基于微觀接觸模型的支撐基座剛度分析

曹順成,張志強(qiáng),肖 博,孫韻韻

(武漢大學(xué)動力與機(jī)械學(xué)院,武漢 430072)

0 引言

在中國各地同步輻射光源中,電子儲存環(huán)是主體,為了向用戶提供在空間位置上高度穩(wěn)定的同步輻射光,電子束軌道的穩(wěn)定需要被控制在微米量級,且支架系統(tǒng)振動本征頻率需要足夠高,避免引起共振[1]。目前多數(shù)同步輻射光源支架系統(tǒng)采用一種楔形運(yùn)動機(jī)構(gòu)[2]作為支撐基座以完成位置升降功能,董玉璽[3]提出支撐基座不同分布方式對支架系統(tǒng)的本征頻率影響較大,ZHANG等[4]提出支架系統(tǒng)良好的剛度和阻尼能顯著提高X射線束的穩(wěn)定性。其中支撐基座的剛度計算作為支架系統(tǒng)模態(tài)分析的重要依據(jù),缺少相關(guān)計算理論支撐和詳細(xì)計算流程。

工程中最常用的手段是使用有限元軟件進(jìn)行剛度分析,各零件間的接觸方式常采用共節(jié)點(diǎn)或接觸對[5],并把整體機(jī)構(gòu)等效為一個彈簧,根據(jù)胡克定律計算整體剛度。這種宏觀結(jié)構(gòu)模型可以簡化計算規(guī)模,但不夠精確。在一些關(guān)鍵部件的實(shí)際接觸中,壓力相對較高,導(dǎo)致表面發(fā)生塑性變形,宏觀結(jié)構(gòu)模型有限元分析會忽略屈服效應(yīng)造成的影響,導(dǎo)致剛度計算值大于實(shí)際值,使支架系統(tǒng)本征頻率計算值偏高。

通過微觀粗糙表面處理宏觀接觸表面,可建立更精準(zhǔn)的動力學(xué)模型,WANG等[6]使用微觀粗糙表面表達(dá)式建立螺栓機(jī)械接合面的動力學(xué)模型,和模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果對比驗(yàn)證,具有較高的精度。為研究微觀粗糙表面接觸特性,已有大量學(xué)者建立了不同接觸模型,比較經(jīng)典的有GW模型[7]、ZMC模型[8]、CEB模型[9]和KE模型[10-11],理論接觸模型受限于多種簡化假設(shè),計算過程復(fù)雜且不夠直觀,而有限元法可還原實(shí)際表面紋理信息,并充分利用計算機(jī)能力,處理復(fù)雜問題較靈活。

針對支撐基座的豎直剛度計算,現(xiàn)存問題是有限元宏觀計算結(jié)果不夠精準(zhǔn),表面間的接觸狀態(tài)不清晰,影響剛度的原因不明朗,本文提出一種等效剛度模型,其變形更貼近實(shí)際接觸效果,研究支撐基座在兩種分析方式下的剛度差異和變化規(guī)律,探究影響剛度的因素,有助于優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計,對提升電子儲存環(huán)支架系統(tǒng)穩(wěn)定性有重大意義。

1 微觀粗糙表面有限元建模方法

1.1 基本理論

本文研究的支撐基座如圖1所示,其中上法蘭與支架底面貼合,向下傳導(dǎo)載荷;關(guān)節(jié)軸承作為萬向結(jié)構(gòu),允許在調(diào)節(jié)時任意方向轉(zhuǎn)動一定角度從而使承載面與目標(biāo)底面緊密貼合;楔形塊機(jī)構(gòu)可將下楔塊橫向位移轉(zhuǎn)為上楔塊高度升降,布置在混凝土地基上。

圖1 支撐基座實(shí)物工作圖

廣義地說,任何機(jī)械結(jié)合面可看作彈性系統(tǒng),可利用有限元子結(jié)構(gòu)法思想,將宏觀接觸表面劃分為若干個微觀粗糙表面,先分別確定各子結(jié)構(gòu)剛度特性,再將子結(jié)構(gòu)裝配成整體結(jié)構(gòu),獲得組合結(jié)構(gòu)等效剛度,其動力學(xué)模型如圖2所示,每個接觸單元視為彈簧元件,則結(jié)合面的剛度模型可寫為:

圖2 機(jī)械結(jié)合面的動力學(xué)模型

(1)

式中:K是宏觀接觸表面剛度,kn是微觀粗糙表面剛度,S/Sn是宏觀接觸表面和微觀接觸單元面積比值,該式稱為剛度并聯(lián)公式。計算出一個微觀接觸單元的剛度,即可推導(dǎo)出宏觀接觸面的剛度,因此對微觀粗糙表面的分析需要比較精確,重構(gòu)模型的還原度要求高。

