傳遞誤差對行星齒輪動態(tài)特性的影響

魯文佳，朱麗莎

（肇慶學(xué)院機械與汽車工程學(xué)院，廣東 肇慶 526061）

前 言

行星齒輪系統(tǒng)因其緊湊的結(jié)構(gòu)形式和大傳動比，使之成為變速箱中十分常用且重要的變速裝置.國內(nèi)外學(xué)者針對行星齒輪傳動系統(tǒng)展開了相關(guān)研究.Cao 等[1]通過研究行星齒輪偏心距對系統(tǒng)時變嚙合剛度的影響，建立了考慮齒輪偏心制造誤差下的行星齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型.Mo等[2]考慮了行星齒輪系統(tǒng)嚙合齒隙變化引起的浮動嚙合誤差，建立了考慮位移相容性的兩級外嚙合行星傳動系統(tǒng)齒輪的多體負(fù)荷分配模型，并考慮了浮動軌道的變化規(guī)律和中心輪的浮動量.Zhai等[3]考慮到行星系統(tǒng)的裝配誤差，采用集總參數(shù)法建立了風(fēng)力發(fā)電機齒輪箱螺旋行星齒輪系統(tǒng)的彎扭耦合振動模型并研究了載體水平裝配誤差，載體軸裝配誤差和載體空間裝配誤差對動態(tài)特性的影響.Iglesias 等[4]討論了制造誤差（如偏心距和行星銷定位誤差）對三級行星傳動的準(zhǔn)靜態(tài)特性的影響，揭示了壓力角變化時行星的徑向定位誤差的影響，指出徑向定位誤差在某些操作條件下對載荷分配比具有不可忽略的影響.Sheng等[5]提出了一種具有齒輪間隙和軸承間隙的行星齒輪組非線性橫向扭轉(zhuǎn)耦合模型，分析了太陽輪的支承剛度和偏心誤差，行星的偏心誤差等對系統(tǒng)動態(tài)負(fù)載分擔(dān)特性的影響.CHEN和QIU[6-7]等將時變嚙合剛度以參數(shù)激勵的方式作用于行星齒輪系統(tǒng)，分別研究了齒輪軸向傾翻和嚙合相位對行星齒輪系統(tǒng)接觸特性和動態(tài)特性的影響以及時變嚙合剛度和齒輪速度波動對系統(tǒng)響應(yīng)的影響.BAI和YANG[8-9]等均建立了機電行星齒輪系統(tǒng)耦合動力學(xué)模型，研究了電壓瞬變對機電系統(tǒng)動態(tài)特性的影響和電磁效應(yīng)對行星齒輪箱固有振動特性的影響.YANG和LIU[10-11]均研究在不同載荷條件下，行星齒輪系統(tǒng)誤差對載荷分配行為的影響以及考慮靜態(tài)傳遞誤差下的強迫振動響應(yīng).Hammami等[12]考慮時間變化的負(fù)載條件和齒輪嚙合的接觸的非線性，利用有限元法和赫茲接觸理論對齒輪嚙合剛度進(jìn)行建模，開發(fā)了具有動力再循環(huán)的行星齒輪的扭轉(zhuǎn)集總參數(shù)模型.關(guān)于齒輪系統(tǒng)中嚙合剛度的研究，CHAARI、MA和王奇斌[13-15]等基于能量法建立了齒輪的時變嚙合剛度模型，其中王奇斌[15]基于齒輪嚙合剛度模型考慮傳遞誤差來源，對齒輪傳遞誤差進(jìn)行了研究.

現(xiàn)有關(guān)于行星齒輪的研究或研究偏心誤差，或制造誤差，或裝配誤差等某個方面對行星系統(tǒng)的影響，很少系統(tǒng)揭示綜合傳遞誤差對行星齒輪動態(tài)性能的影響，因此難以具有通用性.本研究擬建立通用性更強的考慮誤差因素的行星齒輪動力學(xué)模型，以載荷激勵的方式建立傳遞誤差內(nèi)激勵數(shù)學(xué)模型，適用于行星多自由度系統(tǒng)并能深入解析內(nèi)外部激勵源對行星齒輪系統(tǒng)產(chǎn)生的不同影響.

