基于分?jǐn)?shù)布朗運動過程模型的混合隨機退化設(shè)備剩余壽命預(yù)測

高旭東 胡昌華 張建勛 杜黨波 喻 勇

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步與發(fā)展,在實際工程中,設(shè)備內(nèi)部結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性、運行載荷和外部環(huán)境的多變性也隨之不斷增加,導(dǎo)致設(shè)備的退化過程通常具有隨機性、階段性、多樣性、相關(guān)性和混合性等特征[1-2],這給設(shè)備的健康管理帶來了一定的難度和挑戰(zhàn).為了避免由于退化失效而造成人員與財產(chǎn)損失,有必要研究該類設(shè)備的退化建模與剩余壽命(Remaining useful life,RUL)預(yù)測問題,進而保障其安全、可靠運行.但是,如何準(zhǔn)確預(yù)測此類隨機退化設(shè)備的剩余壽命仍是目前研究的難點與熱點問題.

在實際工程中,常常會遇到混合退化過程的設(shè)備[1-2],但現(xiàn)有文獻處理方法是將設(shè)備的退化過程簡化成單一的線性或非線性Wiener 過程[3-9],可以比較容易得到設(shè)備RUL 的解析解.例如對于具有線性擴散項的維納退化過程,Si 等[3]研究了三層不確定因素影響下線性隨機退化系統(tǒng)的RUL 預(yù)測方法;Huang 等[4]在文獻[3]基礎(chǔ)上,提出一種帶自適應(yīng)漂移系數(shù)的隱線性Wiener 模型,用以描述設(shè)備的退化軌跡,引入自適應(yīng)漂移參數(shù)及測量噪聲,同時考慮設(shè)備歷史數(shù)據(jù)及測量噪聲問題,進一步提高了設(shè)備RUL 的預(yù)測精度;王璽等[5]基于線性Wiener 過程,針對新研發(fā)光電產(chǎn)品提出一種剩余壽命自適應(yīng)預(yù)測方法,克服了現(xiàn)有RUL 預(yù)測方法中,當(dāng)前時刻估計的隨機參數(shù)與上一時刻隨機參數(shù)的后驗估計完全相等的潛在假設(shè),進而提高了RUL 的預(yù)測準(zhǔn)確性.

對于具有非線性擴散項的Wiener 退化過程,Si 等[6]使用時空變換方法,獲得了RUL 的近似解析解.司小勝等[7]考慮了退化過程中的測量不確定性,然后根據(jù)維納過程的統(tǒng)計性質(zhì),建立一個狀態(tài)空間模型預(yù)測RUL,但是RUL 的分布中未考慮測量不確定性.鄭建飛等[8]在文獻[7]基礎(chǔ)上,還考慮了個體差異的不確定性,并在RUL 分布的推導(dǎo)中考慮了測量不確定性和個體差異性,進一步提高了RUL的預(yù)測精度.Cai 等[9]考慮了退化量與監(jiān)測量之間的非線性關(guān)系,推導(dǎo)得到了其RUL 的概率密度函數(shù)(Probability density function,PDF),且通過激光器數(shù)據(jù)驗證了該方法能夠明顯提高預(yù)測精度并降低預(yù)測結(jié)果的不確定性.

