具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)分析與應(yīng)用

劉青松 習(xí)曉苗 柴 利

在過去的幾十年中,隨著多智能體系統(tǒng)的興起[1-3],社會(huì)網(wǎng)絡(luò)引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,涌現(xiàn)了許多研究成果[4].例如,Ghaderi 等[5]研究了具有固執(zhí)個(gè)體的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)觀點(diǎn)的收斂性,給出了觀點(diǎn)收斂時(shí)間的上界和下界.Xia 等[6]分析了具有偏見同化的非線性觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性.Liu 等[7]提出一種觀點(diǎn)擴(kuò)散模型,描述了雙層連通網(wǎng)絡(luò)的觀點(diǎn)擴(kuò)散過程,探討了在所有持有相同觀點(diǎn)的耦合主體下,兩種觀點(diǎn)在三種類型的兩層互連網(wǎng)絡(luò)中的傳播.針對(duì)強(qiáng)連通的社會(huì)網(wǎng)絡(luò),Ye 等[8]研究了表達(dá)觀點(diǎn)和私人觀點(diǎn)之間的差異,且給出了網(wǎng)絡(luò)上保證意見指數(shù)快速收斂到極限的一般條件.針對(duì)擬強(qiáng)連通社會(huì)網(wǎng)絡(luò),劉青松等[9]研究了多維觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行為,給出了表達(dá)和私人觀點(diǎn)收斂的充分條件.Hou 等[10]分析了具有有界置信的表達(dá)觀點(diǎn)和私人觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行為,給出了最終聚類數(shù)主要由封閉個(gè)體率決定的結(jié)論.

近年來,學(xué)者們針對(duì)多自主體系統(tǒng)進(jìn)行研究[11-14],提出了一些經(jīng)典觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,促進(jìn)了社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的深入研究.20 世紀(jì)50 年代,社會(huì)心理學(xué)家French[15]提出基于個(gè)體的觀點(diǎn)形成模型.1974 年,DeGroot[16]提出基于個(gè)體加權(quán)平均的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,即后來的DeGroot 模型.通過針對(duì)每個(gè)個(gè)體引入偏差,將DeGroot 模型推廣到非線性觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型[6].另一方面,通過引入個(gè)體對(duì)自身初始觀點(diǎn)的固執(zhí),文獻(xiàn)[17] 提出Friedkin-Johnsen模型.之后,Parsegov 等[18]將Friedkin-Johnsen 模型推廣到了多維觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型.Tian 等[19]研究了問題序列上的Friedkin-Johnsen 觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,給出了問題序列上觀點(diǎn)達(dá)到一致的充要條件.在考慮每次觀點(diǎn)更新過程中,隨機(jī)選取一對(duì)個(gè)體進(jìn)行觀點(diǎn)交流,Deffuant 等[20]提出Deffuant-Weisbuch 模型.隨后,通過兩種不同的方法推廣了Deffuant-Weisbuch 模型[21],驗(yàn)證了觀點(diǎn)幾乎必然達(dá)到一致.最近,Dong 等[22]研究了基于領(lǐng)導(dǎo)概念的觀點(diǎn)動(dòng)態(tài)共識(shí)構(gòu)建過程,Mei 等[23]提出基于評(píng)價(jià)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)過程模型.

上述觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型是線性模型,經(jīng)典的Hegselmann-Krause 模型[24]是非線性模型,描述了每個(gè)個(gè)體只與其置信閾值內(nèi)的鄰居進(jìn)行觀點(diǎn)交互.與Deffuant-Weisbuch 模型[20]相比,Hegselmann-Krause模型每次進(jìn)行觀點(diǎn)交流的個(gè)體的數(shù)量更多,因而交流效率更高,觀點(diǎn)能夠更快地收斂或者達(dá)成一致.在實(shí)際應(yīng)用方面,Hegselmann-Krause 觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型可應(yīng)用于機(jī)器人平面、空間交會(huì)問題[25]和社會(huì)心理學(xué)中“權(quán)威效應(yīng)”[26]等方面的研究.故研究Hegselmann-Krause 或有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,具有重要應(yīng)用價(jià)值和意義.

