基于改進(jìn)離散方法的截割穩(wěn)定性預(yù)測(cè)分析

謝 苗 朱 昀 劉 杰 任 澤,4 楊志勇,5 劉治翔王 賀 孟慶爽

1.遼寧工程技術(shù)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,阜新,1230002.遼寧省大型工礦裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,阜新,1230003.華能煤炭技術(shù)研究有限公司,北京,1000714.國(guó)家能源集團(tuán)國(guó)際工程咨詢有限公司,北京,1000105.新疆露天礦智能生產(chǎn)與管控重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,昌吉,831100

0 引言

隨著煤礦開采技術(shù)的發(fā)展,人們對(duì)煤礦巷道斷面成形質(zhì)量的要求也逐步提高。懸臂式掘進(jìn)機(jī)作為智能化快速掘進(jìn)的關(guān)鍵設(shè)備,對(duì)其工作的可靠性和穩(wěn)定性也有了更高要求。截割機(jī)理是研究掘進(jìn)機(jī)設(shè)計(jì)與制造的關(guān)鍵,一直是智能化截割的研究熱點(diǎn)[1-2]。侯祥明[3]對(duì)掘進(jìn)機(jī)截割頭的受力進(jìn)行研究,建立了掘進(jìn)機(jī)整機(jī)振動(dòng)方程;李曉豁[4]基于拉格朗日方程建立了整機(jī)動(dòng)力學(xué)模型,提出了截割頭外載荷虛擬激勵(lì)法,研究了截割臂振動(dòng)特性; 魏曉華[5]研究了掘進(jìn)機(jī)擺動(dòng)過程的非線性靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)特性,分析了不同工況下掘進(jìn)機(jī)截割性能; ZHANG等[6]對(duì)沖擊載荷作用下掘進(jìn)機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)力學(xué)特性進(jìn)行了研究;劉治翔等[7]研究了截割頭運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)巷道表面形貌特征的影響,得到了巷道外輪廓的創(chuàng)成機(jī)理;袁曉明等[8]通過仿真與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法,研究了截齒截割角和旋轉(zhuǎn)角對(duì)截割載荷、載荷波動(dòng)和截割比能耗的影響規(guī)律;WANG等[9]利用線性全尺度截割的原始數(shù)據(jù),通過主成分回歸分析方法和嶺回歸分析方法,建立了鎬形齒的平均截割力和峰值截割力模型以及考慮鎬齒磨損的峰值截割力模型;XU等[10]對(duì)截割頭截齒安裝角度與截割角度的轉(zhuǎn)化關(guān)系進(jìn)行研究,并通過數(shù)值仿真的方法研究了截割角度與截割阻力的關(guān)系;LIU等[11]對(duì)截齒工作角度與截割載荷的關(guān)系進(jìn)行研究,獲得了截齒的工作角范圍,并通過數(shù)值模擬方法進(jìn)行了截齒工作角度優(yōu)化;ZHANG等[12]簡(jiǎn)化了擺動(dòng)截割中截割頭的運(yùn)動(dòng),并通過數(shù)值模擬方法研究了截割深度與截割轉(zhuǎn)速對(duì)截割性能的影響,獲得了最優(yōu)截割深度區(qū)間。

懸臂式掘進(jìn)機(jī)的穩(wěn)定工作狀態(tài)是保證它高效可靠運(yùn)行的重要影響因素,而懸臂式掘進(jìn)機(jī)截割過程中,由于受截割頭自身振動(dòng)的影響,截割厚度會(huì)發(fā)生改變,從而誘發(fā)截割過程中動(dòng)態(tài)截割力變化,引起截割顫振。截割顫振對(duì)掘進(jìn)機(jī)的穩(wěn)定狀態(tài)有較大影響,但近年來對(duì)截割頭截割穩(wěn)定性和截割顫振的研究較少。

