r.于是

對于Q, 由μΩ,b在Lp(n)空間上的有界性, 易得

對于P, 由定理1的證明, 可得

對于J1, 有

令t=2j+1r, 由引理2, 得

對于J2, 有

注意到當b∈BMO(n)時, 有|bB(z,2j+1r)-bB(z,r)|≤C(j+1)‖b‖*, 則

對于J22, 由H?lder不等式, 得

令t=2j+1r, 由Minkowski不等式, 得