近年來,國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)有界置信模型進(jìn)行了較為深入的研究[27],例如Canuto 等[28]通過歐拉方法,研究了基于有界置信模型的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一致性問題.通過考慮噪聲環(huán)境,Su 等[29]提出了具有噪聲的有界置信模型,展示了隨機(jī)噪聲如何顯著地影響同步的觀點(diǎn),給出了觀點(diǎn)達(dá)成擬一致的充分條件.基于改進(jìn)的有界置信模型,針對(duì)初始觀點(diǎn)分布,Yang等[30]給出了觀點(diǎn)收斂到一個(gè)聚類的充分條件.通過正規(guī)化交流權(quán)重的凸性和Gronwall-Halanay 型不等式,Haskovec[31]研究了具有時(shí)滯的有界置信模型的漸近一致性問題.基于離散異構(gòu)的有界置信模型,Vasca 等[32]提出了一種基于非影響相似度區(qū)間的個(gè)體置信閾值自適應(yīng)策略,分析了有限時(shí)間的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)行為.

鑒于上述對(duì)有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀的分析,目前主要存在以下三個(gè)問題: 1)在改進(jìn)的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型中,鄰居對(duì)個(gè)體的影響力與其觀點(diǎn)差異值成正比,與實(shí)際情景存在一定的差距[28];2)現(xiàn)有文獻(xiàn)主要是采用仿真方法研究改進(jìn)的有界置信模型,缺乏較為完整的理論研究框架[27];3)現(xiàn)有的有界置信模型研究中,較少研究觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型的應(yīng)用[32],例如考慮建立的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型在社會(huì)心理學(xué)中的應(yīng)用.此外,根據(jù)社會(huì)心理學(xué)中的認(rèn)知理論可知[33],由于不同個(gè)體社會(huì)背景和認(rèn)知能力不一樣,不同鄰居對(duì)個(gè)體產(chǎn)生的影響就會(huì)不一樣[33];個(gè)體與鄰居的觀點(diǎn)差異值越大,鄰居對(duì)其影響應(yīng)該越小[34].

為了克服上述問題,本文提出具有類萬有引力的有界置信模型,并分析了觀點(diǎn)的演化問題.本文的主要貢獻(xiàn)如下:

1)提出了新的具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型.解決了Canuto 等[28]模型中個(gè)體的影響力與其觀點(diǎn)差異值成正比這一不符合實(shí)際情景的社會(huì)現(xiàn)象,并考慮了個(gè)體的權(quán)威性;

2)在理論上給出了觀點(diǎn)收斂的充分條件且分析了基于衰減置信閾值的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,完善了Chen 等[27]的理論研究?jī)?nèi)容;

3)應(yīng)用本文提出的具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,研究了社會(huì)心理學(xué)中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”[35],填補(bǔ)了Vasca 等[32]缺乏的應(yīng)用研究;

4)得到了鄰居的權(quán)威性和正態(tài)分布的初始觀點(diǎn)都有利于觀點(diǎn)達(dá)成一致,這一重要結(jié)論.

1 問題描述

首先,回顧經(jīng)典的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型[24]:

式中,i∈V={1,2,···,n},xi(k)表示個(gè)體i的觀點(diǎn)值.Ni=N(i,x(k))={j ∈V||xj(k)-xi(k)|≤ε}表示個(gè)體i所有鄰居的集合,|Ni|表示個(gè)體i的鄰居數(shù)目,其中ε為置信度閾值.

式中,社會(huì)影響權(quán)重wij(k)為:

由于社會(huì)影響權(quán)重wij(k)中:

是受萬有引力表達(dá)式的啟發(fā)[27],故稱觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)為具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型.