目前穩(wěn)定性預(yù)測(cè)的方法主要有全離散法、半離散法、數(shù)值積分法等。MANN等[13-14]基于時(shí)間有限元分析(time finite element analysis,TFEA)理論分析了工件加工過程的穩(wěn)定性,并對(duì)其動(dòng)態(tài)加工誤差進(jìn)行了同步預(yù)測(cè);INSPERGER[15]基于半離散法進(jìn)行加工過程的穩(wěn)定性預(yù)測(cè);DING等[16]提出了基于直接積分框架基礎(chǔ)的全離散預(yù)測(cè)方法;LI等[17-18]利用二階半離散法同時(shí)預(yù)測(cè)出顫振穩(wěn)定域和動(dòng)態(tài)加工誤差;LI等[19]分析了歐拉公式動(dòng)力學(xué)方程的離散特性,研究了基于完全離散法的工件加工穩(wěn)定性;LI等[20]對(duì)比完全離散法,提出了基于四階龍格庫塔的加工穩(wěn)定性預(yù)測(cè)方法。但上述半離散方法的計(jì)算精度與計(jì)算效率偏低,全離散方法的計(jì)算精度雖有所提高,但由于狀態(tài)空間方程復(fù)雜,全離散法對(duì)解決現(xiàn)有問題的時(shí)間成本依舊很高。

本文在截齒破巖截割機(jī)理的基礎(chǔ)上,建立了單一截齒截割過程受力模型,推導(dǎo)了截割深度與參與截割截齒數(shù)量的關(guān)系,進(jìn)而構(gòu)建了單個(gè)截齒截割狀態(tài)下的力學(xué)特性方程,并基于煤礦截割和金屬切削領(lǐng)域的相似性,將金屬切削中的刀具顫振模型引入煤礦截割領(lǐng)域進(jìn)行截割頭穩(wěn)定性分析,提出一種基于牛頓-拉格朗日混合插值的改進(jìn)全離散方法。為驗(yàn)證所提出方法的有效性,搭建了截割頭-煤巖系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái),進(jìn)行了截割穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,結(jié)果表明本文提出的牛頓多項(xiàng)式預(yù)測(cè)方法收斂速度快、預(yù)測(cè)精度高、計(jì)算耗時(shí)少,可有效提高截割頭截割可靠性,提高截割后煤巖表面平整性,能夠?yàn)楦咝躅澱窠馗顓?shù)的選擇提供設(shè)計(jì)依據(jù)。

1 截割頭-煤巖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)建

1.1 截齒載荷分析

截齒在楔入煤巖時(shí),受到截割速度前方煤巖的阻力,該力由截割動(dòng)作產(chǎn)生,稱為截割阻力FC;截齒截割時(shí)向下擠壓煤巖,受到煤巖的反力,該力垂直于截割速度方向,由截割部的進(jìn)給動(dòng)作產(chǎn)生,稱為進(jìn)給阻力FN;截齒截割成槽時(shí),兩側(cè)煤巖脆性崩落,同時(shí),截齒受到截槽兩側(cè)的反力,該力垂直于齒尖兩側(cè)分布,稱為側(cè)向阻力FS。處于截割狀態(tài)的截齒受力情況如圖1所示。

圖1 單個(gè)截齒受力Fig.1 Force on single pick

通過截割頭載荷計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式可得懸臂式掘進(jìn)機(jī)在井下煤巷工作時(shí)作用在截割頭上的截割阻力[21]

FC=K1+K2h

(1)

K1=0.25pkKtKsKa+0.1pkST

和錐形截齒受到的阻力

FN=K3FC/h0.4

(2)

K3=2.5(0.15+0.000 56pk)

以及側(cè)向阻力

(3)

其中,h為瞬時(shí)截割厚度;pk為巖石接觸強(qiáng)度,與截割巖石硬度有關(guān);f為巖石普氏硬度系數(shù);Kt為截齒的類型系數(shù),錐形齒為1.5,刀型齒為1;Ks為與截齒形狀相關(guān)的系數(shù);Kts為刀頭形狀系數(shù);K′ts為刀桿分布形式系數(shù);Ktd為刀頭直徑系數(shù);Kb為刀型齒齒間刀刃寬度影響系數(shù),與刀刃寬度b線性相關(guān),Kb=0.92+0.01b;Kas為刀型齒齒面前刃面形狀影響系數(shù),平面取1,橢圓形或尖形取0.95;Ka為截齒截割角影響系數(shù);β為平均截線間距,mm;ST為截齒后刃面磨鈍后在牽引方向的投影面積,mm2;C1、C2、C3為截齒布置系數(shù),順序式時(shí)C1=1.4,C2=0.3,C3=0.15,交叉式時(shí)C1=1.0,C2=0.2,C3=0.1。