1.2 重構(gòu)隨機(jī)粗糙表面

為了使重構(gòu)模型更貼近實(shí)際輪廓,需要獲取原始粗糙表面的微觀紋理信息。本文數(shù)據(jù)采集使用的測量設(shè)備是NanoFocus非接觸式激光掃描輪廓儀,材料為45#鋼,通過銑削、車削和磨削工件表面,獲得3種加工方式下的表面形貌,如二維紋理特征圖3所示。

(a) 銑削 (b) 車削(c) 磨削

大量研究結(jié)果發(fā)現(xiàn),粗糙表面上微凸峰的高度分布滿足高斯分布規(guī)律,其表面輪廓具有指數(shù)自相關(guān)函數(shù)關(guān)系。在陳輝、吳少雷等[12-13]提出的粗糙表面模擬方法的基礎(chǔ)上,本文利用時間序列模型、濾波技術(shù)模擬生成了具有指定自相關(guān)函數(shù)的粗糙表面,圖4為粗糙表面的模擬步驟。

圖4 隨機(jī)粗糙表面重構(gòu)步驟

根據(jù)上述隨機(jī)粗糙表面的生成方法,利用MATLAB軟件構(gòu)造模型和調(diào)節(jié)模擬表面的形貌參數(shù),用于擬合銑削工件表面的截面輪廓,兩者起伏曲線的對比圖如圖5所示,高度分布的標(biāo)準(zhǔn)差相同情況下,粗糙峰密度偏差不超過10%,模擬粗糙表面已滿足實(shí)際分析需求。

(a) 真實(shí)工件表面輪廓 (b) 模擬工件表面輪廓

擬合數(shù)據(jù)可通過ANSYS命令直接生成三維點(diǎn)云模型,再采用自下而上的實(shí)體建模方式(從點(diǎn)到線、從線到面、從面到體)生成圖6中的有限元微觀粗糙表面模型。

圖6 有限元微觀粗糙表面模型

2 微觀尺度下的接觸分析

2.1 粗糙表面接觸有限元分析

根據(jù)MCCOOL[14]提出兩個粗糙表面的接觸可等效轉(zhuǎn)換為一個光滑的剛性平板和另一個粗糙的彈性板塊相接觸。兩個粗糙表面的材料原為45#鋼,則轉(zhuǎn)換后彈性板塊的彈性模量E=2.0×105MPa,泊松比μ=0.26,屈服強(qiáng)度為σs=355 MPa,延伸率為δ=16%,平板剛度足夠大保證不變形。

本文通過仿真計算彈性板塊粗糙表面的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,推導(dǎo)出接觸剛度?；w采用實(shí)體單元(SOLID187單元)進(jìn)行網(wǎng)格離散和模擬,隨后創(chuàng)建接觸對,剛性平面作為目標(biāo)面(TARGE170),粗糙表面當(dāng)作接觸面(CONTA174)。接觸面網(wǎng)格最密集,沿著厚度方向漸變式減少網(wǎng)格數(shù)量,最終節(jié)點(diǎn)數(shù)量約為56萬,計算規(guī)模可觀。

剛性平板側(cè)面采用無摩擦支撐約束,僅能豎直方向運(yùn)動,彈性板塊底面采用固定約束,用剛性平板給粗糙表面施壓,為了保證模型計算能夠收斂,初始提供較小的位移確保剛性平板與粗糙平面之間接觸生效,并利用大變形和弱彈簧功能加以輔助。

將宏觀接觸表面的壓力之和轉(zhuǎn)換成單個微觀接觸單元的接觸力,需要根據(jù)面積比例縮減載荷。對面積為4 mm2的粗糙表面施加載荷,其受力變形結(jié)果如圖7所示,隨著法向載荷增大,產(chǎn)生變形的范圍不斷增大,這是因?yàn)椴糠治⑼贵w高度下降,結(jié)合面的接觸間隙減小,微凸體接觸數(shù)目增多,粗糙表面間的真實(shí)接觸面積隨之增大。

圖7 粗糙表面受力變形圖

2.2 驗(yàn)證有限元接觸模型計算

為驗(yàn)證ANSYS軟件仿真微觀粗糙表面的數(shù)據(jù)合理性,本文列舉GW模型、ZMC模型、CEB模型、KE模型的理論曲線與ANSYS有限元仿真曲線進(jìn)行比較。理論模型的數(shù)值計算必須代入?yún)?shù),而粗糙峰的平均曲率難以獲得,根據(jù)NURI等[15]進(jìn)行經(jīng)典工程表面試驗(yàn)測得的數(shù)據(jù),結(jié)合實(shí)際輪廓,得到面密度η=6.209×10-3與仿真模型相近,選用參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