眾所周知,萬有引力的大小與物體的質(zhì)量以及兩個(gè)物體之間的距離有關(guān).物體的質(zhì)量越大,它們之間的萬有引力就越大;物體之間的距離越遠(yuǎn),它們之間的萬有引力越小.根據(jù)社會(huì)心理學(xué)中的認(rèn)知理論可知[33],個(gè)體權(quán)威性或者社會(huì)話語(yǔ)權(quán)越大,其影響力(權(quán)重)越大;個(gè)體與鄰居的觀點(diǎn)差異值越大,鄰居對(duì)其影響應(yīng)該越小[34].根據(jù)上述關(guān)系,將萬有引力與影響力對(duì)應(yīng),物體的質(zhì)量與個(gè)體權(quán)威性對(duì)應(yīng),物體之間的距離與觀點(diǎn)差異值對(duì)應(yīng).另一方面,類似于經(jīng)典的Hegselmann-Krause 模型,保證權(quán)重在[0,1]之間,故引入 tanh(·)函數(shù)給予保證.綜上所述,便可得到權(quán)重式(4).此外,在本文的第4 節(jié)中,應(yīng)用所提出的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型研究社會(huì)心理學(xué)中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”.從應(yīng)用結(jié)果可進(jìn)一步地說明權(quán)重式(4)的合理性.

事實(shí)上,dij描述了個(gè)體j與個(gè)體i觀點(diǎn)值越接近,彼此間的影響也就越大.此外,|Nj|描述了個(gè)體i的鄰居j的權(quán)威性或者社會(huì)話語(yǔ)權(quán)[27].從而本文提出的模型也很好地描述了,在一個(gè)社會(huì)中,擁有大量人脈資源的人享有更多的話語(yǔ)權(quán),對(duì)他人的社會(huì)影響也就更大.注意到,如果dij=1,則具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)退化成經(jīng)典Hegselmann-Krause 模型(1).事實(shí)上,dij(k)是一個(gè)關(guān)于個(gè)體j鄰居的個(gè)數(shù)N(j,x(k))和個(gè)體i與個(gè)體j觀點(diǎn)值之差xj(k)-xi(k)的函數(shù).易知個(gè)體j的鄰居數(shù)越多,與個(gè)體i的觀點(diǎn)值相差越小,則其對(duì)個(gè)體i的差異影響權(quán)重越大,其函數(shù)關(guān)系見圖1.

圖1 dij(k)關(guān)于 |Nj|和 xj(k)-xi(k)的函數(shù)圖Fig.1 The trajectories of dij(k)with respect to |Nj|and xj(k)-xi(k)

根據(jù)本文提出的具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)可知,個(gè)體j對(duì)個(gè)體i的影響由wij(k)(xj(k)-xi(k))所決定,其函數(shù)關(guān)系見圖2.由圖2 可知,當(dāng)xj(k)-xi(k)一定時(shí),個(gè)體j的鄰居數(shù)N(j,x(k))越多,其對(duì)個(gè)體i的影響越大.當(dāng)個(gè)體j的鄰居數(shù)N(j,x(k))一定時(shí),個(gè)體j與個(gè)體i的觀點(diǎn)值之差xj(k)-xi(k)越大,個(gè)體i的觀點(diǎn)值受到個(gè)體j的影響先增大后減小.因此,要想某個(gè)體能對(duì)指定個(gè)體施加更大的影響,需要折中進(jìn)行考慮.

圖2 個(gè)體 j 對(duì)個(gè)體 i 觀點(diǎn)的影響Fig.2 The influence of individual j on the opinion of individual i

本文主要研究具有類萬有引力的有界置信模型(2)的觀點(diǎn)演化問題,給出了觀點(diǎn)收斂的充分條件,并將所提出的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型應(yīng)用到社會(huì)心理學(xué)中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”.

2 收斂性分析

本節(jié)將分析具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)的收斂性.

定義 1.在觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)中,對(duì)任意個(gè)體i ∈V的初始觀點(diǎn)值xi(0),如果存在R,使得:

則稱模型(2)收斂.特別地,如果存在定常數(shù)α∈R,使得:

則稱觀點(diǎn)達(dá)成一致.