1 考慮誤差因素的行星齒輪動力學(xué)模型

考慮行星齒輪系統(tǒng)誤差建立系統(tǒng)的振動參數(shù)化模型如圖1 所示.分別建立OXY固定坐標(biāo)系和Onζnηn隨動坐標(biāo)系.坐標(biāo)系OXY的原點為太陽輪質(zhì)點中心位置O，X軸為O點和第一個行星輪質(zhì)點中心o1的連線；坐標(biāo)系Onζnηn與行星架固聯(lián)并以相同角速度(ωc)轉(zhuǎn)動，原點on位于第n個行星輪的質(zhì)心，坐標(biāo)軸ζn通過on與O所在直線.下角標(biāo)c，r，s分別代表行星架，內(nèi)齒圈和太陽輪.n(n=1,2,...,N)表示第n個行星輪，N代表行星輪的個數(shù).該模型將行星系統(tǒng)不同零部件簡化成相應(yīng)的質(zhì)點，通過系統(tǒng)的位置參數(shù)表示系統(tǒng)各部件的相對位置關(guān)系.分別考慮平面內(nèi)X，Y方向的移動自由度和繞平面的轉(zhuǎn)動自由度，從而建立系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程.

圖1 行星齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型簡化圖

對于太陽輪有：

其中：ms和Is分別代表太陽輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量.rs代表太陽輪的基圓半徑；ksu代表太陽輪與各行星輪之間的嚙合剛度；ksx和ksy代表太陽輪的徑向支承剛度；ksu代表太陽輪的扭轉(zhuǎn)支承剛度；δsn為太陽輪與第n個行星輪在嚙合線方向上的彈性變形.

式中：αs為太陽輪與行星輪之間的嚙合角(ψsn=ψn-αs)，ψn為第n個行星輪的位置角，；esn為太陽輪與行星輪的傳遞誤差.

對于內(nèi)齒圈有：

其中：mr和Ir分別代表內(nèi)齒圈的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量.rr代表內(nèi)齒圈的基圓半徑；krn代表內(nèi)齒圈與各行星輪之間的嚙合剛度；krx和kry代表內(nèi)齒圈的徑向支承剛度；kru代表內(nèi)齒圈的扭轉(zhuǎn)支承剛度；δrn為內(nèi)齒圈與第n個行星輪在嚙合線方向上的彈性變形.

式中：αr為內(nèi)齒圈與行星輪之間的嚙合角(ψrn=ψn-αr)；ern為內(nèi)齒圈與行星輪的傳遞誤差.

對于行星架有：

其中，mc和Ic分別代表行星架的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；rr代表行星架的當(dāng)量基圓半徑；kpn代表各行星輪的支承剛度；kc代表行星架的徑向支承剛度；kcu代表行星架的扭轉(zhuǎn)支承剛度；δζn，δηn為行星架相對于第n個行星輪在ζ和η方向的投影.

式中：eζn和eηn為行星架相對于第n個行星輪在ζ和η方向的誤差，主要包括制造和安裝引起的系統(tǒng)誤差以及幾何偏心引起的誤差等.

對于行星輪有：

其中：mn和In分別代表第n個行星輪的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量；rn代表第n個行星輪的基圓半徑.

將式(1)-(16)聯(lián)立可建立矩陣形式的行星系統(tǒng)動力學(xué)方程.

式中：M，C，K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣（包括支承剛度和嚙合剛度），嚙合剛度項采用時變嚙合剛度確定，阻尼項采用瑞利阻尼形式來確定[16]；q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；F1(t)和F2(t)分別為系統(tǒng)內(nèi)外激勵向量.