利用2.1節(jié)計算的粗糙表面受力變形結(jié)果,根據(jù)胡克定律可計算出法向剛度。由于微觀粗糙表面尺寸僅達(dá)毫米級,相較于宏觀表面可忽略不計,于是將該區(qū)域剛度近似為某一點(diǎn)剛度。

分別按3種加工方式(銑、車、磨)的形貌構(gòu)建模擬粗糙表面和理論計算參數(shù),將不同接觸模型下結(jié)合面法向接觸剛度隨載荷的變化曲線進(jìn)行對比,如圖8所示,可用于驗(yàn)證本文的微觀三維模型接觸剛度分析的有效性和可靠性。

(a) 銑削 (b) 車削

由圖8可知,ANSYS模型的法向剛度與GW模型、ZMC模型、KE模型以及CEB模型的變化趨勢是基本一致的,從3幅圖中可以發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)。

(1)隨著法向載荷增大,接觸剛度逐漸增大,超過一定載荷后,增長速率逐漸減小,因?yàn)椴糠治⑼贵w進(jìn)入塑性屈服階段,導(dǎo)致局部接觸剛度降低,且接觸面積受粗糙峰高斯分布函數(shù)的影響,到達(dá)一定程度后趨于飽和,所以接觸剛度變化趨于平緩。

(2)不同模型在相同載荷下的接觸剛度有區(qū)別。其中,ANSYS模型與KE模型的曲線最接近,這是由于兩者都采用有限元法研究接觸問題,更貼近真實(shí)接觸狀況。相似的曲線變化規(guī)律進(jìn)一步說明了ANSYS接觸剛度模型的有效性。

3 有限元宏觀模型和微觀表面剛度差異

3.1 支撐基座等效剛度

通過微觀接觸分析可獲得微觀粗糙表面的剛度變化曲線,而本文研究對象是支撐基座,如圖9所示,多個接觸面組成了整個支撐基座的彈性系統(tǒng),由微觀表面剛度計算支撐基座豎直剛度的步驟如圖10所示。先根據(jù)宏觀模型有限元分析結(jié)果,獲得接觸壓力分布圖,再利用剛度并聯(lián)式(1)計算出每個宏觀表面的接觸剛度ki(i=A～E);隨后由串聯(lián)式(2)推導(dǎo)出支撐基座整體豎直剛度K。

圖9 支撐基座結(jié)構(gòu)剖面圖

圖10 支撐基座剛度計算流程

(2)

式(2)采用彈簧串聯(lián)原理,剛度為ki(i=A～E)的接觸面在同一軸線上串聯(lián),在外力的作用下所有結(jié)合面都被壓縮,串聯(lián)等效剛度為K。本文重點(diǎn)分析運(yùn)動結(jié)合面(A、D)對剛度的影響,固定結(jié)合面(B、C、E)由于零件間固定聯(lián)結(jié),可看作一體,其剛度由材料彈性模量決定。

3.2 接觸對的等效剛度計算方法

為了使用微觀尺度剛度來建立具有宏觀尺度的機(jī)械結(jié)合面的動力學(xué)模型,必須通過模擬來獲得接觸壓力分布和實(shí)際接觸面積。建立有限元宏觀模型如圖11a所示,約束各零件自由度,建立上楔塊和下楔塊接觸對(圖11b),建立關(guān)節(jié)軸承球碗和球頭接觸對(圖11c),上法蘭頂面建立剛性區(qū)域傳遞支架的壓力,后處理中查看應(yīng)力分布圖可得知結(jié)合面接觸區(qū)域面積。工程中支撐基座均以鑄鐵支架和重型磁鐵[16]為承重目標(biāo),本節(jié)以負(fù)載為10 000 N為例,對兩個接觸對進(jìn)行ANSYS仿真計算,采用罰函數(shù)算法處理接觸狀態(tài),法向剛度比例因子FKN=1,算法將根據(jù)材料參數(shù)獲得接觸剛度估計值。

(a) 整體結(jié)構(gòu)模型 (b) 楔形塊接觸對 (c) 關(guān)節(jié)軸承接觸對

關(guān)節(jié)軸承采用GE 50ES型號,材料為軸承鋼。由于其接觸面是弧面,承載不均勻會導(dǎo)致表面變形,擠壓后實(shí)際接觸區(qū)域縮小,如圖12所示,實(shí)際接觸上邊界與水平線夾角為θ1,下邊界與水平線夾角為θ2,可見上邊界存在偏移現(xiàn)象(理想的接觸上邊界應(yīng)與水平線齊平),關(guān)節(jié)球頭整體下沉。

圖12 接觸面D受力變形圖

對曲面接觸區(qū)域的豎直剛度分析采用積分累加方法,假設(shè)區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的法向載荷相等,則法向接觸剛度相等,剛度分解方式如圖13所示,若弧面接觸區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)的法向剛度為kd,則其剛度垂直分量kd-n計算公式如式(3)。