定理 1.對(duì)于任意觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V,觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)收斂.

證明.模型(2)可重寫為:

模型(5)可進(jìn)一步寫為:

式中,置信矩陣A(k,x(k))的元素aij(k)為:

即A(k,x(k))的對(duì)角線元素大于0.

另一方面,當(dāng)個(gè)體j與個(gè)體i的觀點(diǎn)值之差大于置信閾值時(shí)即j∈/Ni,則wij(k)=0.類似地,i∈/Nj,則wji(k)=0.因此,aij(k)=0 當(dāng)且僅當(dāng)aji(k)=0,?i,j ∈V.此外,易知A(k,x(k))中一直存在正元素,即存在δ >0,使得A(k,x(k))的最小正元素大于δ.

綜上所述,矩陣A(k,x(k))滿足文獻(xiàn)[36]給出模型收斂的充分條件,從而模型(6)收斂.故觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)收斂.

根據(jù)定理1,可得下列推論.

推論 1.對(duì)于任意觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V,如果觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(6)在經(jīng)過kτ次演化后觀點(diǎn)達(dá)成一致,則置信矩陣A(k,x(k))=(1/n)1n,k ≥kτ,其中1n=[1,1,···, 1]T.

證明.如果觀點(diǎn)經(jīng)過kτ次演化后達(dá)成一致,即|xi(k)-xj(k)|→0,?i,j ∈V,k ≥kτ且Ni=Nj=n,則:

由式(3)可得:

進(jìn)一步地,根據(jù)式(7)可知,aij=1/n,k ≥kτ.

為了得到進(jìn)一步的結(jié)果,令:

推論 2.考慮觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2),對(duì)于任意觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V.如果置信閾值ε=1 且:

證明.由于置信閾值ε=1,則所有個(gè)體均可交流,即 |Ni|=n.由觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)可知:

注意到,鄰居j對(duì)個(gè)體i的影響為wij(k)(xj(k)-xi(k)),類似地,鄰居i對(duì)個(gè)體j的影響為wji(k)(xi(k)-xj(k)),然而,wij(k)=wji(k).易得:(k)(xj(k)-xi(k))+wji(k)(xi(k)-xj(k))=0則式(9)可退化為:

第2 節(jié)主要考慮的是置信閾值不變的情況.事實(shí)上,觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型可看作一個(gè)談判的過程模型.一方面,個(gè)體期望它的鄰居在每一輪談判中顯著地向它的觀點(diǎn)靠攏,以便繼續(xù)談判,衰減置信閾值可描述這一情景[37];另一方面,具有衰減置信閾值的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型可應(yīng)用于研究圖中的社區(qū)檢測(cè)[37]和社會(huì)心理學(xué)中的“非零和效應(yīng)”.故第3 節(jié)將分析基于衰減置信閾值的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型.此外,本文將利用建立的具有衰減置信閾值的Hegselmann-Krause 觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型研究社會(huì)心理學(xué)中的“非零和效應(yīng)” (見第4.2 節(jié)).

3 衰減的置信閾值

為了描述個(gè)體在談判的過程中,個(gè)體期望它的鄰居在每一輪談判中顯著地向它的觀點(diǎn)靠攏,以便繼續(xù)談判.本節(jié)考慮下列具有衰減置信閾值的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型:

式中,R>0 和 0<ρ≤1.

定理 2.考慮觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(10),對(duì)于任意觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V,觀點(diǎn)xi(k),i ∈V是收斂的.進(jìn)一步地,令xi?表示個(gè)體i的最終觀點(diǎn)值,對(duì)于所有的k∈V,則:

證明.根據(jù)式(10),有:

由式(12),可得:

令?k,τ=0,1,···,則由式(14)可知:

因此:

式中,ρ∈(0,1).易知序列xi(k),k=0,1,···是一個(gè)Cauchy 序列,故其收斂.通過令式(15)中的τ→∞,則可得式(13).

類似于觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2),如果置信度閾值ε=1且式(11)退化為式(8).則觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(10)具有和推論2 一樣的結(jié)論.

4 觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型的應(yīng)用

4.1 權(quán)威效應(yīng)

本節(jié)將利用本文提出的具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2),研究普遍存在的社會(huì)心理學(xué)現(xiàn)象: 權(quán)威效應(yīng).所謂權(quán)威效應(yīng)是指一個(gè)人要是地位高、有威信、受人敬重,那他所說的話及所做的事就容易引起別人重視,并讓他們相信其正確性.權(quán)威效應(yīng)的普遍存在,一方面是由于人們總認(rèn)為權(quán)威人物往往是正確的楷模,服從他們會(huì)使自己具備安全感,增加不會(huì)出錯(cuò)的保險(xiǎn)系數(shù);另一方面,由于人們總認(rèn)為權(quán)威人物的要求往往和社會(huì)規(guī)范相一致,按照權(quán)威人物的要求去做,會(huì)得到各方面的贊許和獎(jiǎng)勵(lì).在現(xiàn)實(shí)生活中,有很多利用權(quán)威效應(yīng)的例子,比如做廣告時(shí)請(qǐng)權(quán)威人物贊譽(yù)某種產(chǎn)品,在辯論說理時(shí)引用權(quán)威人物的話作為論據(jù)等.在人際交往中,利用權(quán)威效應(yīng),能夠引導(dǎo)或改變對(duì)方的觀點(diǎn)和行為.

考慮由10 個(gè)個(gè)體組成的社會(huì)網(wǎng)絡(luò),設(shè)初始觀點(diǎn)值為:

置信閾值ε=0.2.根據(jù)初始觀點(diǎn)值和置信閾值可得初始時(shí)刻個(gè)體之間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),如圖3 所示(圖中自環(huán)未畫出).易知個(gè)體4 具有8 個(gè)鄰居即|N4|=8,具有最大的權(quán)威性或者話語(yǔ)權(quán).

圖3 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) (個(gè)體4 為權(quán)威個(gè)體)Fig.3 Network structure (individual 4 is the authoritative individual)

當(dāng)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)中wij為式(8)時(shí),即不考慮鄰居的權(quán)威性,其觀點(diǎn)演化曲線如圖4(a)所示,其中形成兩簇的最終觀點(diǎn)值分別為 0.51 和 0.21.當(dāng)觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)中wij為式(3)時(shí),即考慮鄰居的權(quán)威性,其觀點(diǎn)演化曲線如圖4(b)所示,其中形成兩簇的最終觀點(diǎn)值分別為 0.46 和 0.24.出現(xiàn)這一現(xiàn)象是由于受到了權(quán)威者個(gè)體4 的影響 (圖4 中虛線為個(gè)體4 的觀點(diǎn)曲線),兩簇觀點(diǎn)都向個(gè)體4 的觀點(diǎn)值靠近.

圖4 權(quán)威效應(yīng) (個(gè)體4 為權(quán)威個(gè)體)Fig.4 Authority effect (individual 4 is the authoritative individual)

為了說明初始條件的客觀性,可隨機(jī)選取一個(gè)個(gè)體為權(quán)威個(gè)體,不失一般性地,選取個(gè)體5 為權(quán)威個(gè)體,個(gè)體初始觀點(diǎn)值可設(shè)為x(0)=[0.25,0.25,0.32,0.45,0.5,0.7,0.7,0.7,0.7,0.8]T,其網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D如圖5 所示.易知,個(gè)體5 具有7 個(gè)鄰居即 |N5|=7.類似地,其觀點(diǎn)演化曲線如圖6 所示,可以看出,由于受到權(quán)威個(gè)體5 的影響 (圖6 中虛線為個(gè)體5 的觀點(diǎn)曲線),兩簇觀點(diǎn)都向個(gè)體5 的觀點(diǎn)值靠近.

圖5 網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) (個(gè)體5 為權(quán)威個(gè)體)Fig.5 Network structure (individual 5 is the authoritative individual)

圖6 權(quán)威效應(yīng) (個(gè)體5 為權(quán)威個(gè)體)Fig.6 Authority effect (individual 5 is the authoritative individual)

4.2 非零和效應(yīng)

本節(jié)將利用本文建立的具有衰減置信閾值的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(10),研究社會(huì)心理學(xué)中“非零和效應(yīng)”.“非零和效應(yīng)”是一種合作下的博弈,博弈中做一定的讓步,雙方的收益或損失的總和不是零,觀點(diǎn)達(dá)成一致,談判便可成功[35].另一方面,衰減置信閾值可描述個(gè)體期望它的鄰居在每一輪談判中顯著地向它的觀點(diǎn)靠攏,以便繼續(xù)談判.

為了利用本文提出的模型(10)研究社會(huì)心理學(xué)中“非零和效應(yīng)”,令R=0.8,ρ=0.7,當(dāng)個(gè)體觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V均勻分布時(shí),觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(10)的仿真結(jié)果如圖7(a)所示,觀點(diǎn)達(dá)到了一致,說明談判取得成功,實(shí)現(xiàn)了“非零和效應(yīng)”.當(dāng)個(gè)體觀點(diǎn)初值x(0)∈[0,1]n正態(tài)分布時(shí),其結(jié)果如圖7(b)所示,觀點(diǎn)達(dá)到一致性的速度比個(gè)體觀點(diǎn)初值均勻分布情況快,說明談判過程中,當(dāng)持中立觀點(diǎn)的人較多時(shí),談判取得成功的時(shí)間更少.

圖7 非零和效應(yīng)Fig.7 Sum non-zero effect

5 仿真分析

5.1 基于固定置信閾值的模型仿真分析

本節(jié)將通過仿真分析本文所得到的理論結(jié)果.設(shè)群體總個(gè)體數(shù)n=50,置信度閾值ε=0.3,觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V均勻分布.將改進(jìn)的Hegselmann-Krause 觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型[32]與本文提出的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)進(jìn)行對(duì)比,其觀點(diǎn)演化曲線分別如圖8(a)和圖8(b)所示,可以看出,在改進(jìn)的Hegselmann-Krause 模型[32]中,觀點(diǎn)形成擬一致.有趣的是在具有類萬有引力的有界置信模型(2)中,觀點(diǎn)則出現(xiàn)兩極分化.這是因?yàn)樵谖墨I(xiàn)[32]改進(jìn)的Hegselmann-Krause 模型中,觀點(diǎn)相似的個(gè)體不再進(jìn)行交互,而本文提出的具有類萬有引力的有界置信模型(2)中,考慮了影響權(quán)重的互異性.

圖8 初值為均勻分布時(shí)的觀點(diǎn)演化Fig.8 Opinion evolution when the initial value is uniformly distributed

當(dāng)在具有類萬有引力的有界置信模型(2)中不考慮個(gè)體權(quán)威性時(shí)即 |Nj|=1,其觀點(diǎn)演化曲線如圖8(c)所示,觀點(diǎn)仍然達(dá)到兩極分化,但其觀點(diǎn)形成兩極分化的速度比圖8(b)的慢,說明權(quán)威個(gè)體有利觀點(diǎn)的演化速度.

為了描述觀點(diǎn)演化過程中所有觀點(diǎn)的相對(duì)變化,定義變量:

其曲線如圖8(d)所示.可以看出,在文獻(xiàn)[32]改進(jìn)的Hegselmann-Krause 模型中,觀點(diǎn)相對(duì)變化較大,而在具有類萬有引力的有界置信模型(2)中,觀點(diǎn)相對(duì)變化較小;另一方面,在不考慮權(quán)威個(gè)體的模型(2)中,觀點(diǎn)相對(duì)變化最小,但觀點(diǎn)收斂速度最慢.特別地,如果η(k)=0,則群體觀點(diǎn)收斂.