截割載荷主要受巖石性質(zhì)參數(shù)、截齒結(jié)構(gòu)和形狀以及截割頭結(jié)構(gòu)以及截割頭工作參數(shù)影響,對(duì)于井下工作的懸臂式掘進(jìn)機(jī),其截齒形狀和截割頭的整體結(jié)構(gòu)都基本固定,對(duì)于同一區(qū)域的煤層,煤層性質(zhì)參數(shù)可視為相對(duì)固定,因此,截割載荷僅與截割厚度h與截割頭工作轉(zhuǎn)速n、截割頭鉆進(jìn)速度vs有關(guān)。

1.2 截割頭載荷分析

圖2 截割頭載荷Fig.2 Cutting head load

截割頭上第i個(gè)截齒三向分力分別為

(4)

式中,φi為截齒所在的位置角,(°)。

由于截割頭整體載荷大小與參與截割的截齒數(shù)緊密相關(guān),截割齒數(shù)又因截割頭鉆進(jìn)深度、截割頭工作狀態(tài)的不同而發(fā)生改變,因此通過對(duì)截割頭形貌的實(shí)際測(cè)量能夠獲得截割深度和參與截割截齒數(shù)量的關(guān)系。假設(shè)截割頭深度為hd,截割頭參與截割的工作齒數(shù)為z,以國(guó)產(chǎn)EBZ160型懸臂式掘進(jìn)機(jī)為例,其截割頭長(zhǎng)度為975 mm,根據(jù)截割頭截齒位置設(shè)計(jì)參數(shù)得到截割頭截割深度與參與截割的齒數(shù)關(guān)系如表1所示。

表1 截割深度與截割齒數(shù)關(guān)系

采用最小二乘法擬合的方式對(duì)截割深度與截割頭工作齒數(shù)進(jìn)行擬合,可得到在水平擺動(dòng)或者垂直擺動(dòng)工況下,工作區(qū)截割齒數(shù)與截割頭截割深度的函數(shù)關(guān)系式。由于截割頭齒數(shù)必須為整數(shù),而函數(shù)擬合結(jié)果可能為小數(shù),故對(duì)z=f(hd)向下取整:

(5)

通過最小二乘法擬合的截割深度與截割齒數(shù)關(guān)系與測(cè)量數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖3所示,圖中柱狀圖為擬合值與測(cè)量值的誤差絕對(duì)值,從中能夠看出擬合數(shù)據(jù)與測(cè)量數(shù)據(jù)存在一定誤差,但整體偏差不大。通過R2方法對(duì)擬合效果進(jìn)行評(píng)估,計(jì)算所得R2=0.995,說明整體擬合效果較好,能滿足使用要求。

圖3 截割深度與截割齒數(shù)擬合曲線Fig.3 Fitted curve of cutting depth and number of cutting teeth

同時(shí),截割頭截割齒數(shù)還與截割頭工作狀態(tài)有關(guān),通過下式表示:

(6)

其中,N為各工作狀態(tài)下截割區(qū)內(nèi)的截割齒數(shù),如圖4所示。

圖4 截割頭各工作狀態(tài)截割齒數(shù)Fig.4 Number of cutting teeth for each working state of cutting head

基于力線平移理論,對(duì)同一時(shí)刻位于截割區(qū)內(nèi)的截齒受力進(jìn)行矢量求和,得到截割頭垂直方向、水平方向、軸向方向上的三向力,其中,截割頭沿?cái)[動(dòng)方向橫切阻力為

(7)

截割頭垂直方向載荷為

(8)

截割頭鉆進(jìn)阻力為

(9)

1.3 截割頭動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)建

假設(shè)懸臂式掘進(jìn)機(jī)的截割頭振動(dòng)幅值在彈性變形范圍內(nèi),則可根據(jù)疊加原理,將截割頭的振動(dòng)視為Fx、Fy、Fz三方向軸向力單獨(dú)作用的疊加。由此,將截割頭簡(jiǎn)化為三自由度系統(tǒng),建立煤巖截割過程的截割頭系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,如圖5所示。

圖5 截割頭系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Dynamic model of cutting head system

截割頭截割運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程表示為

(10)

F(h,t)=[F1F2F3]T

(11)

式中,M、C、K分別為截割頭的模態(tài)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣;mx、my、mz、ζx、ζy、ζz、ωnx、ωny、ωnz分別為x、y、z方向的模態(tài)質(zhì)量、阻尼比和固有頻率;s(t)為當(dāng)前時(shí)刻刀具振動(dòng)位移;F(h,t)為截割頭受到的截割載荷,與截割厚度與時(shí)間有關(guān)。

截齒角速度φi(t)表達(dá)式為

φi(t)=(2πn/60)t+(i-1)2π/z

(12)