圖13 接觸面D剛度分解圖

kd-n=kd×sinθ

(3)

根據(jù)等效剛度并聯(lián)式(1),可得到實(shí)際接觸的環(huán)形區(qū)域在豎直方向上的有效剛度kD表達(dá)式:

(4)

式中:R是關(guān)節(jié)軸承球頭的球半徑,kD是通過各點(diǎn)的豎直剛度kd積分而來。

3.3 結(jié)果對比和分析

利用有限元法分析支撐基座豎直剛度的計算模型可分為兩種:裝配體仿真常用的宏觀接觸模型和本文提出的等效剛度模型,計算方法已在圖10 給出。通過兩種計算模型得到接觸面A、接觸面D和支撐基座整體結(jié)構(gòu)的不同剛度曲線,研究兩者變化規(guī)律的異同。

接觸面A的豎直剛度kA是楔形面接觸剛度的垂直分量,其曲線如圖14所示,對表面施加0～16 000 N,兩者的豎直剛度均隨著載荷逐漸增大,剛度增長速率逐漸減小,宏觀接觸模型數(shù)值更大,其原因是粗糙表面考慮微凸體高度分布,表面間不能完美地貼合,而宏觀模型的表面接觸平滑,真實(shí)接觸面積較大,導(dǎo)致剛度計算值大于實(shí)際值。載荷增大過程中,由于粗糙表面剛度考慮了塑形變形的影響,局部接觸剛度降低,這種趨勢也符合2.2節(jié)分析的結(jié)果。

圖14 接觸面A剛度對比圖 圖15 接觸面D剛度對比圖

接觸面D的豎直剛度kD曲線如圖15所示,兩者增長速率有明顯區(qū)別,其中有兩點(diǎn)原因:其一,接觸面D實(shí)際接觸區(qū)域較小,接觸壓力較高,此時粗糙表面產(chǎn)生塑性變形的區(qū)域占比較高,對剛度的削減更嚴(yán)重;其二,宏觀接觸模型涉及基體變形,法向載荷通過表面?zhèn)鬟f到基體上,球碗基體高度下降,導(dǎo)致曲面弧度增大,更有利于豎直方向的支撐,而等效剛度模型是以初始弧度計算,剛度分解后削弱嚴(yán)重,相同面積下積分結(jié)果差別很大。

支撐基座整體結(jié)構(gòu)的豎直剛度K曲線如圖16所示,整體結(jié)構(gòu)豎直剛度和單個接觸面剛度的變化趨勢相似,隨著法向載荷的增大,剛度逐漸增大,剛度增長率逐漸減小,這是因?yàn)檎w結(jié)構(gòu)是由各個接觸面串聯(lián)組成,而整體剛度卻比任何一個接觸面的剛度都小。其中接觸面D對整體結(jié)構(gòu)的影響最大,這是因?yàn)榻佑|面D剛度最小,整體剛度的大小和數(shù)量級受限于接觸面D,兩種計算模型下的結(jié)果差異也主要由接觸面D造成。

圖16 支撐基座剛度對比圖

4 總結(jié)

通過數(shù)值模擬方法構(gòu)建出具有自相關(guān)函數(shù)的微觀粗糙表面,與輪廓掃描儀探測的工件真實(shí)表面輪廓進(jìn)行擬合,將表面數(shù)據(jù)導(dǎo)入ANSYS軟件中構(gòu)建粗糙表面實(shí)體模型,并將有限元仿真結(jié)構(gòu)與不同理論接觸模型對比,驗(yàn)證其有效性。隨后,基于子結(jié)構(gòu)法提出等效剛度模型,通過分析支撐基座接觸面的受力狀態(tài),得到真實(shí)接觸區(qū)域,結(jié)合微觀粗糙表面的剛度變化曲線,利用串并聯(lián)剛度理論計算出組合結(jié)構(gòu)的豎直剛度,與宏觀結(jié)構(gòu)模型剛度對比,分析產(chǎn)生差異的原因。主要結(jié)論如下:

(1)ANSYS接觸模型剛度曲線與GW模型、ZMC模型、KE模型以及CEB模型的變化趨勢基本一致,隨著法向載荷增大,接觸剛度逐漸增大,超過一定載荷后,增長速率逐漸減小,相似的曲線變化規(guī)律說明了ANSYS接觸模型的有效性。

(2)宏觀接觸模型和等效剛度模型皆受關(guān)節(jié)軸承接觸面的影響最大,相同靜態(tài)負(fù)載下,等效剛度模型剛度豎直剛度更小,且負(fù)載越大,兩者差異越明顯,主要由接觸面的塑形變形和曲面的基體變形所引起。