在現(xiàn)實(shí)生活中,針對(duì)一些(如不感興趣的)話題,大多數(shù)人的觀點(diǎn)比較趨于中立,而只有少部分人的觀點(diǎn)比較極端.為此,設(shè)個(gè)體觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V為正態(tài)分布.將改進(jìn)的Hegselmann-Krause 模型與本文建立的有界置信模型(2)進(jìn)行比較,其觀點(diǎn)曲線如圖9(a)和圖9(b)所示.可以看出,基于有界置信模型(2)的觀點(diǎn)達(dá)到一致,而基于改進(jìn)的Hegselmann-Krause 模型的觀點(diǎn)不收斂,這是因?yàn)楦倪M(jìn)的Hegselmann-Krause 模型中,觀點(diǎn)相似的個(gè)體不再進(jìn)行交互.

圖9 初值為正態(tài)分布時(shí)的觀點(diǎn)演化Fig.9 Opinion evolution when the initial value is normally distributed

當(dāng)具有類萬有引力的有界置信模型(2)不考慮個(gè)體權(quán)威性時(shí)即 |Nj|=1,其觀點(diǎn)曲線如圖9(c)所示,可以看出,基于觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(2)的觀點(diǎn)達(dá)到一致速度較慢.根據(jù)η(k)的定義和圖9(d)可知,基于改進(jìn)的Hegselmann-Krause 模型的觀點(diǎn)相對(duì)變化最大.

5.2 基于衰減置信閾值的模型仿真分析

本節(jié)將對(duì)具有衰減置信閾值的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(10)進(jìn)行仿真分析.設(shè)R=0.3,ρ=0.7 和n=50,當(dāng)觀點(diǎn)初值xi(0)∈[0,1],i ∈V均勻分布時(shí),觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型(10)形成了3 個(gè)均勻的觀點(diǎn)簇,仿真結(jié)果如圖10(a)所示.當(dāng)觀點(diǎn)初值x(0)∈[0,1]n正態(tài)分布時(shí),其結(jié)果如圖10(b)所示,形成了4 個(gè)觀點(diǎn)簇.總之,基于衰減置信閾值的模型(10)的觀點(diǎn)都是收斂的.

圖10 模型(10)觀點(diǎn)演化Fig.10 Opinion evolution of model (10)

設(shè)Nc表示群體最終觀點(diǎn)簇?cái)?shù),Nm表示群體最大觀點(diǎn)簇中的個(gè)體數(shù)量.在個(gè)體數(shù)n和觀點(diǎn)初值x(0)以及閾值參數(shù)R都固定的情況下,隨著ρ的增大,群體最終觀點(diǎn)簇?cái)?shù)量Nc減少,如圖10(c)所示.由圖10(d)可知,群體最大觀點(diǎn)簇中個(gè)體數(shù)量Nm隨著ρ的增大而增大.特別地,當(dāng)Nc=1 時(shí),則群體觀點(diǎn)達(dá)到一致性.

6 結(jié)束語(yǔ)

本文提出具有類萬有引力的有界置信觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,描述了不同鄰居對(duì)個(gè)體的觀點(diǎn)影響權(quán)重不一樣,且個(gè)體觀點(diǎn)的更新與觀點(diǎn)之間的差值和鄰居的權(quán)威性有關(guān).根據(jù)置信矩陣的性質(zhì)證明了觀點(diǎn)的收斂性,在不考慮鄰居權(quán)威性的條件下,給出了最終觀點(diǎn)平均值的顯式表達(dá)式.在衰減置信閾值的條件下,得到了觀點(diǎn)收斂速率的顯式解.利用本文提出的觀點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,研究了社會(huì)心理學(xué)中的“權(quán)威效應(yīng)”和“非零和效應(yīng)”.仿真分析表明,鄰居的權(quán)威性和正態(tài)分布的初始觀點(diǎn)都有利于觀點(diǎn)達(dá)成一致.