判斷截齒是否參與截割的函數(shù)為

(13)

式中,ωin為第i個(gè)截齒開始截割位置;ωout為第i個(gè)截齒結(jié)束截割位置。

對(duì)于逆時(shí)針截割,ωin=0,ωout=arccos(1-ae/R);對(duì)于順時(shí)針截割,ωin=arccos(1-ae/R),ωout=π。其中,ae為徑向切深,R為截割頭半徑。

動(dòng)態(tài)截割厚度hi(t)表示為

hi(t)=h0+(si(t-T)-si(t))

(14)

式中,h0為理論截割厚度;si(t)、si(t-T)分別為當(dāng)前t時(shí)刻的截齒動(dòng)態(tài)位移和超前一個(gè)周期對(duì)應(yīng)時(shí)刻(t-T)時(shí)的截齒動(dòng)態(tài)位移,如圖6所示。

圖6 動(dòng)態(tài)截割厚度變化Fig.6 Dynamic cutting thickness change

由于截割厚度的變化僅體現(xiàn)在截割頭截割的X、Y方向,因此動(dòng)態(tài)截割厚度Δh可以通過截齒動(dòng)態(tài)位移表示:

Δh=-Δxsinφi(t)-Δycosφi(t)

(15)

對(duì)式(11)中含hi(t)項(xiàng)進(jìn)行泰勒展開:

(16)

由于動(dòng)態(tài)位移相對(duì)較小,可以忽略不計(jì),故舍去展開式中高次項(xiàng)。

將式(14)～式(16)代入式(11)中,并將其表示成矩陣形式為

(17)

式中,αxx、αxy、αyx、αyy、αzx、αzy分別為隨時(shí)間變化的方向系數(shù)。

令

那么在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)框架下,截割頭動(dòng)力學(xué)方程可以表示為以下時(shí)滯微分方程:

(18)

考慮到截割力模型是線性的,故計(jì)算截割頭再生顫振穩(wěn)定性時(shí)可忽略與動(dòng)態(tài)位移無關(guān)的靜態(tài)量,得到

(19)

2 截割頭-煤巖系統(tǒng)截割穩(wěn)定性預(yù)測(cè)

2.1 基于牛頓-拉格朗日混合插值方法的截割穩(wěn)定性預(yù)測(cè)

令

(20)

將式(19)的動(dòng)力學(xué)方程表示為狀態(tài)空間形式進(jìn)行求解,得

(21)

將周期T劃分為m份(T=mτ),并利用直接積分法對(duì)狀態(tài)空間表達(dá)式進(jìn)行求解,獲得式(21)的響應(yīng):

γ(t)=exp(A0(t-kτ))γ(kτ)+

(22)

當(dāng)時(shí)間t=(k+1)τ時(shí),對(duì)應(yīng)的響應(yīng)γk+1為

(23)

分別采用牛頓插值與拉格朗日插值對(duì)式(23)中的積分項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算,對(duì)式中A(kτ+τ-δ)與B(kτ+τ-δ)項(xiàng)采用一階拉格朗日方法依據(jù)(kτ,(k+1)τ)區(qū)間端點(diǎn)值進(jìn)行插值,對(duì)式中的γ(kτ+τ-δ)項(xiàng),采用三階牛頓插值多項(xiàng)式進(jìn)行近似計(jì)算,對(duì)式中的延時(shí)項(xiàng)γ(kτ+τ-δ-T)采用拉格朗日多項(xiàng)式進(jìn)行插值,通過上述插值,式(23)能夠表示為

(I-Fk1)γk+1=(F0+Fk)γk+Fkp1γk-1+
Fkp2γk-2+Fk1mγk+1-m+Fkmγk-m

(24)

(25)

因此,γk+1可以通過前一時(shí)刻的狀態(tài)響應(yīng)表示,其矩陣形式為

(26)

C11=(I-Fk1)-1(F0+Fk)
Cp1=(I-Fk1)-1Fkp1
Cp2=(I-Fk1)-1Fkp2C1m=(I-Fk1)-1Fk1m
Cm=(I-Fk1)-1Fkm

截割頭狀態(tài)空間表達(dá)式對(duì)應(yīng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ可以通過映射函數(shù)Dk表示,即

(27)

依據(jù)Floquet理論,根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣特征值的模對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行判定:

(28)