但是,這些退化過程都有兩個潛在的假設(shè): 1)假設(shè)設(shè)備的退化過程是一種單一的線性或非線性退化形式,忽略了各種退化形式在整個退化過程所占的比重是不同的,影響效果是有差別的;2)假設(shè)設(shè)備的退化過程是一種無記憶效應(yīng)馬爾科夫過程,忽略了監(jiān)測數(shù)據(jù)之間可能存在的長期依賴性和相關(guān)性對RUL 的預(yù)測具有一定的影響.例如在發(fā)動機引擎性能退化數(shù)據(jù)[10]、高爐的性能退化數(shù)據(jù)[11-12]、鋰電池的性能退化數(shù)據(jù)[13]等數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了記憶效應(yīng),即未來退化狀態(tài)受到當(dāng)前狀態(tài)與歷史狀態(tài)的共同影響.文獻[14]在分?jǐn)?shù)布朗運動(Fractional Brownian motion,FBM)的框架下,建立了設(shè)備的退化模型,使用復(fù)雜弱收斂定理將FBM 近似為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動(Brownian motion,BM),然后推導(dǎo)了RUL 的PDF.文獻[15]建立了考慮退化狀態(tài)之間存在相關(guān)性的新型退化模型,并將其應(yīng)用于高爐與發(fā)動機性能退化數(shù)據(jù)中,通過求取RUL 數(shù)值PDF 的方式驗證了此方法的有效性和優(yōu)越性.文獻[16]在文獻[15]基礎(chǔ)上,使用更為簡單的弱收斂理論推導(dǎo)了RUL的近似PDF,避免大量的數(shù)值積分,同時考慮隨機效應(yīng)的影響,并通過鋰電池性能退化數(shù)據(jù)進行驗證,驗證結(jié)果表明,該方法能夠有效提高RUL 的預(yù)測精度.但是,現(xiàn)有基于FBM 過程模型的設(shè)備RUL預(yù)測方法最大的不足是均未實時更新模型中的相關(guān)參數(shù),僅利用同批設(shè)備的歷史退化數(shù)據(jù)對模型中的未知參數(shù)進行估計.此外,文獻[15]從結(jié)構(gòu)組成和退化機理兩個方面分析了慣性導(dǎo)航陀螺儀的隨機退化過程具有混合性特征.相比于傳統(tǒng)單一退化形式的Wiener 過程對設(shè)備的隨機退化過程建模,通過建立混合隨機退化模型,能夠進一步提高RUL 預(yù)測精度.文獻[15]詳細論述和證明了考慮退化過程的混合性,能夠提高設(shè)備RUL 的預(yù)測精度.

鑒于此,本文將重點研究在記憶效應(yīng)影響下同時包含線性退化過程和非線性退化過程的混合隨機退化設(shè)備建模與RUL 預(yù)測問題.主要關(guān)注以下3個問題: 1)如何建立存在記憶效應(yīng)的混合退化過程模型;2)如何在首達時間(First hitting time,FHT)條件下,推導(dǎo)設(shè)備RUL 的解析表達形式;3)如何根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)實時更新退化模型參數(shù),并實現(xiàn)RUL分布的自適應(yīng)更新.針對以上3 個問題,本文首先建立了一種基于分?jǐn)?shù)布朗運動的混合退化模型,考慮了記憶效應(yīng)對未來退化過程的影響;進一步,在弱收斂性理論和FHT 的概念下,推導(dǎo)了混合退化設(shè)備RUL 的近似解析表達式;然后,利用共性參數(shù)離線估計和隨機參數(shù)自適應(yīng)更新的策略,實現(xiàn)RUL的自適應(yīng)預(yù)測;最后,將本文方法應(yīng)用于數(shù)值仿真例子和陀螺儀的監(jiān)測數(shù)據(jù)上進行驗證.

1 基于FBM 的混合隨機退化模型

首先,令X(t)表示混合退化設(shè)備在t時刻的退化量.基于上文的具體分析,受記憶效應(yīng)影響的混合退化設(shè)備模型由以下3 部分組成[15]: 1)線性退化元件引起的線性退化過程;2)非線性退化元件引起的非線性退化過程;3)含有記憶效應(yīng)的隨機波動.因此,在文獻[11]基礎(chǔ)上,在t時刻,基于FBM 混合退化模型可以表示為:

式中,X(0)表示混合退化設(shè)備的初始退化狀態(tài),為了不失一般性,假設(shè)X(0)=0 (在實際中,若X(0)≠0,可以通過平移手段將其轉(zhuǎn)化為零[16-17]).λt代表混合退化設(shè)備的線性趨勢代表非線性退化趨勢;令λ和α為隨機變量,用于描述由結(jié)構(gòu)差異、外部環(huán)境等差異引起的同批設(shè)備中不同個體差異性.β和σ是共性參數(shù),用于反映同批設(shè)備的共同特性[18-19].為了刻畫線性退化部分與非線性退化部分之間的相關(guān)性,本文假設(shè)λ和α服從二維正態(tài)分布.另外,BH(t)為分?jǐn)?shù)布朗運動,描述了退化過程中帶有記憶效應(yīng)的隨機波動性.

定義 1[13,20]. 赫斯特指數(shù)H的取值區(qū)間滿足0

的中心化高斯過程[21]:

式中,KH(t-s)定義為:

Γ(·)為伽馬函數(shù),具體形式為:

由式(3)可以看出,FBM 是BM 增量的非線性移動平均值[20],這進一步引入了記憶效應(yīng),其中:

為了簡化σB的計算,假設(shè)式(1)中的BH(t)為標(biāo)準(zhǔn)FBM[13].標(biāo)準(zhǔn)FBM 滿足[21]:

1)BH(0)=0 且 E (BH(0))=0;

2)?t≥0,E(BH(t)2)=t2H;

3)分?jǐn)?shù)布朗運動具有自相似性和平穩(wěn)增量;

4)分?jǐn)?shù)布朗運動的樣本軌道是連續(xù)但幾乎不可微的;

5)當(dāng) 1/2

因此對于任意的λ∈R,α∈R,σ∈R當(dāng)且僅當(dāng) 1/2

注1.FBM 是一種具有長期依賴性、自相關(guān)性的連續(xù)非馬爾科夫過程[20],其增量是固定且相關(guān)的,并且引入了長程相關(guān)的結(jié)構(gòu)[22-23].赫斯特指數(shù)H可以測量整個退化軌跡之間的長期依賴性.根據(jù)H的不同,FBM 可以分為三種類型,當(dāng) 0

2 基于混合隨機退化模型的RUL 預(yù)測

基于FHT 的定義[25],當(dāng)失效閾值為ω時,目標(biāo)設(shè)備在任意時間tk的剩余壽命Lk定義如下:

基于式(1)、式(7)和弱收斂理論[26]推導(dǎo)得到目標(biāo)設(shè)備RUL 的近似PDF,如定理1 所述.定理1 考慮了關(guān)于FBM 的更簡單的弱收斂方案,提出了基于FBM 過程的混合退化模型的RUL 分布.

式中,ωm,k=ωm-xm(tk),=h(tk+lk)-h(tk),=h(tk+lk+?l)-h(tk+lk).

定理1 的證明見附錄A.

下面對混合退化模型中的未知參數(shù)進行實時估計更新,從而實現(xiàn)混合退化設(shè)備RUL 的自適應(yīng)預(yù)測.

3 隨機混合退化模型的參數(shù)估計

3.1 共性參數(shù)與隨機參數(shù)的離線估計

式中,λ0與α0分別表示隨機參數(shù)λ和α的先驗值,將其聯(lián)合先驗分布記作π0～ρ0).

為了方便推導(dǎo),令:

假設(shè)同批次不同設(shè)備個體之間的歷史退化數(shù)據(jù)都是互不相關(guān)的.因此,對第m個隨機退化設(shè)備的所有歷史監(jiān)測數(shù)據(jù)可以進一步寫為:

定理2.Xm的聯(lián)合分布為多元正態(tài)分布,其均值與方差如下:

定理2 證明見附錄B.