由于誤差因素引起的系統(tǒng)內(nèi)激勵向量可表示為：

2 系統(tǒng)內(nèi)外部激勵

齒輪傳遞誤差是指從動齒輪真實嚙合位置與理論嚙合位置的偏差.齒輪傳遞誤差由輪齒的彈性變形和安裝制造誤差等因素造成，導(dǎo)致輪齒之間發(fā)生碰撞和沖擊，形成了齒輪嚙合的誤差激勵.齒輪傳遞誤差隨著齒輪嚙合發(fā)生周期性變化，可利用傅里葉級數(shù)展開的方式將齒輪傳遞誤差表示為[17]：

式中：e0為輪齒誤差均值；eai為誤差諧波分量幅值；f為輪齒的嚙合頻率.

太陽輪和行星輪的傳遞誤差esn、內(nèi)齒圈和行星輪的傳遞誤差ern均可利用傅里葉級數(shù)展開，太陽輪與行星輪的時變嚙合剛度fsn和內(nèi)齒圈與行星輪的時變嚙合剛度fsn，可根據(jù)文獻(xiàn)[15]方法得到，利用式(29)即可得到系統(tǒng)的內(nèi)部激勵，相應(yīng)的內(nèi)部激勵頻率分別為太陽輪與行星輪的嚙合頻率fs和內(nèi)齒圈與行星輪的嚙合頻率fr.行星架相對于行星輪的誤差eζn和eηn以行星架的轉(zhuǎn)動頻率fc周期性變化，行星架處外載激勵同樣以其轉(zhuǎn)動速度fc周期性變化，兩者相互疊加可等效為系統(tǒng)外激勵共同作用于行星架所在節(jié)點，相應(yīng)的外部激勵頻率為fc.

3 數(shù)值計算

以某型采煤機截割部行星齒輪系統(tǒng)作為分析對象，其行星齒輪系統(tǒng)三維模型如圖2所示.主要參數(shù)值：太陽輪齒數(shù)zs=16，內(nèi)齒圈齒數(shù)zr=68，行星輪齒數(shù)zn=25，行星輪個數(shù)N=4，模數(shù)m=9 mm，行星架轉(zhuǎn)速60 r/min，行星架所受等效載荷扭矩TC=1.935×104 N·m.根據(jù)文獻(xiàn)[15]的方法得到行星齒輪系統(tǒng)的時變嚙合剛度如圖3所示.

圖2 某型采煤機截割部行星齒輪系統(tǒng)三維模型

圖3 行星齒輪系統(tǒng)的時變嚙合剛度

3.1 系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)與結(jié)果分析

分別計算得到了行星齒輪系統(tǒng)在考慮誤差因素和不考慮誤差因素情況下系統(tǒng)的動態(tài)特性.圖4為太陽輪分別在考慮誤差因素和不考慮誤差因素影響的情況下y方向和繞z軸轉(zhuǎn)動方向的位移、速度和加速度的時域響應(yīng)曲線.圖5為行星輪在兩種情況下的位移、速度和加速度時域曲線.

圖4 太陽輪位移、速度和加速度時域曲線

圖5 行星輪的位移、速度和加速度時域曲線

對行星齒輪系統(tǒng)主要部件的位移、速度和加速度時域曲線進(jìn)行傅里葉變換得到主要響應(yīng)的頻域結(jié)果.圖6為太陽輪在考慮誤差因素影響時y方向的位移、速度和加速度的頻域分析圖.圖7為考慮誤差因素影響時太陽輪繞z軸轉(zhuǎn)動方向的位移、速度和加速度的頻域圖.