2.2 穩(wěn)定性驗(yàn)證與分析

設(shè)定截割系統(tǒng)X、Y、Z方向模態(tài)參數(shù)相同,截割部擺動(dòng)速度vt=0.5 m/s,截割頭轉(zhuǎn)速n=45 r/min,截割的煤巖狀態(tài)為煤巖夾雜,煤巖硬度為4,巖石接觸強(qiáng)度pk為350 MPa[22],設(shè)置截割頭截割深度分別為200 mm、400 mm和800 mm。

對(duì)比改進(jìn)混合離散法、全離散法和半離散法對(duì)本文方法進(jìn)行驗(yàn)證,通過局部離散誤差‖U|-|U0‖對(duì)離散方法的收斂速度進(jìn)行驗(yàn)證[23],其中,|U|表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣特征值的模,|U0|為m=200時(shí)采用二階全離散方法得到的精確值。

首先對(duì)改進(jìn)全離散方法的收斂速度進(jìn)行對(duì)比,計(jì)算得到收斂速度曲線如圖7所示。當(dāng)轉(zhuǎn)速在20 r/min

(a)截割深度為200 mm收斂狀態(tài)

(a)截割深度 (b)相對(duì)誤差圖8 不同預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)精度對(duì)比Fig.8 Comparison of prediction accuracy between different prediction methods

(a)截割寬度100 mm

由圖7可以看出,改進(jìn)全離散方法的初始離散誤差明顯小于其他方法,隨著時(shí)間周期離散數(shù)m的增大,改進(jìn)全離散方法的收斂速度也在一定程度上優(yōu)于全離散法和半離散法。

為了客觀評(píng)估各方法間的收斂速度、預(yù)測(cè)精度,選用均方根誤差(root mean square error, RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行度量,計(jì)算公式如下:

(29)

由式(29)計(jì)算三種深度下各方法的σRMSE并取平均值,最后得到采用全離散法的均方根誤差為0.0945,半離散法的均方根誤差為0.0445,而采用改進(jìn)后的離散方法計(jì)算所得的均方根誤差僅有半離散法的一半,為0.0275,這表明采用改進(jìn)后的離散方法計(jì)算獲得的特征值的模在相同離散數(shù)下更加接近真實(shí)值,客觀地說明了本文方法在收斂速度上相較其他方法更快。

圖8a為不同方法計(jì)算獲得的截割深度葉瓣圖對(duì)比,而圖8b所示為不同方法獲得的截割深度預(yù)測(cè)值與準(zhǔn)確值之間的相對(duì)誤差。由圖8可以明顯看出,隨著切割寬度的變化,每種離散方法的預(yù)測(cè)結(jié)果都有一定的偏差。但對(duì)比不同方法的相對(duì)誤差可以清楚地看到,改進(jìn)的離散方法相較于其他兩種方法的相對(duì)誤差曲線處于較低的水平,表明在計(jì)算精度上具有一定的優(yōu)勢(shì)。

同樣地,采用均方根誤差為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)不同方法間的誤差水平進(jìn)行度量,計(jì)算不同截割寬度下的均方根誤差并取平均值,最后得到的均方根誤差如表2所示?？梢钥闯?通過改進(jìn)離散方法計(jì)算獲得的截割深度均方根誤差相較于全離散方法獲得的截割深度均方根誤差減小了8.9%,表明通過改進(jìn)離散方法獲得的葉瓣圖曲線更為準(zhǔn)確,預(yù)測(cè)精度更高。

表2 不同方法均方根誤差比較

不同方法不同截割寬度下的計(jì)算時(shí)間對(duì)比如圖9所示,可以看出,隨著時(shí)間周期離散數(shù)的增大計(jì)算耗時(shí)明顯增加,而隨著截割寬度的變化,計(jì)算耗時(shí)的變化不明顯。同時(shí)對(duì)比不同計(jì)算方法間的計(jì)算時(shí)間可以得出,采用半離散與改進(jìn)全離散方法的計(jì)算耗時(shí)較為接近,均較全離散方法節(jié)省約1/3的計(jì)算時(shí)間。

從上述分析中能夠看出,隨著截割寬度的變化,各離散方法預(yù)測(cè)結(jié)果均有一定偏差,預(yù)測(cè)效率也各有優(yōu)劣,但在計(jì)算參數(shù)相同條件下,本文提出的改進(jìn)全離散方法預(yù)測(cè)精度更高,預(yù)測(cè)效率更高、預(yù)測(cè)的穩(wěn)定截割邊界更為準(zhǔn)確。分析結(jié)果表明,相較其他離散方法,改進(jìn)全離散法在幾乎不損失計(jì)算精度的情況下提高了截割頭-煤巖系統(tǒng)的顫振分析預(yù)測(cè)效率。

