解答線面平行問題的兩種途徑

趙瑛琦

線面平行問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中.這類問題對同學(xué)們的空間想象能力和運(yùn)算能力的要求非常高，主要考查線面平行的性質(zhì)定理、判定定理，以及面面平行的性質(zhì)定理.下面以一道題目為例，探討一下解答線面平行問題的途徑.

例題：如圖1所示，在正四棱錐[S-ABCD]中，[SA=SB=SC=SD=2]，[AB=2]，[P]為側(cè)棱[SD]上的一點(diǎn)．如果[SP=3PD]，那么在側(cè)棱[SC]上是否存在一點(diǎn)[E]，使得[BE//]平面[PAC].若存在，求出[SEEC]的值；若不存在，試說明理由．

要判斷點(diǎn)[E]是否存在，關(guān)鍵是看能否在側(cè)棱[SC]上找一點(diǎn)[E]，使得[BE//]平面[PAC].由線面平行的判定定理：若平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線與這個平面平行，可知解題的關(guān)鍵在于能否在平面[PAC]內(nèi)，找到一條直線與[BE]平行.有如下幾種解法.

一、利用面面平行的性質(zhì)

我們知道，面面平行的性質(zhì)定理：（1）如果兩個平面平行，則在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另外一個平面；（2）如果兩個平面平行，且分別和第三個平面相交，則這兩條交線平行.在解答線面平行問題時，可以先根據(jù)平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條直線平行，則這兩個平面平行，構(gòu)造或作出平行平面；然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)來證明線面平行，或?qū)ふ移叫嘘P(guān)系.

二、構(gòu)造空間向量

若根據(jù)題目中的垂直關(guān)系，容易找出或作出三條互相垂直的線段，即可將其視為x、y、z軸，構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，給各個點(diǎn)賦予坐標(biāo)，就能將線面平行問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.只需使直線的方向向量與平面的法向量互相垂直，即可判定該直線與平面平行.

先根據(jù)題意和正方形的性質(zhì)證明[SO⊥AC]、[SO⊥BD]、[AC⊥BD]，即可找到三條互相垂直的線段，于是以[O]為原點(diǎn)，[AC]、[BD]、[OS]分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系；然后設(shè)出點(diǎn)[E]的坐標(biāo)，分別求得直線的方向向量[BE]以及平面[PAC]的法向量[m]，得出[BE?m=0]，即可斷定存在[E]點(diǎn)，使得[BE//]平面[PAC].

可見，解答線面平行問題，同學(xué)們需熟記并靈活運(yùn)用線線平行、線面平行和面面平行的判定定理及性質(zhì)定理，根據(jù)幾何圖形的特征合理添加輔助線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，以尋找到最佳的解題方案.

本文系江蘇省教育學(xué)會“十四五”教育科研規(guī)劃課題《高中生自學(xué)能力培養(yǎng)的途徑和方法研究》（批準(zhǔn)號：22A09SXSQ324）研究成果.