圖6 太陽輪y方向的位移、速度和加速度頻域圖

圖7 太陽輪繞z軸轉(zhuǎn)動方向的位移、速度和加速度頻域圖

分析圖6、圖7太陽輪和行星輪的位移頻域圖可以發(fā)現(xiàn)，由外激勵頻率fc激發(fā)的低頻區(qū)是行星系統(tǒng)位移產(chǎn)生的主要原因.A區(qū)和B區(qū)是由內(nèi)部誤差激勵頻率fs和fr引起的高頻區(qū)，只存在于考慮誤差因素的系統(tǒng)響應(yīng)中，不考慮誤差因素時，其頻域結(jié)果不存在高頻區(qū).因此對于理想的行星系統(tǒng)振動只存在由行星架轉(zhuǎn)軸頻率fc激發(fā)的低頻振動.由圖6和圖7行星系統(tǒng)的速度和加速度頻域結(jié)果圖可以得出，在考慮誤差因素時，嚙合頻率fr與其倍頻3fr，4fr，5fr，7fr和嚙合頻率fs與其倍頻3fs，5fs，6fs是太陽輪和行星輪的主要頻率成分，說明行星系統(tǒng)速度和加速度主要由內(nèi)部激勵頻率fr、fs以及他們的諧頻成分激發(fā)產(chǎn)生，考慮系統(tǒng)誤差因素引起的內(nèi)部激勵是系統(tǒng)產(chǎn)生速度和加速度的主要原因.

3.2 傳遞誤差對系統(tǒng)動態(tài)力的影響

傳動系統(tǒng)齒輪副間的動態(tài)嚙合力為嚙合線上輪齒的相對位移與嚙合剛度的乘積.圖8為分別考慮誤差因素與不考慮誤差因素，行星齒輪系統(tǒng)中太陽輪和行星輪嚙合副的動態(tài)嚙合力fsn(n=1,2,3,4)的時域分布圖，圖9為分別考慮誤差因素與不考慮誤差因素，內(nèi)齒圈與行星輪嚙合副的動態(tài)力frn(n=1,2,3,4)的時域分布圖.對行星系統(tǒng)動態(tài)嚙合力fsn和frn進(jìn)行快速傅里葉變換，得到系統(tǒng)動態(tài)力的頻域分析圖.圖10為太陽輪和行星輪的動態(tài)嚙合力的頻域分析圖，圖11為內(nèi)齒圈和行星輪的動態(tài)嚙合力的頻域圖.

圖10 太陽輪和行星輪動態(tài)嚙合力的頻域圖

圖11 內(nèi)齒圈和行星輪動態(tài)嚙合力的頻域圖

誤差因素對行星系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力的影響可由圖8和圖9非常直觀的展現(xiàn)，較理想行星系統(tǒng)其動態(tài)載荷呈現(xiàn)明顯的頻繁波動，這正是由內(nèi)部動載荷激發(fā)產(chǎn)生的.考慮誤差因素動態(tài)力fs峰值較理想行星系統(tǒng)提高了36.7%，動態(tài)力fr峰值較理想行星系統(tǒng)提高了28.5%.當(dāng)不考慮誤差因素影響時，行星系統(tǒng)動態(tài)嚙合力只在fc附近存在低頻區(qū).分析圖10和圖11系統(tǒng)動態(tài)嚙合力的頻域圖，當(dāng)考慮誤差因素影響時，行星系統(tǒng)動態(tài)嚙合力的頻率成分既存在低頻區(qū)，也存在A，B，C，D等高頻區(qū).動態(tài)嚙合力fs的高頻區(qū)主要由誤差引起的內(nèi)部激勵頻率fr和fs、以及他們的倍頻3fr和3fs激發(fā)產(chǎn)生.同時在這些載波頻率周圍存在頻率成分為(ifs±ifc) (i=1, 3;j=1, 2)和(ifr±jfc) (i=1, 3;j=1, 2)的邊頻帶.動態(tài)嚙合力fr的高頻區(qū)主要由誤差引起的內(nèi)部激勵頻率fr和fs以及他們的倍頻3fr和5fs激發(fā)產(chǎn)生.同時在以這些內(nèi)部激勵頻率作為載波頻率的周圍存在頻率成分為(ifr±jfc) (j=1, 3, 5;j=1, 2 )的邊頻帶.這是由于加載于行星架的外載扭矩以行星架轉(zhuǎn)頻為激勵頻率，形成了以齒輪嚙合頻率及其諧波為載波頻率，行星架轉(zhuǎn)頻及其倍頻為調(diào)制頻率的嚙合頻率調(diào)制現(xiàn)象.以上分析得出行星系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力的低頻區(qū)由行星架轉(zhuǎn)軸頻率激發(fā)的外載激勵產(chǎn)生，理想的行星系統(tǒng)不產(chǎn)生高頻成分，誤差因素引起的內(nèi)部激勵是系統(tǒng)動態(tài)力高頻區(qū)形成的原因.