3 截割顫振影響因素分析

由上述分析建立的截割頭-煤巖系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型可知,截割系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的預(yù)測(cè)有一定影響,過大的系統(tǒng)剛度與較大的系統(tǒng)阻尼會(huì)降低截割頭振動(dòng)幅度,加載到煤巖表面會(huì)減緩系統(tǒng)顫振,提高系統(tǒng)穩(wěn)定性,影響斷面成形質(zhì)量。因此,本文通過改變截割系統(tǒng)模態(tài)剛度、固有頻率和阻尼比,研究不同的參數(shù)組合對(duì)截割-煤巖系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

3.1 系統(tǒng)模態(tài)剛度對(duì)顫振穩(wěn)定性的影響

為了分析系統(tǒng)模態(tài)剛度K對(duì)系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性的影響,通過改變模態(tài)質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)模態(tài)剛度進(jìn)行調(diào)整,計(jì)算得到的穩(wěn)定性葉瓣圖見圖10。由圖10可知,截割深度與截割轉(zhuǎn)速間的葉瓣圖趨勢(shì)隨著剛度的增大逐步上移,截割穩(wěn)定性區(qū)域面積隨剛度的增大持續(xù)擴(kuò)大,系統(tǒng)穩(wěn)定性逐步增強(qiáng)。

圖10 不同模態(tài)剛度下截割系統(tǒng)穩(wěn)定性曲線Fig.10 Stability curve of cutting system with different modal stiffness

3.2 系統(tǒng)阻尼比對(duì)顫振穩(wěn)定性的影響

對(duì)阻尼比與截割穩(wěn)定性影響關(guān)系進(jìn)行研究,計(jì)算得到穩(wěn)定性葉瓣圖見圖11。從圖中可以看出,與系統(tǒng)模態(tài)剛度影響趨勢(shì)近似相同,隨著阻尼比的增大截割穩(wěn)定性葉瓣圖向上移動(dòng),系統(tǒng)穩(wěn)定性區(qū)域逐步擴(kuò)大,意味著可以通過提高系統(tǒng)阻尼比對(duì)系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性進(jìn)行改善。

圖11 不同阻尼比下截割系統(tǒng)穩(wěn)定性曲線Fig.11 Stability curve of cutting system with different damping ratio

3.3 系統(tǒng)固有頻率對(duì)顫振穩(wěn)定性的影響

為分析固有頻率對(duì)截割穩(wěn)定性的影響,選用的固有頻率值為209,229,249,269 Hz,計(jì)算得到的穩(wěn)定性葉瓣圖見圖12。由圖12可知,當(dāng)固有頻率增大時(shí),葉瓣圖向左移動(dòng),同時(shí)由于固有頻率對(duì)系統(tǒng)剛度和阻尼的影響,增大固有頻率還會(huì)使葉瓣圖逐步上移,提高相同轉(zhuǎn)速下的極限截割深度。

圖12 不同固有頻率下截割系統(tǒng)穩(wěn)定性曲線Fig.12 Stability curve of cutting system with different natural frequencies

4 截割頭-煤巖系統(tǒng)穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的相似準(zhǔn)則推導(dǎo)

本文提出的顫振預(yù)測(cè)模型通過搭載截割頭-煤巖試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行驗(yàn)證。依據(jù)相似實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)則分別建立截割頭實(shí)驗(yàn)?zāi)M樣機(jī)、實(shí)驗(yàn)?zāi)M煤壁。

在進(jìn)行截割頭實(shí)驗(yàn)?zāi)M樣機(jī)設(shè)計(jì)時(shí),以截割頭主要參數(shù)(包括截割頭幾何參數(shù)與運(yùn)動(dòng)參數(shù))與煤巖性質(zhì)參數(shù)進(jìn)行相似準(zhǔn)則推導(dǎo)。

其中,截割頭結(jié)構(gòu)參數(shù)以長(zhǎng)度L的量綱為基本量綱,在進(jìn)行相似準(zhǔn)則推導(dǎo)時(shí)可以進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化,僅選取一個(gè)參數(shù)進(jìn)行推導(dǎo),本文選用截割頭外徑D進(jìn)行參數(shù)推導(dǎo),具體參數(shù)量綱表如表3所示。