根據(jù)定理2 可以得到模型參數(shù) Θ 的似然函數(shù)如下:

式(19)對μλ0和μα0分別求一階偏導(dǎo),可得:

將式(22)、式(23)代入式(19),可得:

可以看出,似然函數(shù)(24)具有高維的特征,直接把式(24)極大似然化很難得到其余參數(shù)的極大估計值.本文首先利用Matlab 中的fminsearch 函數(shù),求取極大似然估計值(該函數(shù)基于Nelder-Mead 單純形法對最小化執(zhí)行同步多維搜索),進而得到參數(shù)的估計值;然后,將其代入式(22)、式(23),得到相應(yīng)μλ0、μα0的極大似然估計值;最后,采用貝葉斯推理方法,利用設(shè)備的實時退化監(jiān)測數(shù)據(jù)對隨機參數(shù)進行實時更新.

3.2 隨機參數(shù)的實時更新

第3.1 節(jié)通過參數(shù)離線估計的方法得到了隨機參數(shù)λ和α的聯(lián)合先驗分布,下面對隨機參數(shù)進行實時更新.假設(shè)第m個設(shè)備在前tk時刻一共獲得k個退化監(jiān)測數(shù)據(jù)Xk?,記作:

式中,ti(i=1,2,···,k)表示對應(yīng)的退化監(jiān)測時刻.

基于貝葉斯推理理論,利用獲得的退化數(shù)據(jù)更新λ和α的聯(lián)合后驗分布,即:

將估計得到的聯(lián)合分布π0(λ,α)、式(27)代入式(26),對λ和α的聯(lián)合后驗分布進行更新,具體更新結(jié)果如下:

基于式(29)、式(30),λ和α在tk時刻聯(lián)合后驗分布中的相關(guān)參數(shù)可以由下式得到:

將第3.1 節(jié)參數(shù)的離線估計與第3.2 節(jié)參數(shù)的實時更新歸結(jié)為算法1.至此,完成了模型里面隨機參數(shù)的實時更新.下面將本文方法應(yīng)用到數(shù)值仿真和陀螺儀實際退化監(jiān)測數(shù)據(jù)中.

算法1.參數(shù)的離線估計與實時更新算法

4 數(shù)值仿真與實例驗證

本節(jié)將本文所提方法應(yīng)用到數(shù)值例子與實際例子中,驗證其是否有效.采用線性退化模型、非線性退化模型和本文提出的模型來擬合退化數(shù)據(jù),并且比較在三種模型下設(shè)備RUL 的預(yù)測結(jié)果.三種模型為: 1)本文設(shè)計的模型;2)模型1.基于帶線性漂移 的Wiener 過程模型[5];3)模型2.基于帶非線性漂移的Wiener 過程模型[8,27];4)模型3.基于帶非線性漂移的FBM 過程模型(單一退化形式)[13-14](未考慮隨機系數(shù)的實時更新).

4.1 數(shù)值仿真

1)仿真數(shù)據(jù)

圖1 30 組仿真歷史退化數(shù)據(jù)Fig.1 30 sets of simulated history degradation data

圖1 是30 組仿真退化軌跡,仿真監(jiān)測時間為0～15 s,采樣間隔為0.1 s,每條軌跡共150 個采樣點.圖2 為其中任意一條退化軌跡.作為帶預(yù)測設(shè)備的實時監(jiān)測數(shù)據(jù),為了簡單化,將該軌跡的最后一個監(jiān)測數(shù)據(jù)X(15)=13.1 作為失效閾值,即ω=13.1.則該設(shè)備的剩余壽命可近似為14.8 s.

圖2 待預(yù)測設(shè)備實時監(jiān)測退化數(shù)據(jù)Fig.2 Real-time monitoring degradation data of the equipment for prediction

下面利用圖2 的仿真退化數(shù)據(jù)對本文所提模型和RUL 預(yù)測的有效性進行驗證.

