一種求解Riccati方程的方法

宋華兵

（肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，肇慶 526061）

1 引言

為了更好的獲得Riccati 方程的解析解，本研究考察了不同類型微分方程存在相同特解這一現(xiàn)象，在求解思路上提出以一階線性微分方程為基礎(chǔ)，引出Riccati方程的可解條件，進(jìn)而達(dá)到求解的目的.

2 不同類型微分方程之間存在相同特解現(xiàn)象

為了獲得可解Riccati 方程，下面給出一個(gè)例子說明不同類型微分方程之間存在相同特解的現(xiàn)象，考察一階線性非齊次方程

及Riccati方程

容易驗(yàn)證，y=x2既滿足（1）式又滿足（2）式，即（1）式和（2）式具有相同的特解y=x2.

此例說明在一定條件下，一階線性非齊次方程與Riccati方程之間可能存在相同的特解，由Riccati方程求解方法可知，如果知道Riccati 方程的一個(gè)特解y1，則可通過變換u=1/(y-y1)，將Riccati 方程化為一階線性非齊次方程，進(jìn)而求得其通解.

本研究將從這一現(xiàn)象出發(fā)，探討一階線性微分方程與Riccati 方程之間存在相同特解的條件，據(jù)此尋求可解的Riccati方程，并給出Riccati方程求解示例.

3 具有相同特解的條件

定義1：若一階線性微分方程

與Riccati方程

具有相同的非零特解，則可先解（3）式，獲得特解，然后求Riccati方程（4）的通解.此時(shí)，稱一階線性微分方程（3）式為Riccati方程（4）式的引導(dǎo)方程.

由于（3）式可通過常數(shù)變異法得到其通解，不妨設(shè)y=y1(x)≠0 是（3）式的非零特解，若其也是Riccati 方程的特解，則有

整理得y=y1(x)≠0 為Riccati方程（4）的特解的條件：

例1：考察引導(dǎo)方程

及Riccati方程

容易驗(yàn)證它們具有相同的特解y=x2，此時(shí)的特解條件為f(x)+g(x)y1=p(x)+q(x)y1+.

對(duì)于特解條件，若f(x)=p(x)，則特解條件可簡化為：g(x)=q(x)+r(x)y1.

定理1：當(dāng)f(x)=p(x)時(shí)，引導(dǎo)方程非零特解y=y1(x)也是Riccati方程（4）式的特解的充分必要條件是

證明：充分性：若y=y1(x)也是（4）式的解,代入（4）得

又因?yàn)閥=y1(x)是（3）式的解，有

將（6）式代入（5）式得：p(x)+g(x)y1=p(x)+q(x)y1+r(x)，由y1≠0 簡化得r(x)=必要性：若則（4）式為，當(dāng)y=y1(x)時(shí)，（4）式變成（3）方程兩邊相等，即有解y=y1(x).

推論1: 當(dāng)f(x)=p(x) 時(shí),若，即g(x)-q(x)=μ（常數(shù)），則時(shí)，引導(dǎo)方程非零特解y=y1(x)也是方程（4）的特解.

例2：考察引導(dǎo)方程

及Riccati方程

其中f(x)=p(x)=x,g(x)=x,q(x)=x+1,求r(x)為何值時(shí)（8）式可解.

例3：引導(dǎo)方程

及Riccati方程

其中，p(x)=f(x)=1,g(x)=1,q(x)=2,g(x)-q(x)=-1.

解：求解（9）式可得其通解為y=Cex-1 ，（C 為任常數(shù)），若取C=0 得特解y1=-1.由推論1，若=1時(shí)，y1=-1也是方程（10）得特解.此時(shí)Riccati方程（10）為

為常系數(shù)Riccati方程，令z=y-y1=y+1，則（11）式可化為=z2

解得：z=，其中C為任常數(shù)，可得常系數(shù)Riccati方程（11）式的通解-1.

另，對(duì)（11）式也可采用分離變量法求解，同樣可得其通解為y=-1，例3說明此方法也可用于常系數(shù)Riccati方程求解.

推論2: 當(dāng)f(x)=p(x)時(shí),若g(x)-q(x)=μ(x)，則r(x)=時(shí)，引導(dǎo)方程非零特解y=y1(x)也是方程（4）的特解.

例4: 引導(dǎo)方程

及Riccati方程

其中p(x)=f(x)g(x)=1,q(x)=ex,g(x)-q(x)=1-ex.

解：方程（9）式通解為：y=Cex-1 ，取C=1 時(shí)的特解y1=ex-1.則當(dāng)r(x)=-1 時(shí)，y1=ex-1為方程=1+exy-y2的特解.

推論3：當(dāng)f(x)=p(x)時(shí),若q(x)=g(x)-r(x)y1，則引導(dǎo)方程非零特解y=y1(x)也是方程（4）的特解.

例5：引導(dǎo)方程

解：方程（9）有特解y1=ex-1，由推論3，當(dāng)q(x)=1-e-x(ex-1)=e-x時(shí)，Riccati方程

有特解y1=ex-1.

由例3至例5可知，同一個(gè)一階線性微分方程，可作為不同Riccati 方程的引導(dǎo)方程，說明引導(dǎo)方程法求解Riccati方程具有一對(duì)多的性質(zhì).

4 Riccati方程求解示例

通過例2的分析，可知求Riccati方程（8）

的通解.

解：令z=y-y1可得

為伯努利方程，兩邊乘以z-2得

令u=z-1，，代入上式得

求解可得:

則方程（14）的通解為：y=z+y1=