表3 截割頭結(jié)構(gòu)參數(shù)

而截割頭上決定截齒整體布置方法的截齒齒間夾角α、葉片沿螺旋線升角αu、截割頭上方截齒的類型及形狀、單截線上截齒數(shù)量np都是與基本量綱無關(guān)的量綱一參數(shù),在相似準(zhǔn)則推導(dǎo)時(shí)可以看成獨(dú)立π項(xiàng),不參與計(jì)算。

截割頭的運(yùn)動(dòng)參數(shù)則包括截割頭鉆進(jìn)速度vs、截割頭轉(zhuǎn)速n、截割頭截割力F。煤巖性質(zhì)參數(shù)主要包括煤巖密度ρ和抗壓強(qiáng)度σ,具體參數(shù)量綱表如表4所示。

表4 截齒頭運(yùn)動(dòng)參數(shù)與煤巖性質(zhì)參數(shù)及其量綱

從上述分析可知,本相似實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ托枰紤]推導(dǎo)的相似準(zhǔn)則參數(shù)共有6個(gè),分別為截割頭外徑D、截割頭鉆進(jìn)速度vs、截割頭轉(zhuǎn)速n、截割頭截割力F、煤巖密度ρ和抗壓強(qiáng)度σ。而由量綱分析可知,截割頭外徑D、鉆進(jìn)速度vs以及抗壓強(qiáng)度σ能夠?qū)?yīng)掘進(jìn)機(jī)EBZ160的結(jié)構(gòu)、運(yùn)動(dòng)以及煤巖性能參數(shù),同時(shí)包含了三個(gè)基本量綱,因此可以選擇以上三個(gè)參數(shù)作為基本物理量參數(shù),獲得所有6個(gè)參數(shù)的量綱矩陣,如表5所示。

表5 相似實(shí)驗(yàn)樣機(jī)關(guān)鍵參數(shù)的量綱矩陣

基于上述量綱矩陣,進(jìn)行相似準(zhǔn)則推導(dǎo),獲得如下方程組:

(30)

通過上述分析計(jì)算得到所選擇三個(gè)物理量相關(guān)的π矩陣如表6所示。

表6 相似實(shí)驗(yàn)樣機(jī)相關(guān)參數(shù)的π矩陣

由上述推導(dǎo)獲得的π矩陣可以得到各相似準(zhǔn)則參數(shù)對(duì)應(yīng)的指數(shù):

(31)

假設(shè)掘進(jìn)機(jī)EBZ160的原物理量參數(shù)為x,相似實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷哪Ｐ臀锢砹繀?shù)為xm,那么各參數(shù)相似系數(shù)可以表示為Cx=xm/x,根據(jù)相似第一準(zhǔn)則,可以獲得各相關(guān)參數(shù)之間的計(jì)算表達(dá)式如下:

(32)

在建立試驗(yàn)臺(tái)相似模型時(shí),為了方便整體換算,以長(zhǎng)度L為基準(zhǔn)量,設(shè)其相似系數(shù)為Cl=1/Ks,Ks為設(shè)定的相似比例常數(shù)。

設(shè)定煤巖特性參數(shù)的相似性,設(shè)定煤巖密度參數(shù)的相似系數(shù)表示為Cρ=Cσ=1,由此推導(dǎo)出所有相似系數(shù)如下:

(33)

考慮到實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有條件限制與截割實(shí)驗(yàn)相似系數(shù)選取經(jīng)驗(yàn)[24],按照1∶3的相似比建立EBZ160掘進(jìn)機(jī)的相似實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?即取Ks=3,得到相似實(shí)驗(yàn)臺(tái)與實(shí)際工況的參數(shù)對(duì)比如表7所示。

表7 相似實(shí)驗(yàn)臺(tái)與實(shí)際工況參數(shù)對(duì)比

保證截割的幾何參數(shù)保持相對(duì)一致、實(shí)驗(yàn)截割頭的轉(zhuǎn)速滿足實(shí)際掘進(jìn)機(jī)截割轉(zhuǎn)速范圍(69～138 r/min),同時(shí)為了保證相似實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確建立,將截割頭電機(jī)后置,如圖13所示。

圖13 截割頭-煤巖系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)Fig.13 Cutting head-coal rock system test bed