2)結(jié)果對比

為了比較的公平性,模型2、模型3 中的非線性部分也采用冪函數(shù)的形式.首先,基于歷史退化數(shù)據(jù),采用極大似然估計算法得到共性參數(shù)與隨機參數(shù)的先驗估計值.為了對比度量四種模型之間的擬合的精準(zhǔn)度與估計的準(zhǔn)確度,使用赤池信息準(zhǔn)則(Akashi information criterion,AIC)[28]、貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian information criterion,BIC)[29]測量預(yù)測模型的擬合程度.AIC、BIC 的值越小,則擬合程度越高;反之,則擬合越差.AIC 的具體公式為:

式中,L(Θ)表示似然函數(shù)值,p是未知參數(shù)的總個數(shù).

BIC 引入了改進懲罰項,懲罰項大于AIC 的,可以有效避免大樣本的過擬合問題,其具體表達式為:

式中,L(Θ)表示似然函數(shù)值,p是未知參數(shù)的總個數(shù),n為樣本數(shù)據(jù)量.

表1 為四種模型參數(shù)(本文方法、模型1、模型2、模型3)的先驗估計值.

表1 四種模型參數(shù)的先驗估計值Table 1 The parameters＇ prior estimates of the four models

由表1 可知,本文方法的AIC 與BIC 值最小,并且其中的3 個方差參數(shù)總體也比較小,這說明本文模型參數(shù)估計的準(zhǔn)確性更高.主要原因是本文所提模型既考慮退化過程的混合性,還考慮了退化狀態(tài)之間可能存在的相關(guān)性.

得到參數(shù)的離線估計值后,基于待預(yù)測設(shè)備的實時監(jiān)測退化數(shù)據(jù),采用貝葉斯更新的方法實現(xiàn)λ和α的實時更新,進而實現(xiàn)RUL 的實時預(yù)測.圖3是本文模型中λ和α的實時更新過程.

圖3 隨機參數(shù)的實時更新過程Fig.3 Real-time updating process of random parameters

由圖3 可以看出: 1)隨著仿真退化數(shù)據(jù)的不斷獲取,隨機參數(shù)不斷實時更新;2)ρ的實時更新值為負,表明λ和α是負相關(guān),進一步表明混合隨機退化設(shè)備的線性退化部分與非線性退化部分是相互抑制的.

下面對比在四種方法下得到的RUL 實時預(yù)測結(jié)果.預(yù)測時間點共取10 個,從第5 個時間點(第50 個采樣點)到第14 個時間點(第140 個采樣點),間隔為10 個采樣點,具體RUL 對比見圖4.同時選取第5、8、11、13 個時間點的RUL 預(yù)測結(jié)果,通過二維平面圖形式做進一步對比,對比圖如圖5所示.

圖4 4 種方法在各個時間點處RUL 預(yù)測的對比Fig.4 Comparison of RUL prediction by four methods at each time

圖5 四種方法在第5、8、11、13 個時間點RUL 預(yù)測結(jié)果的對比Fig.5 Comparison of RUL prediction by four methods at 5,8,11,13th time

在圖4 和圖5 中,藍色曲線為本文方法RUL的PDF,紅色曲線為模型1 得到的PDF,黑色曲線為模型2 得到的PDF,綠色曲線為模型3 得到的PDF.可以看出: 1)四種模型隨著獲取的退化數(shù)據(jù)增多,RUL 預(yù)測的精度越來越高;2)本文方法得到的RUL 的PDF 能夠更好地覆蓋真實的RUL,其預(yù)測均值更接近真實的RUL,較模型1、模型2、模型3 得到的PDF 精度更高;3)本文方法預(yù)測得到的RUL 的PDF 更為尖銳和緊湊,這說明本文方法預(yù)測的不確定性比其他三種方法預(yù)測的不確定性更小.由圖4、圖5 可以直觀地看出,本文方法優(yōu)于其他三種方法.