誤差因素對行星系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力的影響可由圖8和圖9非常直觀的展現(xiàn)，較理想行星系統(tǒng)其動態(tài)載荷呈現(xiàn)明顯的頻繁波動，這正是由內(nèi)部動載荷激發(fā)產(chǎn)生的.考慮誤差因素動態(tài)力fs峰值較理想行星系統(tǒng)提高了36.7%，動態(tài)力fr峰值較理想行星系統(tǒng)提高了28.5%.當(dāng)不考慮誤差因素影響時，行星系統(tǒng)動態(tài)嚙合力只在fc附近存在低頻區(qū).分析圖10和圖11系統(tǒng)動態(tài)嚙合力的頻域圖，當(dāng)考慮誤差因素影響時，行星系統(tǒng)動態(tài)嚙合力的頻率成分既存在低頻區(qū)，也存在A，B，C，D等高頻區(qū).動態(tài)嚙合力fs的高頻區(qū)主要由誤差引起的內(nèi)部激勵頻率fr和fs、以及他們的倍頻3fr 和3fs 激發(fā)產(chǎn)生.同時在這些載波頻率周圍存在頻率成分為(ifs±jfc) (i=1,3;j=1, 2)和(ifr±jfc) (i=1,3;j=1, 2)的邊頻帶.動態(tài)嚙合力fr的高頻區(qū)主要由誤差引起的內(nèi)部激勵頻率fr和fs、以及他們的倍頻3fr和5fs激發(fā)產(chǎn)生.同時在以這些內(nèi)部激勵頻率作為載波頻率的周圍存在頻率成分為(ifr±jfc) (i=1, 3, 5;j=1, 2 )的邊頻帶.這是由于加載于行星架的外載扭矩以行星架轉(zhuǎn)頻為激勵頻率，形成了以齒輪嚙合頻率及其諧波為載波頻率，行星架轉(zhuǎn)頻及其倍頻為調(diào)制頻率的嚙合頻率調(diào)制現(xiàn)象.以上分析得出行星系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力的低頻區(qū)由行星架轉(zhuǎn)軸頻率激發(fā)的外載激勵產(chǎn)生，理想的行星系統(tǒng)不產(chǎn)生高頻成分，誤差因素引起的內(nèi)部激勵是系統(tǒng)動態(tài)力高頻區(qū)形成的原因.

4 結(jié)論

利用集中質(zhì)量參數(shù)法建立了考慮系統(tǒng)傳遞誤差因素的行星齒輪系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)學(xué)模型，得到了由誤差激勵產(chǎn)生的行星齒輪系統(tǒng)內(nèi)部附加動載荷模型，較理想行星系統(tǒng)模型相比可將內(nèi)部誤差引起的內(nèi)部激勵量化處理并應(yīng)用于系統(tǒng)動態(tài)特性研究.

行星架轉(zhuǎn)軸頻率激發(fā)的外激勵頻率是行星系統(tǒng)位移響應(yīng)低頻區(qū)產(chǎn)生的主要原因.內(nèi)部誤差激勵頻率主要影響的位移響應(yīng)的高頻區(qū).行星系統(tǒng)速度和加速度主要由內(nèi)部嚙合頻率以及他們的諧頻成分激發(fā)產(chǎn)生，系統(tǒng)誤差引起的內(nèi)部激勵是行星系統(tǒng)產(chǎn)生速度和加速度的主要原因.

考慮誤差因素太陽輪、內(nèi)齒圈和行星輪的動態(tài)力峰值較理想行星系統(tǒng)分別提高了36.7%和28.5%.行星系統(tǒng)的動態(tài)嚙合力的低頻區(qū)由行星架轉(zhuǎn)軸頻率激發(fā)的外載激勵產(chǎn)生；理想的行星系統(tǒng)不產(chǎn)生高頻成分，誤差因素引起的內(nèi)部激勵是系統(tǒng)動態(tài)力高頻區(qū)形成的原因.