同樣,根據(jù)相似實(shí)驗(yàn)理論建立煤壁的相似實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?選用煤粉、水泥、水進(jìn)行配比,取天然煤巖的抗壓強(qiáng)度為80 MPa[25],考慮到天然煤壁的自身裂隙與節(jié)理特征,最終確定實(shí)驗(yàn)煤巖的抗壓強(qiáng)度為32 MPa。通過改變煤壁模型的原材料制備不同比例下的煤樣試件,如圖14所示。

(a)試件一 (b)試件二 (c)試件三 (d)試件四圖14 煤巖試件Fig.14 Test coal rock sample

最終通過濟(jì)南天辰DW-100A型電子式萬能實(shí)驗(yàn)機(jī)進(jìn)行單軸抗壓實(shí)驗(yàn),確定相似實(shí)驗(yàn)煤壁采用的最終材料配比為1.62∶1∶0.49。

4.2 截割穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證改進(jìn)混合離散預(yù)測(cè)方法在截割顫振中的正確性,進(jìn)行截割頭-煤巖系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn),測(cè)試過程如圖13所示,截割系統(tǒng)測(cè)點(diǎn)布置如圖15所示。表8列出了力錘模態(tài)試驗(yàn)獲得的截割頭模態(tài)參數(shù)。

表8 截割系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)

圖15 截割系統(tǒng)測(cè)點(diǎn)布置Fig.15 Cutting system measuring point layout

為了驗(yàn)證顫振穩(wěn)定域曲線的正確性,進(jìn)行穩(wěn)定截割和顫振截割兩種工況下截割力實(shí)驗(yàn),得到截割力隨時(shí)間變化的曲線及截割頻域曲線如圖16所示。分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,截割顫振發(fā)生時(shí),截割力倍頻增大,顫振信號(hào)多集中于截割力倍頻附近,影響截割頭的穩(wěn)定性。

(a)截割力時(shí)域信號(hào)

基于仿真實(shí)驗(yàn)得到的截割頭模態(tài)系數(shù)及固有頻率,建立顫振穩(wěn)定域曲線。為了驗(yàn)證截割穩(wěn)定性葉瓣圖的正確性,選用一系列截割深度與主軸轉(zhuǎn)速的組合進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,結(jié)果如圖17所示?？梢钥闯?實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本符合穩(wěn)定性預(yù)測(cè)狀態(tài),表明建立的混合離散模型能夠很好地適應(yīng)截割穩(wěn)定性預(yù)測(cè)。

圖17 截割穩(wěn)定性葉瓣圖曲線Fig.17 Cutting stability lobe diagram curve

5 結(jié)論

(1)基于懸臂式掘進(jìn)機(jī)截割頭煤巖多重交互作用機(jī)理,建立了單個(gè)截齒截割載荷模型,并基于實(shí)體三維模型,擬合了截割頭截深與參與截割截齒的函數(shù)表達(dá),基于截割頭載荷與截齒載荷的映射關(guān)系,構(gòu)建了截割頭動(dòng)態(tài)截割狀態(tài)力學(xué)特性方程。

(2)基于Floquet理論,選用基于牛頓-拉格朗日混合插值的改進(jìn)離散方法對(duì)截割動(dòng)力學(xué)方程中的動(dòng)態(tài)顫振力的非齊次項(xiàng)進(jìn)行離散求解,構(gòu)建了表示截割顫振臨界穩(wěn)定性的葉瓣圖曲線并與常用離散方法進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。結(jié)果表明,所提出的改進(jìn)離散方法在收斂速率、預(yù)測(cè)精度和預(yù)測(cè)效率方面均優(yōu)于全離散法和半離散法。

(3)基于改進(jìn)離散方法研究了系統(tǒng)模態(tài)質(zhì)量、剛度和阻尼比對(duì)截割系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,結(jié)果表明,當(dāng)其他系統(tǒng)參數(shù)一定時(shí),提高系統(tǒng)模態(tài)剛度、阻尼比與固有頻率均能有效提高截割系統(tǒng)顫振穩(wěn)定性,為高效弱顫振截割參數(shù)的選擇提供了一種有效方法。

(4)搭建截割頭-煤巖試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行截割頭-煤巖系統(tǒng)截割穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,采用截割頭-煤巖多重交互效應(yīng)與速度效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型以及改進(jìn)混合離散方法獲得的穩(wěn)定性葉瓣圖能夠很好地貼近實(shí)際截割狀態(tài),驗(yàn)證了所建立的改進(jìn)離散方法與動(dòng)力學(xué)模型的有效性。