下面從定量的角度分析四種方法的優(yōu)劣.使用均方誤差(Mean squared error,MSE)指標(biāo)來評價四種方法預(yù)測RUL 的精度,其既可以表征RUL 預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性,還可以表征RUL 預(yù)測的不確定性,是常用的誤差評定指標(biāo),可以較好地對比不同預(yù)測方法的優(yōu)劣.待測設(shè)備在tk的RUL 的MSE 可以表示為:

所有預(yù)測時間點處的均方誤差之和為總體均方誤差(Total mean squared error,TMSE).很明顯,TMSE 值越小,則該方法的RUL 預(yù)測精度就越高.通過計算得到四種方法在第10 個時間點處的TMSE分 別為1.0051 × 102、5.1308× 103、1.1007×103、1.5041 × 102.通過對比可知,本文方法的RUL 預(yù)測精度高于傳統(tǒng)模型1、模型2、模型3 的RUL 預(yù)測精度;相比于模型1 和模型2,精度約提高了一個數(shù)量級.定量分析結(jié)果與圖4、圖5 直觀得到的結(jié)論是一致的.

4.2 實例驗證

陀螺儀是慣性導(dǎo)航系統(tǒng)、導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制系統(tǒng)的關(guān)鍵設(shè)備,決定著導(dǎo)彈導(dǎo)航與命中的精度.但是,隨著陀螺儀工作年限的增加,在外部復(fù)雜環(huán)境與內(nèi)部隨機應(yīng)力的影響下,陀螺儀的性能可能會隨之發(fā)生退化,主要表現(xiàn)在其漂移系數(shù)的不斷增大,如果漂移系數(shù)值增大到一定程度,陀螺儀就無法正常工作,即陀螺儀發(fā)生失效.

本文獲取的5 組某型號陀螺儀的退化監(jiān)測數(shù)據(jù)[30],每組73 個數(shù)據(jù),采樣間隔為2.5 h,陀螺儀失效閾值設(shè)定為0.37 (°/h),陀螺儀壽命約為180.5 h.首先,基于極大似然估計算法,利用其中4 組退化數(shù)據(jù)[30]對模型參數(shù)進行離線估計,得到其先驗估計值;其次,利用剩下一組數(shù)據(jù)為待預(yù)測的陀螺儀的實時監(jiān)測數(shù)據(jù),采用貝葉斯更新的方法,對模型隨機參數(shù)進行實時更新;最后,進行設(shè)備RUL 的實時預(yù)測,并且將模型1、模型2、模型3 得到的RUL 進行比較.圖6 為待預(yù)測陀螺儀的實時監(jiān)測數(shù)據(jù).

圖6 待預(yù)測陀螺儀漂移數(shù)據(jù)Fig.6 Drift data of the gyroscope for prediction

為了比較公平,模型2、模型3 中的非線性形式和本文模型的非線性部分都采用冪函數(shù)形式.調(diào)用算法1 中的離線估計階段得到模型參數(shù)的先驗估計值,如表2 所示.

表2 陀螺儀退化模型參數(shù)的先驗估計值Table 2 A parameters＇ prior estimate of the gyroscope degradation model

下面基于陀螺儀模型參數(shù)的先驗估計值,調(diào)用算法1 中的參數(shù)實時更新階段,在每一個時間點對模型隨機參數(shù)進行實時更新,模型隨機參數(shù)的實時更新過程如圖7 所示.由圖7 可知,隨著陀螺儀監(jiān)測數(shù)據(jù)獲取的增加,模型中隨機參數(shù)不斷實時更新,并趨于穩(wěn)定狀態(tài),這表明隨機參數(shù)的估計值越來越接近真實的模型參數(shù)值.

圖7 陀螺儀退化模型隨機參數(shù)的實時更新過程Fig.7 Real-time updating process of random parameters of gyroscope degradation model

下面選擇第152.5 h～175 h 之間的10 個時間點為例,比較分析所使用四種方法對該型號陀螺儀RUL 預(yù)測的精準(zhǔn)程度.在所選的10 個時間點,四種方法預(yù)測該型號陀螺儀RUL 的PDF 如圖8 所示.由圖8 可知: 1)四種方法預(yù)測得到RUL 的PDF在10 個時間點都能夠比較好地覆蓋真實的RUL,說明了四種方法能夠有效地預(yù)測該型號陀螺儀的RUL.2)隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的增加,參數(shù)不斷實時更新,四種方法預(yù)測RUL 的PDF 隨著時間變得越來越尖、越來越窄,說明四種方法對RUL 預(yù)測的不確定度隨著監(jiān)測數(shù)據(jù)的累積而不斷減小.3)本文方法得到RUL 的PDF 與其他三種方法相比較,其RUL的PDF 明顯更高、更緊致,說明本文方法預(yù)測得到的RUL 更準(zhǔn)確,并且預(yù)測的不確定度更小.其原因是,相比于模型1 和模型2 單一的馬爾科夫建模方式,本文方法不僅考慮了陀螺儀內(nèi)部不同類型的隨機退化過程,還考慮了退化監(jiān)測數(shù)據(jù)之間的長期相關(guān)性、記憶性,克服了模型1 和模型2 中的強馬爾科夫限制.相比于模型3,本文方法考慮了設(shè)備的退化混合性,更符合設(shè)備真實的退化過程.

圖8 在不同時間點處四種方法預(yù)測RUL 的PDF 對比Fig.8 Comparison of RUL＇s PDFs by four prediction methods at each time

進一步通過計算,得到四種方法在10 個時間點的TMSE 分別為 1.8154×102、2.6321×102、3.6543×102、2.1031×102.可知,本文方法的RUL 預(yù)測精度高于其他三種方法.

5 結(jié)束語

本文針對隨機退化設(shè)備,提出一種考慮隨機退化過程中退化狀態(tài)之間可能存在長期相關(guān)性、記憶性特點的混合隨機退化模型,克服了目前研究中潛在的假設(shè): 1)假設(shè)設(shè)備的隨機退化過程為單一的線性或非線性形式,忽略了設(shè)備內(nèi)部的多種類型退化過程分別對RUL 預(yù)測的影響;2)將設(shè)備的隨機退化過程簡化成無記憶效應(yīng)的馬爾科夫過程,受到強馬爾科夫性的限制.最后,通過本文方法實現(xiàn)了隨機退化設(shè)備的RUL 壽命自適應(yīng)預(yù)測,且預(yù)測精度高于同等條件下傳統(tǒng)模型的預(yù)測精度.主要結(jié)論有一下3 點:

1)基于FBM 的混合隨機退化模型,能夠更為準(zhǔn)確、合理地描述設(shè)備隨機退化過程中可能含有的記憶效應(yīng).通過實例驗證和與傳統(tǒng)的建模方法比較,其RUL 預(yù)測結(jié)果更加精確、不確定性更小;

2)本文采用的參數(shù)估計方法有效地利用了設(shè)備的歷史退化信息和實時監(jiān)測信息,從而更加準(zhǔn)確地實現(xiàn)了設(shè)備RUL 的實時預(yù)測.

綜上所述,本文提出的基于FBM 的混合隨機退化模型對隨機退化設(shè)備建模更為合理與準(zhǔn)確,并且RUL 預(yù)測結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)方法,具有一定的工程實用價值.下一步的研究方向為如何對預(yù)測模型中共性參數(shù)進行自適應(yīng)更新.

附錄A 定理1 的證明

基于弱收斂理論,可以將模型(1)轉(zhuǎn)換成式(37).文獻[27]指出,時間重新縮放的FBM 保持零均值高斯過程,然后在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下給出了相應(yīng)RUL 分布的近似表達式[13].具體來說,考慮以下退化模型:

假設(shè)失效閾值為ω,則第m個設(shè)備在tk時刻RUL 的PDF 如下:

定理1 的具體使用方法見文獻[13].

附錄B 定理2 的證明

根據(jù)式(14),可得:

將式(B4)、式(B5)代入式(B3),可得: